1、4.34.3 等比数列等比数列 4 4. .3.13.1 等比数列的概念等比数列的概念 第第 1 1 课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式 1在数列an中,若 an13an,a12,则 a4为( ) A108 B54 C36 D18 答案 B 解析 因为 an13an, 所以数列an是公比为 3 的等比数列, 则 a433a154. 2(多选)在等比数列an中,a11 8,q2,则 a4 与 a8的等比中项为( ) A4 B4 C1 4 D. 1 4 答案 AB 解析 由题意得 a26a4a8, 因为 a11 8,q2, 所以 a4与 a8的等比中项为 a6 4. 3在等
2、比数列an中,an0,且 a1a21,a3a49,则 a4a5的值为( ) A16 B27 C36 D81 答案 B 解析 a1a21,a3a49,q29. q3(q3 舍去),a4a5(a3a4)q27. 4数列an是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,则数列bn 的公比为( ) A. 2 B4 C2 D.1 2 答案 C 解析 因为 a1,a3,a7为等比数列bn中的连续三项, 所以 a23a1a7, 设数列an的公差为 d,则 d0, 所以(a12d)2a1(a16d), 所以 a12d, 所以公比 qa3 a1 4d 2d2. 5若正项数列an满足
3、a12,a2n13an1an4a2n0,则数列an的通项公式 an等于( ) A22n 1 B2n C22n1 D22n3 答案 A 解析 由 a2n13an1an4a2n0, 得(an14an) (an1an)0. 又an是正项数列, 所以 an14an0,an 1 an 4. 由等比数列的定义知数列an是以 2 为首项, 4 为公比的等比数列由等比数列的通项公式, 得 an24n 122n1. 6若an为等比数列,且 a3a44,a22,则公比 q_. 答案 1 或2 解析 根据题意, a1q2a1q34, a1q2, 解得 a12, q1 或 a11, q2. 7已知an是等差数列,公差
4、 d 不为零若 a2,a3,a7成等比数列,且 2a1a21,且 a1 _,d_. 答案 2 3 1 解析 a2,a3,a7成等比数列,a23a2a7, (a12d)2(a1d)(a16d), 即 2d3a10. 又2a1a21,3a1d1. 由解得 a12 3,d1. 8已知等比数列an的前三项依次为 a1,a1,a4,则 an_. 答案 4 3 2 n1 解析 由已知可得(a1)2(a1)(a4), 解得 a5,所以 a14,a26, 所以 qa2 a1 6 4 3 2, 所以 an4 3 2 n1. 9在等比数列an中,a332,a58. (1)求数列an的通项公式 an; (2)若 a
5、n1 2,求 n. 解 (1)因为 a5a3q2, 所以 q2a5 a3 1 4. 所以 q 1 2. 当 q1 2时,ana3q n332 1 2 n328n; 当 q1 2时,ana3q n332 1 2 n3. 所以 an28 n或 a n32 1 2 n3. (2)当 an1 2时, 即 28 n1 2或 32 1 2 n31 2, 解得 n9. 10在等比数列an中: (1)已知 a32,a58,求 a7; (2)已知 a3a15,a5a115,求通项公式 an. 解 (1)因为a5 a3q 28 2, 所以 q24, 所以 a7a5q28432. (2)a3a1a1(q21)5,
6、a5a1a1(q41)15, 所以 q213,所以 q24, 所以 a11,q 2, 所以 ana1qn 1( 2)n1. 11已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 yx22x3 的顶点是(b,c),则 ad 等于( ) A3 B2 C1 D2 答案 B 解析 y(x1)22,b1,c2. 又a,b,c,d 成等比数列,adbc2. 12已知等比数列an满足 a11 4,a3a54(a41),则 a2等于( ) A2 B1 C.1 2 D. 1 8 答案 C 解析 方法一 a3,a5的等比中项为 a4, a3a5a24,a3a54(a41), a244(a41), a244a440, a4
7、2. 又q3a4 a1 2 1 4 8, q2, a2a1q1 42 1 2. 方法二 a3a54(a41), a1q2 a1q44(a1q31), 将 a11 4代入上式并整理,得 q 616q3640, 解得 q2, a2a1q1 2. 13(多选)已知等差数列 a,b,c 三项之和为 12,且 a,b,c2 成等比数列,则 a 等于( ) A2 B2 C8 D. 8 答案 BD 解析 由已知得 ac2b, abc12, ac2b2, 解得 a2, b4, c6 或 a8, b4, c0. 故 a2 或 a8. 14若数列an的前 n 项和为 Sn,且 an2Sn3,则an的通项公式是_
8、答案 an3 (1)n 1 解析 由 an2Sn3 得 an12Sn13(n2), 两式相减得 anan12an(n2), anan1(n2), 又 a13,故an是首项为 3,公比为1 的等比数列, an3 (1)n 1. 15已知在等差数列an中,a2a416,a11,a21,a41 成等比数列,把各项按如图 所示排列则从上到下第 10 行,从左到右的第 11 个数值为_ 答案 275 或 8 解析 设公差为 d,由 a2a416,得 a12d8, 由 a11,a21,a41 成等比数列, 得(a21)2(a11)(a41),化简得 a1d1 或 d0, 当 d3 时,an3n1.由题图可
9、得第 10 行第 11 个数为数列an中的第 92 项,a92392 1275. 当 d0 时,an8,a928. 16设数列an是公比小于 1 的正项等比数列,已知 a18,且 a113,4a2,a39 成等差数 列 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnan(n2),且数列bn是单调递减数列,求实数 的取值范围 解 (1)设数列an的公比为 q. 由题意,可得 an8qn 1,且 0q1. 由 a113,4a2,a39 成等差数列, 知 8a230a3, 所以 64q308q2, 解得 q1 2或 15 2 (舍去), 所以 an8 1 2 n124n,nN*. (2)bnan(n2)(n2) 24 n, 由 bnbn1, 得(n2) 24 n(n3) 23n, 即 n1, 所以 (n1)min2, 故实数 的取值范围为(,2)