1、4.34.3 等比数列等比数列 4 4. .3.13.1 等比数列的概念等比数列的概念 第第 1 1 课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式 1在数列an中，若 an13an，a12，则 a4为( ) A108 B54 C36 D18 答案 B 解析 因为 an13an， 所以数列an是公比为 3 的等比数列， 则 a433a154. 2(多选)在等比数列an中，a11 8，q2，则 a4 与 a8的等比中项为( ) A4 B4 C1 4 D. 1 4 答案 AB 解析 由题意得 a26a4a8， 因为 a11 8，q2， 所以 a4与 a8的等比中项为 a6 4. 3在等
2、比数列an中，an0，且 a1a21，a3a49，则 a4a5的值为( ) A16 B27 C36 D81 答案 B 解析 a1a21，a3a49，q29. q3(q3 舍去)，a4a5(a3a4)q27. 4数列an是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn 的公比为( ) A. 2 B4 C2 D.1 2 答案 C 解析 因为 a1，a3，a7为等比数列bn中的连续三项， 所以 a23a1a7， 设数列an的公差为 d，则 d0， 所以(a12d)2a1(a16d)， 所以 a12d， 所以公比 qa3 a1 4d 2d2. 5若正项数列an满足
3、a12，a2n13an1an4a2n0，则数列an的通项公式 an等于( ) A22n 1 B2n C22n1 D22n3 答案 A 解析 由 a2n13an1an4a2n0， 得(an14an) (an1an)0. 又an是正项数列， 所以 an14an0，an 1 an 4. 由等比数列的定义知数列an是以 2 为首项， 4 为公比的等比数列由等比数列的通项公式， 得 an24n 122n1. 6若an为等比数列，且 a3a44，a22，则公比 q_. 答案 1 或2 解析 根据题意， a1q2a1q34， a1q2， 解得 a12， q1 或 a11， q2. 7已知an是等差数列，公差
4、 d 不为零若 a2，a3，a7成等比数列，且 2a1a21，且 a1 _，d_. 答案 2 3 1 解析 a2，a3，a7成等比数列，a23a2a7， (a12d)2(a1d)(a16d)， 即 2d3a10. 又2a1a21，3a1d1. 由解得 a12 3，d1. 8已知等比数列an的前三项依次为 a1，a1，a4，则 an_. 答案 4 3 2 n1 解析 由已知可得(a1)2(a1)(a4)， 解得 a5，所以 a14，a26， 所以 qa2 a1 6 4 3 2， 所以 an4 3 2 n1. 9在等比数列an中，a332，a58. (1)求数列an的通项公式 an； (2)若 a
5、n1 2，求 n. 解 (1)因为 a5a3q2， 所以 q2a5 a3 1 4. 所以 q 1 2. 当 q1 2时，ana3q n332 1 2 n328n； 当 q1 2时，ana3q n332 1 2 n3. 所以 an28 n或 a n32 1 2 n3. (2)当 an1 2时， 即 28 n1 2或 32 1 2 n31 2， 解得 n9. 10在等比数列an中： (1)已知 a32，a58，求 a7； (2)已知 a3a15，a5a115，求通项公式 an. 解 (1)因为a5 a3q 28 2， 所以 q24， 所以 a7a5q28432. (2)a3a1a1(q21)5，
6、a5a1a1(q41)15， 所以 q213，所以 q24， 所以 a11，q 2， 所以 ana1qn 1( 2)n1. 11已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 yx22x3 的顶点是(b，c)，则 ad 等于( ) A3 B2 C1 D2 答案 B 解析 y(x1)22，b1，c2. 又a，b，c，d 成等比数列，adbc2. 12已知等比数列an满足 a11 4，a3a54(a41)，则 a2等于( ) A2 B1 C.1 2 D. 1 8 答案 C 解析 方法一 a3，a5的等比中项为 a4， a3a5a24，a3a54(a41)， a244(a41)， a244a440， a4
7、2. 又q3a4 a1 2 1 4 8， q2， a2a1q1 42 1 2. 方法二 a3a54(a41)， a1q2 a1q44(a1q31)， 将 a11 4代入上式并整理，得 q 616q3640， 解得 q2， a2a1q1 2. 13(多选)已知等差数列 a，b，c 三项之和为 12，且 a，b，c2 成等比数列，则 a 等于( ) A2 B2 C8 D. 8 答案 BD 解析 由已知得 ac2b， abc12， ac2b2， 解得 a2， b4， c6 或 a8， b4， c0. 故 a2 或 a8. 14若数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2Sn3，则an的通项公式是_
8、答案 an3 (1)n 1 解析 由 an2Sn3 得 an12Sn13(n2)， 两式相减得 anan12an(n2)， anan1(n2)， 又 a13，故an是首项为 3，公比为1 的等比数列， an3 (1)n 1. 15已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41 成等比数列，把各项按如图 所示排列则从上到下第 10 行，从左到右的第 11 个数值为_ 答案 275 或 8 解析 设公差为 d，由 a2a416，得 a12d8， 由 a11，a21，a41 成等比数列， 得(a21)2(a11)(a41)，化简得 a1d1 或 d0， 当 d3 时，an3n1.由题图可
9、得第 10 行第 11 个数为数列an中的第 92 项，a92392 1275. 当 d0 时，an8，a928. 16设数列an是公比小于 1 的正项等比数列，已知 a18，且 a113,4a2，a39 成等差数 列 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bnan(n2)，且数列bn是单调递减数列，求实数 的取值范围 解 (1)设数列an的公比为 q. 由题意，可得 an8qn 1，且 0q1. 由 a113,4a2，a39 成等差数列， 知 8a230a3， 所以 64q308q2， 解得 q1 2或 15 2 (舍去)， 所以 an8 1 2 n124n，nN*. (2)bnan(n2)(n2) 24 n， 由 bnbn1， 得(n2) 24 n(n3) 23n， 即 n1， 所以 (n1)min2， 故实数 的取值范围为(，2)