1、3 3. .1.21.2 函数的单调性函数的单调性 第第 1 1 课时课时 函数单调性的定义与证明、函数的最值函数单调性的定义与证明、函数的最值 学习目标 1.理解函数的单调性的定义， 能运用函数图像理解和研究函数的单调性.2.会用函 数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.3.理解函数 的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值 知识点一 增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数 yf(x)的定义域为 D，且 ID：如果对任意 x1，x2I， 当 x1x2时 都有 f(x1)f(x2) 结论 yf(x)在 I 上是增函数(也称在
2、 I 上 单调递增) yf(x)在I上是减函数(也称在I上 单调递减) 图示 思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1，x2I”改为“存在 x1，x2I”？ 答案 (1)不是 (2)不能 知识点二 函数的单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在 I 上单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在 I 上具有单调性(当 I 为 区间时，称 I 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间) 知识点三 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，且 x0D：如果对任意 xD 都有 f(x)f(x0
3、) 都有 f(x)f(x0) 结论 称 f(x)的最大值为 f(x0)，记作 f(x)max f(x0)，而 x0称为 f(x)的最大值点 称 f(x)的最小值为 f(x0)，记作 f(x)min f(x0)，而 x0称为 f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 1若函数 yf(x)在区间1,3上是减函数，则函数 yf(x)的单调递减区间是1,3( ) 2若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(3)f(3)( ) 3若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)4，x1x240， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(
4、x)x4 x在(2，)上是增函数 延伸探究 若本例的函数不变，试判断 f(x)在(0,2)上的单调性 解 函数 f(x)x4 x在(0,2)上单调递减 证明：任取 x1，x2(0,2)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x1 4 x1x2 4 x2 (x1x2)4x2x1 x1x2 x1x2x1x24 x1x2 . 因为 0 x1x22， 所以 x1x20,0 x1x24，x1x240， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)x4 x在(0,2)上单调递减 反思感悟 利用定义证明函数单调性的 4 个步骤 跟踪训练 1 求证：函数 f(x)1 x2在(0
5、，)上是减函数，在(，0)上是增函数 证明 对于任意的 x1，x2(，0)，且 x1x2， 有 f(x1)f(x2) 1 x21 1 x22 x22x21 x21x22 x2x1x2x1 x21x22 . x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 1 x2在(，0)上是增函数 对于任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2， 有 f(x1)f(x2)x2x1x2x1 x21x22 . 0x10，x2x10，x21x220. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 1 x2在(0，)上是减函数 二、求函数的单调区间 例 2
6、 画出函数 yx22|x|3 的图像，并指出函数的单调区间 解 当 x0 时， yx22x3(x1)24， 当 x0 时， yx22x3(x1)24， 即 y x124，x0， x124，x1 的图像，并指出函数 f(x)的单调区间 解 f(x) x3，x1， x223，x1 的图像如图所示，由图可知， 函数 f(x) x3，x1， x223，x1 的单调递减区间为(， 1和(1,2， 单调递增区间为2， ) 三、函数单调性的应用 命题角度 1 利用函数的单调性比较大小 例 3 已知函数 f(x)在区间(0，)上是减函数，试比较 f(a2a1)与 f 3 4 的大小 解 a2a1 a1 2 2
7、3 4 3 4， 3 4与 a 2a1 都是区间(0，)上的值 又 f(x)在区间(0，)上是减函数， f 3 4 f(a2a1) 反思感悟 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小 在解决比较函数值的问题时， 要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上 跟踪训练 3 若函数 f(x)在区间(，)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a) Cf(a2a)f(a) Df(a21)f(a2) 答案 D 解析 当 a2a，因为函数 f(x)在(，)上为减函数，所以 f(a)f(2a)，故 A 不 正确当 0a1 时，a2f(a)，故 B 不正确当 a0
