1、第五章 三角函数 5.35.3 诱导公式诱导公式 第第2 2课时课时 公式五和公式六公式五和公式六 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解公式五和公式六的推导方 法 2能够准确记忆公式五和公式 六(重点、易混点) 3灵活运用诱导公式进行三角函数 式的化简、求值和证明(难点) 1.借助诱导公式求值，培养数学运 算素养 2通过诱导公式进行化简和证明， 提示逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1公式五 (1)角 2与角的终边关于 对称， 如图所示 (2)公式
2、：sin 2 ， cos 2 . 直线 yx cos sin 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2公式六 (1)公式五与公式六中角的联系 2 . (2)公式：sin 2 ， cos 2 . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？ 2 cos sin 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 提示：sin 2 sin 2 sin 2 cos . cos 2 cos 2 cos 2 sin . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 1下列与 sin 的值相等的是 ( ) Asin() Bsin 2 Ccos 2 Dcos 2 C sin( ) sin ； sin 2 cos ； cos 2
3、sin ；cos 2 sin . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2已知sin 19 55m，则 cos(70 5)_. m cos(70 5)cos 70 5 cos(90 19 55) sin 19 55m. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 3计算：sin211 sin279 _. 1 因为11 79 90 ，所以 sin 79 cos 11 ， 所以原式sin211 cos211 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 4化简sin 3 2 _. cos sin 3 2 sin 2 sin 2 cos . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探
4、 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例1】 (1)已知cos 31 m，则sin 239 tan 149 的值是( ) A.1m 2 m B. 1m2 C1m 2 m D 1m2 (2)已知sin 3 1 2，则cos 6 的值为_ 利用诱导公式化简求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 思路点拨 (1) 239 180 59 149 180 31 59 31 90 选择公式 化简求值 (2) 3 6 2 选择公式化简求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 (1)B (2)1 2 (1)sin 239 tan 149 sin(180 59 )
5、tan(180 31 ) sin 59 (tan 31 ) sin(90 31 ) (tan 31 ) cos 31 (tan 31 )sin 31 1cos231 1m2. (2)cos 6 cos 2 3 sin 3 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1将例1(2)的条件中的“ 3”改为“ 3”，求cos 5 6 的值 解 cos 5 6 cos 2 3 sin 3 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 2将例1(2)增加条件“是第二象限角”，求sin 7 6 的值 解 因为是第二象限角，所以是第三象限角， 又sin 3 1 2，所以 3是第二象限角， 所以
6、cos 3 3 2 ， 所以sin 7 6 sin 6 sin 6 cos 3 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 解决化简求值问题的策略： 1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之 间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形， 向已知式转化. 提醒：常见的互余关系有： 3与 6， 4与 4等； 常见的互补关系有： 3与 2 3 ， 4与 3 4 等. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 【例2】 (1)求证： sin cos sin cos 2sin 3 2 cos 2 1 12sin2 . (2)求证：cos6sin
7、2tan2 cos 3 2 sin 3 2 tan . 利用诱导公式证明恒等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 证明 (1)右边 2sin 3 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 2cos sin 1 cos2sin22sin2 sin cos 2 sin2cos2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 sin cos sin cos 左边， 所以原等式成立 (2)左边cos sintan cos 2 sin 2 cos sin tan sin cos tan 右边， 所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目
8、导航栏目导航 21 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或 左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1” 的代换法. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1求证： cos 5 2 x sin x5 2 tan6x 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 证明 因为 cos 5 2 x sin x5 2 tan6x cos 2 2x sin x 22 tanx cos 2x sin x 2 tan x sin x cos xtan x1 右边，所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导
9、航栏目导航 24 探究问题 1公式一四和公式五六的主要区别是什么？ 提示：公式一四中函数名称不变，公式五六中函数名称改变 2如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？ 提示：“奇变偶不变、符号看象限” 诱导公式的综合应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 【例3】 已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，求 sin 3 2 cos 3 2 cos 2 sin 2 tan2()的值 思路点拨 解方程并根据sin 的取值范围确定sin 的值 由同角三角函数关 系式求cos ，tan 用诱导公式化简求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 解 方程5x27x60的
10、两根为x13 5，x22，因为1sin 1，所以sin 3 5. 又是第三象限角， 所以cos 4 5，tan sin cos 3 4， 所以 sin 3 2 cos 3 2 cos 2 sin 2 tan2() 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 sin 2 cos 2 sin cos tan2 cos sin sin cos tan2 tan2 9 16. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分 析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分
11、子 分母同乘一个式子变形. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 2已知sin 2 cos 5 2 60 169，且 4 2，求sin 与cos 的值 解 sin 2 cos ， cos 5 2 cos 2 2 sin ， sin cos 60 169， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 即2sin cos 120 169. 又sin2cos21， 得(sin cos )2289 169， 得(sin cos )2 49 169. 又 4， 2 ，sin cos 0， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 即sin cos 0，sin cos 0， sin cos 17 13，
12、 sin cos 7 13， () 2得sin 12 13，() 2得cos 5 13. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1公式五反映了终边关于直线yx对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角 2的正弦(余弦)函数值，等于角的余弦(正弦)函数 值 2由于 2 2 ，因此由公式四及公式五可以得到公式六 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 3利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化在求任 意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为02的范围内的 角，再将这个范围内的角转化为锐角也就是“负化正，大化小，化到 锐角再查表(特殊角的三角函数值表)” 栏目导航栏目导航 栏
13、目导航栏目导航 34 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1思考辨析 (1)公式五和公式六中的角一定是锐角( ) (2)在ABC中，sinAB 2 cosC 2 .( ) (3)sin 2 sin 2 cos()cos .( ) 提示 (1)错误公式五和公式六中的角可以是任意角 (2)正确因为AB 2 C 2 2，由公式五可知sin AB 2 cosC 2 . (3)正确 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 2若sin 2 0，则是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三角限角 D第四象限角 B 由于sin
14、2 cos 0，所以角的 终边落在第二象限，故选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 3已知cos 1 5，且为第四象 限角，那么cos 2 _. 2 6 5 因为cos 1 5，且为第 四象限角， 所以sin 1cos2 2 6 5 ， 所以cos 2 sin 2 6 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 4化简： sin 2 cos 2 cos sin2cos 2 sin . 解 原式cos sin cos sinsin sin sin (sin )2sin . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
