1、第1课时 函数的单调性,第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值,学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数的单调性,画出函数f(x)x、f(x)x2的图象，并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何？,答案,答案 两函数的图象如下：,函数f(x)x的图象由左到右是上升的；函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.,一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之
2、则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 .,梳理,增函数,减函数,思考,知识点二 函数的单调区间,我们已经知道f(x)x2的减区间为(，0，f(x) 的减区间为(，0)，这两个减区间能不能交换？,答案,答案 f(x)x2的减区间可以写成(，0)，而f(x) 的减区间(，0)不能写成(，0，因为0不属于f(x) 的定义域.,梳理,一般地，有下列常识： (1)函数单
3、调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.,题型探究,例1 如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？,解答,类型一 求单调区间并判断单调性,解 yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在区间5，2，1,3上是减函数，在区间2,1，3,5上是增函数.,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现
4、两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.,反思与感悟,跟踪训练1 写出函数y|x22x3|的单调区间，并指出单调性.,解答,所以y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调减区间是(，1，1,3；单调增区间是1,1，3，).,命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x) 在其定义域上是增函数.,类型二 证明单调性,证明,设x1，x2是定义域0，)上的任意两个实数，且x1x2，,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,运用定义判断或证明函数的单调性时，应在
5、函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结.,反思与感悟,证明 设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1x1x2，,1x1x2，x1x20,1x1x2，,即f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是增函数.,证明,证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2.令xyx1，yx2，则xx1x20. f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0，f(x)1，f(x)10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f
6、(x2). 函数f(x)在R上是增函数. 方法二 设x1x2，则x1x20， 从而f(x1x2)1，即f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是增函数.,因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.,反思与感悟,跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.,证明,证明 对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(
7、m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)， 当x0时，0f(x)1，f(1)0，f(0)1. 令mx0，nx0， 则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1， 又x0时，0f(x)1，,对任意实数x，f(x)恒大于0. 设任意x10， 0f(x2x1)1， f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10， f(x)在R上是减函数.,解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：,命题角度1 利用单调性求参数范围,类型三 单调性的应用,答案,解析,分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处
8、不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.,反思与感悟,跟踪训练4 已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_.,解析 由于二次函数开口向上， 故其增区间为a，)，减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调， 所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.,答案,解析,a1或a2,命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.,解答,若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.,反
9、思与感悟,跟踪训练5 在例5中若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(1)，f(1)f(1)，则x的取值范围是 A.x1 C.11,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减. 2.对增函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：,3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等. 4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)单调递增，f(x)h(x)单调递增，f(x)单调递减， 单调递减(f(x)0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商 与1比较.,本课结束,
