1、第五章 三角函数 5.15.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 5.1.25.1.2 弧度制弧度制 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一 一对应关系 2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角 度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特 殊角的弧度数(重点、难点) 3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联 系(易错点) 1.通过对弧度制概念的学 习，培养学生的数学抽象 素养 2借助弧度制与角度制 的换算，提升学生的数学 运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导
2、航 栏目导航栏目导航 4 1度量角的两种单位制 (1)角度制： 定义：用 作为单位来度量角的单位制 1 度的角：周角的_. (2)弧度制： 定义：以 作为单位来度量角的单位制 1 弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角 度 1 360 弧度 半径长 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2弧度数的计算 正数 负数 0 l r 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 思考：比值 l r与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定 的，与半径大小无关 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3角度制与弧度制的换算 180 ( 180 ) 栏目导航栏目导
3、航 栏目导航栏目导航 8 4一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0 30 45 _ _ 120 135 150 _ _ 360 弧 度 _ _ _ 3 2 _ _ _ 3 2 _ 5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，(02)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l . (2)扇形面积公式：S . 60 90 180 270 0 6 4 2 3 3 4 5 6 2 R 1 2lR 1 2R 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 1下列转化结果错误的是( ) A60 化成弧度是 3 rad B10 3 rad化成度是600 C150 化成弧度是7 6 rad D. 12 rad
4、化成度是15 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 C 对于A,60 60 180 rad 3 rad；对于B， 10 3 rad10 3 180 600 ；对于C，150 150 180 rad 5 6 rad；对于D， 12 rad 1 12180 15 .故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 2.29 6 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 29 6 45 6 .5 6是第二 象限角，29 6 是第二象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 3(1)7 5 rad化为角度是 _ (2)105 的弧度数是_ (1)252 (2)
5、7 12 (1) 7 5 rad 7 5 180 252 ； (2)105 105 180 rad 7 12 rad. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 4半径为2，圆心角为 6的扇形 的面积是_ 3 由已知得S扇 1 2 62 2 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例1】 (1)将112 30化为弧度为_ 将5 12rad化为角度为_ (2)已知15 ， 10 rad，1 rad，105 ， 7 12 rad，试比较 ，的大小 角度与弧度的互化与应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
6、 16 (1)5 8 rad 75 (1)因为1 180rad， 所以112 30 180112.5 rad 5 8 rad. 因为1 rad 180 ， 所以5 12rad 5 12 180 75 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 (2)法一(化为弧度)： 15 15 180 rad 12 rad，105 105 180 rad 7 12 rad. 显然 12 101 7 12.故. 法二(化为角度)： 10 rad 10 180 18 ，1 rad57.30 ， 7 12 180 105 . 显然，15 18 57.30 105 . 故. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 1
7、8 角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 rad180 是关键； 2方法：度数 180弧度数；弧度数 180 度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 1(1)将157 30 化成弧度为_ (2)将11 5 rad化为度 是_ (1)7 8 rad (2)396 (1) 157 30157.5 315 2 180 rad 7 8 rad. (2)11 5 rad11 5 180 396 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2在0,4中，与72 角终边相同的角有 _(用弧度表示) 2 5， 12 5 因为终边与7
8、2 角相同的角 为72 k 360 (kZ) 当k0时，72 2 5 rad； 当k1时，432 12 5 rad， 所以在0,4中与72 终边相同的角有2 5 ，12 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是( ) A. 4 B. 4， 5 4 C. 42k，kZ D. 4k，kZ 用弧度数表示角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集 合 思路点拨 (1) 判断角的 终边位置 用弧度制表示 角的集合 (2)在0，2内找角表示终边落在第一象限阴影内的角 加kk
9、Z表示角的集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 (1)D 因为角的终边经过点(a，a)(a0)， 所以角的终边落在直线yx上， 所以角的集合是 4k，kZ . (2)解 因为30 6 rad,210 7 6 rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k 6，kZ，而终边在y轴上的角为k 2，kZ，从而终边落在阴影 部分内的角的集合为 k 6k 2，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 1弧度制下与角终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k， kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍 2根据已知图形写出区域角的集
10、合的步骤： (1)仔细观察图形 (2)写出区域边界作为终边时角的表示 (3)用不等式表示区域范围内的角 提醒：角度制与弧度制不能混用. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 3下列与9 4 的终边相同的角的 表达式中，正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4 (kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) C A，B 中弧度与角度混用， 不正确 9 42 4，所以 9 4 与 4终边相 同315 360 45 ，所以 315 也与 45 终边相同故选 C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合
11、 解 30 6 rad,150 5 6 rad. 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是 6k 5 6 k，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 探究问题 1用公式| l r求圆心角时，应注意什么问题？ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大 小，又要注意其正负 2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再 计算，否则结果易出错 弧长公式与扇形面积公式的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为
12、圆心，边长AB为 半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数 大小为_ (2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心 角的弧度数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 思路点拨 (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求 EAD的弧度数 (2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和 半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (1)2 2 设AB1，EAD，S扇形ADES阴影BCD， 由题意可得1 21 2121 2 4 ， 解得2 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
13、航 31 (2)设扇形的弧长为l，半径为r， 则 2rl60， 1 2lr20， r15 205， l 40 15 205 或 r15 205， l 40 15 205， 扇形的圆心角的弧度数为 l r433 205或433 205. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为 “4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数 解 设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r， 依题意有 l2r10， 1 2lr4. 由得l102r，代入得r25r40， 解得r11，r24. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 当 r1
14、时，l8(cm)， 此时，8 rad2 rad 舍去 当 r4 时，l2(cm)，此时，2 4 1 2 rad. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB. 解 设弧长为l，半径为r，由已知l2r60， 所以l602r，| l r 602r r ， 从而S1 2|r 21 2 602r r r2r230r(r15)2225， 当r15时，S取最大值为225，这时圆心角 l r 602r r 2 rad， 可得弧长ABr21530 (cm) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 弧度制下解决扇
15、形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S1 2r 2 和 S1 2lr.(这里 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式 (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但 也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用 2弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是 弧度制下同时也应注意与其他知识如函数内容的结合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目
16、导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 1思考辨析( ) (1)1弧度的角是周角的 1 360. (2)1弧度的角大于1度的角 提示 (1)错误，1弧度的角是周角的 1 2.(2)正确 答案 (1) (2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 2圆的半径为r，该圆上长为3 2r 的弧所对的圆心角是( ) A.2 3 rad B.3 2 rad C.2 3 rad D.3 2 rad B 由弧度数公式 l r，得 3 2r r 3 2，因此圆弧所对的圆心角 是3 2 rad. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 3若把570 写成2k (kZ,02)的形式，则 _. 5 6 570 19 6 4 5 6 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 4求半径为 cm，圆心角为120 的扇形的弧长及面积 解 因为r，120 180 2 3 ， 所以lr2 2 3 cm，S1 2lr 3 3 cm2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
