1、第五章 三角函数 5.25.2 三角函数的概念三角函数的概念 5.2.25.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关 系式的推导及应用(重点) 2会利用同角三角函数的基本关系 式进行化简、求值与恒等式证 明(难点) 1.通过同角三角函数的基本关系进 行运算，培养数学运算素养 2借助数学式子的证明，培养逻辑 推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1平方关系 (1)公式：sin2cos2
2、 . (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 . 2商数关系 (1)公式： sin cos (k 2，kZ) (2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的商等于 1 1 tan 角 的正切 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思考：对任意的角，sin22cos221是否成立？ 提示：成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达 形式无关 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1化简1sin23 5 的结果是 ( ) Acos3 5 Bsin3 5 Ccos3 5 Dsin3 5 C 因为3 5 是第二象限角， 所以 cos3 5 0， 所以1sin23 5 cos23 5
3、cos3 5 cos3 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2如果是第二象限的角，下 列各式中成立的是( ) Atan sin cos Bcos 1sin2 Csin 1cos2 Dtan cos sin B 由商数关系可知A，D均不 正确当为第二象限角时，cos 0，sin 0，故B正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3若cos 3 5，且为第四象限 角，则tan _. 4 3 因为为第四象限角，且 cos 3 5， 所以sin 1cos2 1 3 5 24 5， 所以tan sin cos 4 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提
4、 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)已知 ，3 2 ，tan 2，则cos _. (2)已知cos 8 17，求sin ，tan 的值 思路点拨 (1)根据tan 2和sin2cos21列方程组求cos . (2)先由已知条件判断角是第几象限角，再分类讨论求sin ，tan . 直接应用同角三角函数关系求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (1) 5 5 由已知得 sin cos 2， sin2cos21， 由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21， 所以 cos21 5，又 ，3 2 ，所以 cos 0， 所以 cos 5 5 . 栏
5、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (2)解 cos 8 170， 是第二或第三象限的角 如果是第二象限角，那么 sin 1cos21 8 17 215 17， tan sin cos 15 17 8 17 15 8 . 如果是第三象限角，同理可得 sin 1cos215 17，tan 15 8 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： 1已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意 公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. 2若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结 果；若角所在的象限不确定，应
6、分类讨论，一般有两组结果. 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判 断，确定所求值的符号. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值 解 sin 3cos 0， sin 3cos . 又sin2cos21， (3cos )2cos21， 即10cos21， cos 10 10 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 又由sin 3cos ， 可知sin 与cos 异号， 角的终边在第二或第四象限 当角的终边在第二象限时，cos 10 10 ，sin 3 10 10； 当角的终边在第四象限时，cos 10 10 ，s
7、in 3 10 10. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 【例2】 (1)已知sin cos 7 13，(0，)，则tan _. (2)已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值 3sin cos 2sin 3cos ； sin22sin cos 1. 灵活应用同角三角函数关系式求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 思路点拨 (1)法一：求sin cos 求sin cos 求sin 和cos 求tan 法二：求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程求tan (2)求tan 换元或弦化切求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 (1)12 5 法一：(
8、构建方程组) 因为 sin cos 7 13， 所以 sin2cos22sin cos 49 169， 即 2sin cos 120 169. 因为 (0，)，所以 sin 0，cos 0. 所以 sin cos sin cos 2 12sin cos 17 13. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 由解得sin 12 13，cos 5 13， 所以tan sin cos 12 5 . 法二：(弦化切) 同法一求出sin cos 60 169， sin cos sin2cos2 60 169， tan tan21 60 169， 整理得60tan2169tan 600，解得tan 5
9、12或tan 12 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 由sin cos 7 130知|sin |cos |，故tan 12 5 . (2)解 由sin cos sin cos 2，化简， 得sin 3cos ， 所以tan 3. 法一(换元)原式 33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 8 9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 法二(弦化切)原式3tan 1 2tan 3 331 233 8 9. 原式sin 22sin cos sin2cos2 1 tan 22tan tan21 13 223 321 113 10. 栏目导航栏目导航 栏目导航
10、栏目导航 22 1将本例(1)条件“(0，)”改为“(，0)”其他条件不 变，结果又如何？ 解 由例(1)求出2sin cos 120 169， 因为(，0)， 所以sin 0，cos 0， 所以sin cos sin cos 2 12sin cos 17 13. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 与sin cos 7 13联立解得 sin 5 13，cos 12 13， 所以tan sin cos 5 12. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2将本例(1)的条件“sin cos 7 13”改为“sin cos 1 8”其 他条件不变，求cos sin . 解 因为 sin
11、cos 1 80， 所以 2， ， 所以 cos sin 0， cos sin 12sin cos 12 1 8 5 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 1sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一 个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )21 2sin cos . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2已知tan m，求关于sin ，cos 的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式 (或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以可除以cos ，这 样可