8、 时，a2aa0，所以 f(a2a)f(a)，故 C 不正确因为 a21a2，函数 f(x)在(，)上为减函数，所以 f(a21)f(a2) 命题角度 2 利用函数的单调性解不等式 例 4 已知函数 f(x)是定义在1,1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，求 x 的取值范围 解 函数 f(x)是定义在1,1上的增函数， 1x21， 11x1， 解得 1x2， 又f(x2)f(1x)， x21x，即 x3 2. 由可得 1x3 2， 即 x 的取值范围为 x 1x3 2 . 反思感悟 利用函数的单调性解不等式的注意点 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果 f(x1)f(x2)，
9、 若 f(x)在(a，b)上是增函数，则有 x1x2， ax1b， ax2x2， ax1b， ax2b. 必须注意两点：两边化为同名函数的不同函数值；自变量必须化到同一单调区间上，若 转化不了，就进行讨论 跟踪训练 4 已知函数 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，则实数 a 的 取值范围为_ 答案 0，2 3 解析 由题意知 11a1， 12a12a1， 解得 0a2 3，即所求 a 的取值范围是 0，2 3 . 命题角度 3 利用单调性求最值 例 5 已知函数 f(x)x1 x2，x3,5 (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的
10、最大值和最小值 解 (1)f(x)在3,5上是增函数，证明如下： 任取 x1，x23,5，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x11 x12 x21 x22 3x1x2 x12x22， 因为 3x1x25， 所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在3,5上为增函数 (2)由(1)知，f(x)在3,5上为增函数， 则 f(x)的最大值为 f(5)4 7，f(x)的最小值为 f(3) 2 5. 反思感悟 利用函数单调性求最值的方法 (1)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)的最大值为 f(b)，最小值为 f(a) (2)若函
11、数 yf(x)在区间a，b上单调递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b) (3)若函数 yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出 最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值 (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函 数值或者发展趋势 跟踪训练 5 已知函数 f(x) 6 1x3(x2,4)，求函数 f(x)的最大值和最小值 解 设 x1，x2是2,4上任意两个实数，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2) 6 1x13 6 1x23 6 1x1 6 1x2 61x261x1 1
12、x11x2 6x1x2 1x11x2， 因为 2x1x24， 所以 x1x20,1x10,1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在2,4上是增函数， 所以 f(x)的最大值为 f(4)1，f(x)的最小值为 f(2)3. 二次函数最值分类讨论问题 典例 已知函数 f(x)x22x3，若 xt，t2，求函数 f(x)的最小值 解 由题意得，函数 f(x)的对称轴为 x1， (1)当 1t2，即 t1 时，f(x)在t，t2上为减函数， f(x)的最小值为 f(t2) (t2)22(t2)3t22t3. (2)当 t1t2，即1t1 时， f(x)的最
13、小值为 f(1)4. (3)当 11 时，f(x)在t，t2为增函数， f(x)的最小值为 f(t)t22t3. 设函数 f(x)的最小值为 g(t)，则有 g(t) t22t3，t1， 4，11. 素养提升 二次函数在指定区间上的最值主要有三类：轴动区间定、轴定区间动、两者都 动 与二次函数的开口、 对称轴有关， 求解时要注意这两个因素 要注意利用二次函数图像， 通过直观想象，进行分类讨论，提升逻辑推理素养 1如图是函数 yf(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 由图像，可知函数 yf(x)的单调递减区间有 2 个 2函数 f(x)的定义
14、域为(a，b)，且对其内任意实数 x1，x2，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函 数 f(x)在(a，b)上是( ) A增函数 B减函数 C不增不减函数 D既增又减函数 答案 B 解析 (x1x2)f(x1)f(x2)0 x1x20 或 x1x20， fx1fx20. 即当 x1f(x2)或当 x1x2时， f(x1)f(x2)不论哪种情况，都说明函数 f(x)在(a，b)上为减函数 3函数 yx26x 的单调递减区间是( ) A(，2 B2，) C3，) D(，3 答案 D 解析 yx26x(x3)29， 故单调递减区间为(，3 4函数 f(x)1 x在1，)上( ) A有最大值无最小值 B有最小值无最大值 C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值 答案 A 解析 由于 f(x)1 x在1，)上单调递减，所以 f(x)在1，)上有最大值，无最小值 5函数 yf(x)的定义域为4,6，若函数 f(x)在区间4，2上单调递减，在区间2,6 上单调递增，且 f(4)f(6)，则函数 f(x)的最小值是_，最大值是_ 答案 f(2) f(6) 解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知最小值为 f(2)，最大值为 f(6) 1知识清单： (1)增函数、减函数的定义 (2)函数的单调区间的求法 (3)单调性的应用 2方法归纳：数形结合法 3常见误区：函数的单调区间误用并集
