1、第四章 指数函数与对数函数 4.54.5 函数的应用函数的应用( (二二) ) 4.5.14.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数零点的概念以及函数零 点与方程根的关系(易混点) 2会求函数的零点(重点) 3掌握函数零点存在定理并会判断 函数零点的个数(难点) 1.借助零点的求法培养数学运算和 逻辑推理的素养 2借助函数的零点同方程根的关 系，培养直观想象的数学素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1函数的
2、零点 对于函数 yf(x)，把使 叫做函数 yf(x)的零点 f(x)0 的实数 x 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？ 提示：不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象 与x轴交点的横坐标 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 有交点函数 y f(x)有 3函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条 的曲线，且 有 ，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存 在 c(a，b)，使得 ，这个 c 也就是方程 f(
3、x)0 的解 x 轴 零点 连续不断 f(a)f(b)0 f(c)0 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考2：该定理具备哪些条件？ 提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断 的一条曲线；f(a) f(b)0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 D 结 合函数零点 的定义可知 选项D没有零 点 1下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) A B C D 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 2函数y2x1的零点是 ( ) A.1 2 B. 1 2，0 C. 0，1 2 D2 A 由2x10得x1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 3函数f(x)3x
4、4的零点所在 区间为( ) A(0,1) B(1,0) C(2,3) D(1,2) D 由f(1)11 3 0，f(0) 30，f(1)10，f(3) 230，得f(x)的零点所在区间为 (1,2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 4二次函数yax2bxc中， a c 0得二次函 数yax2bxc有两个零点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例1】 (1)求函数f(x) x22x3，x0， 2ln x，x0 的零点； (2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的
5、零 点 求函数的零点 解 (1)当x0时，令x22x30，解得x3； 当x0时，令2ln x0，解得xe2. 所以函数f(x) x22x3，x0 2ln x，x0 的零点为3和e2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a. 故g(x)3ax2axax(3x1) 令g(x)0，即ax(3x1)0， 解得x0或x1 3. 所以函数g(x)的零点为0和1 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 函数零点的求法 1代数法：求方程fx0的实数根. 2几何法：对于不能用求根公式的方程fx0，可以将它与函数y fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横
6、坐标即为函数的零点. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明 理由 (1)f(x)x27x6； (2)f(x)1log2(x3)； (3)f(x)2x 13； (4)f(x)x 24x12 x2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 解 (1)解方程f(x)x27x60， 得x1或x6， 所以函数的零点是1，6. (2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1. (3)解方程f(x)2x 130，得xlog 26，所以函数的零点是log26. (4)解方程f(x)x 24x12 x2 0，得x6，所以函
7、数的零点为6. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 【例2】 (1)函数f(x)ln(x1)2 x的零点所在的大致区间是( ) A(3,4) B(2，e) C(1,2) D(0,1) 判断函数零点所在的区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 (2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间 是( ) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x3 2 3 4 5 6 A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (1)C (2)C (1)因为f(1)ln 22 10，且函数f(x
8、) 在(0，)上单调递增， 所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 (2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.372 1.630， f(0)1320， f(1)2.7241.280， f(3)20.08614.080， f(1) f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 判断函数零点所在区间的三个步骤 1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值. 2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. 3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内 无零点，若符号为负且函数连续
9、，则在该区间内至少有一个零点. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2若函数f(x)xa x(aR)在区 间(1,2)上有零点，则a的值可能是 ( ) A2 B0 C1 D3 A f(x)xa x(aR)的图象在 (1,2)上是连续不断的，逐个选项代 入验证，当a2时，f(1)12 10.故f(x)在区 间(1,2)上有零点，同理，其他选项 不符合，选A. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 探究问题 1方程f(x)a的根的个数与函数yf(x)及ya的图象交点个数什么 关系？ 提示：相等 函数零点的个数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 2若函数g(x)f(x)a有零点，如
10、何求实数a的范围？ 提示：法一：g(x)f(x)a有零点可知方程 f(x)a0有解，即af(x)有解 故a的范围为yf(x)的值域 法二：g(x)f(x)a有零点，等价于函数ya与函数yf(x)的图象有 交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即 可 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 【例 3】 已知 0a1，则函数 ya|x|logax|的零点的个数为( ) A1 B2 C3 D4 思路点拨 构造函数fxa|x|0a1 与gx|logax|0a1 画出fx与 gx的图象 观察图象得 零点的个数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 B 函数ya|x|logax|
11、(0a1)的零点的个 数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是 函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象 的交点的个数 画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示， 观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数 为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其 零点个数 解 由2x|logax|10得|logax| 1 2 x，作出y
12、1 2 x及y|log ax|(0a1) 的图象如图所示 由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数y2x|logax|1有两个零点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b 的取值范围 解 由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所 示 则当0b0，则f(x)在a，b内无零点( ) (3)若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a) f(b)0，则f(x) 在(a，b)内有且只有一个零点( ) (4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a) f(b
13、)0.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2函数f(x)2x3的零点所在 的区间是( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) B f(1)2310， f(1) f(2)0，即f(x)的零点所在 的区间为(1,2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 3对于函数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则( ) A方程 f(x)0 一定有实数解 B方程 f(x)0 一定无实数解 C方程 f(x)0 一定有两实根 D方程 f(x)0 可能无实数解 D 函数 f(x)的图象在(1,3) 上未必连续， 故尽管 f(1)f(3) 0， 但方程 f(x)0 在(1,3)上可能无实 数解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 4已知函数f(x)x2x2a. (1)若a1，求函数f(x)的零点； (2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围 解 (1)当a1时，f(x)x2x2. 令f(x)x2x20，得x1或x2. 即函数f(x)的零点为1和2. (2)要使f(x)有零点，则18a0，解得a1 8， 所以a的取值范围是 1 8， . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