12、将被求式化为关于tan 的表示式，然后代入tan m的值，从而完 成被求式的求值 提醒：求sin cos 或sin cos 的值，要注意根据角的终边位 置，利用三角函数线判断它们的符号 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 【例3】 (1)化简 2sin21 12cos2_. (2)化简 sin 1cos tan sin tan sin .(其中是第三象限角) 思路点拨 (1)将cos21sin2代入即可化简 (2)首先将tan 化为 sin cos ，然后化简根式，最后约分 应用同角三角函数关系式化简 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 (1)1 原式 2sin21 121sin2
13、 2sin21 2sin211. (2)解 原式 sin 1cos sin cos sin sin cos sin sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos 2 1cos2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 sin 1cos 1cos |sin | . 又因为是第三象限角， 所以sin 0. 所以原式 sin 1cos 1cos sin 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 三角函数式化简的常用方法 1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名 称，达到化简的目的. 2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去 根号达到化简
14、的目的. 3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的. 提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的 象限决定，不可凭空想象. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 2化简 tan 1 sin21，其中 是第二象限角 解 因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0. 故tan 1 sin21tan 1sin2 sin2 tan cos2 sin2 sin cos cos sin sin cos cos sin 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 探究问题 1证明三角恒等式常用哪些方法？ 提
15、示：(1)从右证到左 (2)从左证到右 (3)证明左右归一 (4)变更命题法如：欲证明M N P Q，则可证MQNP，或证 Q N P M 等 应用同角三角函数关系式证明 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2在证明1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时如何巧用 “1”的代换 提示：在求证1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时，观察等 式左边有 2sin cos ，它和 1 相加应该想到“1”的代换，即 1sin2 cos2， 所以等式左边 sin 2cos22sin cos sin cos 1sin cos 栏目导航栏
16、目导航 栏目导航栏目导航 34 sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 右边 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 【例4】 求证： tan sin tan sin tan sin tan sin . 思路点拨 解答本题可由关系式tan sin cos 将两边“切”化 “弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 证明 法一：(切化弦) 左边 sin2 sin sin cos sin 1cos ， 右边sin sin cos sin2 1cos sin . 因为si
17、n21cos2(1cos )(1cos )， 所以 sin 1cos 1cos sin ，所以左边右边 所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 法二：(由右至左) 因为右边 tan2sin2 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan21cos2 tan sin tan sin tan2sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边， 所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到 简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等
18、于第三者；(3)比较法(作差，作比 法) 2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2) 化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式) 提醒：解决此类问题要有整体代换思想 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 3求证：(1)sin cos 1 sin cos 1 1sin cos ； (2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10. 证明 (1)左边 sin cos 1sin cos 1 sin cos 1sin cos 1 sin 1 2cos2 sin cos 21 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 sin 2 2sin 11sin2 si
19、n2 cos2 2sin cos 1 2sin2 2sin 12sin cos 1 2sin sin 1 2sin cos 1sin cos 右边， 原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 (2)左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )1 2(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 )3(sin4 cos4 )1 (2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1 (sin4 2sin2 cos2 cos4 )1 (sin2 cos2 )21110右边， 原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
20、42 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 1思考辨析 (1)对任意角， sin 2 cos 2 tan 2都成立( ) (2)因为sin2 9 4cos 2 41，所以sin 2cos21成立，其中，为任 意角( ) (3)对任意角，sin cos tan 都成立( ) 提示 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域 知不能取任意角，所以(1)错，(3)错 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 2已知tan 1 2，则 2sin cos sin2cos2的值
21、是( ) A.4 3 B3 C4 3 D3 A 因为 tan 1 2， 所以 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 2 1 2 1 2 21 4 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 46 3已知是第二象限角，tan 1 2，则cos _. 2 5 5 因为 sin cos 1 2，且 sin2cos21， 又因为是第二象限角， 所以cos 0， 所以cos 2 5 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 47 4(1)化简 sin2sin4，其中是第二象限角 (2)求证：1tan2 1 cos2. 解 (1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0， 所以sin cos 0， 所以 sin2sin4 sin21sin2 sin2cos2 sin cos . (2)证明：1tan21 sin2 cos2 cos2sin2 cos2 1 cos2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 48 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
