1、第三章 函数的概念与性质 3 3. .4 4 函数的应用函数的应用( (一一) ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解函数模型(如一次函数、二次 函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型)的广泛应用. 2.能够利用给定的函数模型或建立 确定的函数模型解决实际问题(重 点、难点) 1. 通过建立函数模型解决实际问 题，培养数学建模素养. 2. 借助实际问题中的最值问题，提 升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 常见的几类函数模型 函数模型 函
2、数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 分段函数模型 f(x) f1x，xD1 f2x，xD2 fnx ，xDn 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1一个矩形的周长是40，则矩 形的长y关于宽x的函数解析式为 ( ) Ay20 x,0 x10 By202x,0 x20 Cy40 x,0 x10 Dy402x,0 x20 答案 A 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2一辆汽车在某段路程中的行驶路 程s关于时间t变化的图象如图所示，那么 图象所对应的函数模型是( ) A一次函数模型 B二次函数模型
3、C分段函数模型 D无法确定 C 由s与t的图象，可知t 分4段，则函数模型为分段函数 模型 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3某商店进货单价为45元，若 按50元一个销售，能卖出50个；若 销售单价每涨1元，其销售量就减少 2个，为了获得最大利润，此商品的 最佳售价应为每个_元 60 设涨价 x 元，销售的利润 为 y 元， 则 y(50 x45)(502x) 2x240 x2502(x10)2 450， 所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 【例
4、1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关 系为y6x30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生 产文具盒( ) A2 000套 B3 000套 C4 000套 D5 000套 D 因利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由 z0 解 得 x5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套 一次函数模型的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 1一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原 则 2一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式axb0(或0)，解答时， 注意系数a的
5、正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的 电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象根据图象填空： 通话2分钟，需要付电话费_元； 通话5分钟，需要付电话费_元； 如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 _ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 3.6 6 y1.2t(t3) 由图象可知，当 t3 时，电话费 都是 3.6 元 由图象可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元 易知当 t3 时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得 y
6、1.2t(t3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价 不得低于50元且不得高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销 售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱 (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的 函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是 多少？ 二次函数模型的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 思路点拨 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(
7、元/箱)是一 个一次函数关系，虽然x50,55，xN，但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二 次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 解 (1)根据题意，得y903(x50)， 化简，得y3x240(50 x55，xN) (2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销 售利润 所以w(x40)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55， xN) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (3)因为w3x2360 x9 6003(x60)21 200， 所以当x60
8、时，w随x的增大而增大 又50 x55，xN，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润 为1 125元 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 二次函数模型的解析式为gxax2bxca0.在函数建模中，它 占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判 别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际 问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 2A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电
9、站给 A， B 两城供电， 为保证城市安全， 核电站距城市距离不得少于 10 km， 已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比， 比例系 数 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月 (1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义 域； (2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 解 (1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y120 x2. 设乙城的月供电费用为y2，则y210(100 x)2， 甲、乙两城月供电总费用y20 x210(100 x)2. 0.25，
10、 y5x25 2(100 x) 2(10 x90) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (2)由y5x25 2(100 x) 215 2 x2500 x25 000 15 2 x100 3 250 000 3 ， 则当x100 3 时，y最小 故当核电站建在距A城100 3 km时，才能使供电总费用最小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外 每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这 种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件) 时，销售所得的收入约为5t1 2t 2(
11、万元) (1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种 产品所得的年利润表示为年产量x的函数； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 分段函数模型的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 解 (1)当05时，产品只能售出500 件 所以f(x) 5x1 2x 2 0.50.25x，05， 即f(x) 1 2x 24.75x0.5，05. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 (2)当 05 时，f(x)120.25510.75(万元) 故当年产量为 475 件时，当年所得利润最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 1分段函数的“段”一定要
12、分得合理，不重不漏 2分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 3分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结 论 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 3已知 A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地 (1)把汽车离开 A 地的距离 x(千米)表示为时间 t(小时)的函数； (2)求汽车行驶 5 小时与 A 地的距离 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 解 (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x 60t；当2.5 t3.5时，x1
13、50；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小 时，这时x15050(t3.5)所求函数的解析式为 x 60t，0t2.5， 150，2.5t3.5， 50t325， 3.5t6.5. (2)当t5时，x50532575， 即汽车行驶5小时离A地75千米 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 1解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然 后建立其解析式求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的 隐含条件，充分利用函数图形的直观性 2数学建模的过程图示如下： 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
14、航 29 1思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函 数关系如图所示，判断下列说法的对错 (1)甲比乙先出发( ) (2)乙比甲跑的路程多( ) (3)甲、乙两人的速度相同( ) (4)甲先到达终点( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 2向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水 量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的 形状是( ) A B C D B 图反映 随着水深h的增 加，注水量V增 长速度越来越 慢，这反映水瓶 中水上升的液面 越来越小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 3某人从A地出发，开汽车以 80千米/小时的速度经2小时到达B 地，在B地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y(单位：千米)是时间t(单 位：小时)的函数，该函数的解析式 是_ 答案 y 80t，0t2， 160，21 000 得，x700 3 ，故每天至少需要卖出234张门票 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
