1、第 2 课时 函数的单调性与最值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点)；2.会借助单调性求最值(重点) ；3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)预习教材 P3940，完成下面问题：知识点一 函数的最大(小)值设 yf(x) 的定义域为 A，如果存在 x0A，使得对于任意 xA，都有 f(x)f (x0)(f(x) f(x0)恒成立，那么称 f(x0)为 yf(x )的最大(小)值，记为 ymaxf( x0)(yminf (x0)【预习评价】思考 1 任何函数都有最大(小)值吗？提示 不一定函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素若仅有对定义域内的任意实数 x，
2、都有 f(x)M，但 M 不在函数值域内，则 M 不能称为函数的最值例如函数 y (00 ，x 1 10，f(x2) f(x1)0)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论：对称轴 x h 在区间p， q的左侧，即当 hq 时，f(x)maxf( p)，f(x) minf(q)当 a2 时，函数 f(x)x 2ax 3a2在1,1上单调递增， f(x)minf(1) 4a；当1 1，即2a2 时，f(x) minf( ) 33 ；a2 a2 a24 a22 a24当 1，即 a0 恒成立，试求实数 a 的取值范围解 (1)当 a 时，f(x )x 2.12 12x设 1x 10,2x1x22，00
3、，12x1x212 12x1x2f(x2) f(x1)0，f(x 1)0 恒成立x22xa0 恒成立设 yx 22xa，x1，)，则函数 yx 22xa(x1) 2a1 在区间1，)上是增函数，所以当x1 时，y 取最小值，即 ymin3a，于是当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a 3.即实数 a 的取值范围是(3，) 【探究 4】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)Error!其中 x 是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大
4、？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解 (1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000100x ，从而 f(x)Error!(2)当 0x400 时，f(x) (x300) 225 000；12当 x300 时，f(x )max25 000，当 x400 时， f(x)60 000100x 是减函数，f(x)60 000100400 25 000.当 x300 时 ，f(x )max25 000.即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元规律方法 (1)在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下
5、结论：af(x)恒成立af(x )maxaf(x)恒成立af(x )min.(2)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.课堂达标1函数 f(x)x 24x5 在区间0，m上的最大值为 5，最小值为 1，则 m 的取值范围是_解析 由 f(x)(x2) 21 知，当 x2 时， f(x)的最小值为 1，当 f(x)5，即 x24x55 时，解得 x0 或 x4.依据图象，得
6、 2m4.答案 2,42若 x2x12xm 在1,1上恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析 由题意得 x23x 1m0 在1,1上恒成立令 g(x)x 23x1m(x )2 m，32 54其对称轴为 x ，g(x )在区间 1,1上是单调减函数， g(x)ming(1)32131m0，m1.答案 (，1)3函数 y 的最大值，最小值分别为_1 x2解析 由 1x 20 得函数的定义域为 1,1 在 x1,1时，01x 21，且当 x1 时，1x 20，当 x0 时，1x 21，(1x 2)max1，(1x 2)min0.ymax1，y min0.答案 1,04若函数 f(x)4x 2mx 5
7、 在2，)上递增，在(，2上递减，则f(x)min_.解析 依题意，知函数图象的对称轴为 x 2，即 m16，f (x) m8 m8minf(2) 11.答案 115已知函数 f(x)x 22ax2，x5,5 (1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间5,5上是单调函数解 (1)当 a 1 时，f(x)x 22x2(x 1) 21，x5,5，故当 x1 时， f(x)的最小值为 1.当 x5 时， f(x)的最大值为 37.(2)函数 f(x)(xa) 22a 2 图象的对称轴为 xa.f(x)在 5,5上是单调函数，故a5，或a5
8、.即实数 a 的取值范围是a |a5，或 a5课堂小结1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数 y .如果1x有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数 f(x)在闭区间a，b上单调，则 f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是 f(a)或 f(b)，最小值是 f(b)或 f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
