1、第三章 函数的概念与性质 3.23.2 函数的基本性质函数的基本性质 3.2.23.2.2 奇偶性奇偶性 第第2 2课时课时 奇偶性的应用奇偶性的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会根据函数奇偶性求函数值或解 析式 2能利用函数的奇偶性与单调性分 析、解决较简单的问题. 1.利用奇偶性求函数的解析式，培 养逻辑推理素养 2借助奇偶性与单调性的应用提升 逻辑推理、数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 【例1】 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，
2、当x0时，f(x)x 1，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x) 1 x1，求函数f(x)， g(x)的解析式 用奇偶性求解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思路点拨 (1)设x0 当x0 fxx1 求fx 奇函数 得x0时fx的解析式 奇函数 的性质 f00 分段函数 fx的解析式 (2)fxgx 1 x1 用x代式中x 得fxgx 1 x1 奇偶性 得fxgx 1 x1 解方程组得fx，gx 的解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 解 (1)设x0， f(x)(x)1x1， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， f(x)f
3、(x)x1， 当x0时，f(x)x1. 又x0时，f(0)0， 所以f(x) x1，x0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 (2)f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， f(x)f(x)，g(x)g(x) 由f(x)g(x) 1 x1， 用x代替x得f(x)g(x) 1 x1， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 f(x)g(x) 1 x1， () 2，得f(x) 1 x21； () 2，得g(x) x x21. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函 数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式
4、 解 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)f(x)，g(x)g(x)， 又f(x)g(x) 1 x1， 用x代替上式中的x，得 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 f(x)g(x) 1 x1， 即f(x)g(x) 1 x1. 联立得 f(x) x x21，g(x) 1 x21. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上 设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用fx的奇偶性写出fx或fx，从而解出fx. 提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f00，但若 为偶函数，未必有f
5、00. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 探究问题 1如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a) 上的单调性如何？ 如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上的 单调性如何？ 提示：如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b， a)上单调递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b， a)上单调递增 函数单调性和奇偶性的综合问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 2你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？ 提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
6、偶函数在关于 原点对称的区间上单调性相反 3若偶函数f(x)在(，0)上单调递增，那么f(3)和f(2)的大小关 系如何？若f(a)f(b)，你能得到什么结论？ 提示：f(2)f(3)，若f(a)f(b)，则|a|b|. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 角度一 比较大小问题 【例2】 函数yf(x)在0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数， 则下列结论成立的是( ) Af(1)f 5 2 f 7 2 Bf 7 2 f(1)f 5 2 Cf 7 2 f 5 2 f(1) Df 5 2 f(1)f 7 2 思路点拨 yfx2是偶函数 fx的图象关于x2对称 0，2上 递增 比较大小
7、栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 B 函数f(x2)是偶函数， 函数f(x)的图象关于直线x2对称，f 5 2 f 3 2 ，f 7 2 f 1 2 ，又f(x) 在0,2上单调递增， f 1 2 f(1)f 3 2 ，即f 7 2 f(1)f 5 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一 单调区间上，然后利用单调性比较大小. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)
8、时，f(x)是增函数， 则 f(2)，f()，f(3)的大小关系是( ) Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3) A 由偶函数与单调性的关系知，若 x0，)时，f(x)是增函数， 则 x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对 值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3)f(2)，故 选 A. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 角度二 解不等式问题 【例3】 已知定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函 数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围 解 因为f(x)在区间2,2上为奇函
9、数，且在区间0,2上是减函 数，所以f(x)在2,2上为减函数 又f(1m)m， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 即 1m3， 2m2， m1 2. 解得1m1 2. 故实数m的取值范围是1m1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 解有关奇函数fx的不等式fafb0， 先将fafb0变形为fa fbfb，再利用 fx的单调性去掉“f”，化为关于 a，b 的不等式. 另外， 要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间 上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质 fxf|x|f|x|将 fgx中的 gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号 f，使
10、不等式得解. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 2函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函 数，f(3)1 Ba1或a2 D1a2 C 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3) f(2a1)，所以 f(3) f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以3 1或a0时的解析式与xf(2) Bf(1)f(2)，故选A. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 3定义在R上的偶函数f(x)在 0，)上是增函数，若f(a)f(b)， 则一定可得( ) Aab C|a|b| D0ab0 C f(x)是R上的偶函数，且 在0，)上是增函数， 由f(a)f(b)可得|a|b|. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 4已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式 解 f(x)g(x)x2x2，由 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得， f(x)g(x)x2x2， 又 f(x)g(x)x2x2， 两式联立得 f(x)x22， g(x)x. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
