1、4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等比数列的概念(重点). 2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用(重点、 难点). 3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点). 1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养. 2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养. 1等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比都等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母 q 表示(q0) 符号语言 an1an_(q 为常数，q0，nN*) 2 同一个常数 公比 q
2、【新知初探】 2.等比中项 (1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列 (2)结论：_叫做 a，b 的等比中项 (3)满足的关系式：G2_. G ab 思考：当 G2ab 时，G 一定是 a，b 的等比中项吗？ 提示 不一定，如数列 0，0，5 就不是等比数列 3等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列an的第 n 项 an，有公式 an_.这就是等比数列an的通项公式，其中 a1为首项，q 为公比 4等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 ana1q qn，而 ya1q qx(q1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积， 从图象上看， 表示数列a1q qn中的各项的点是
3、函数 ya1q qx的图象上的_点 a1 qn1 孤立 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( ) (3)常数列一定为等比数列( ) (4)任何两个数都有等比中项( ) 【初试身手】 提示 (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项 答案 (1) (2) (
4、3) (4) 2下列数列是等比数列的是( ) A3，9，15，21，27 B1，1.1，1.21，1.331，1.464 C13，16，19，112，115 D4，8，16，32，64 D A、B、C 均不满足定义中an1anq，只有 D 满足an1an2.故选 D. 32 3和 2 3的等比中项是( ) A1 B1 C 1 D2 C 设 2 3和 2 3的等比中项为 a， 则 a2(2 3)(2 3)1.即 a 1. 4已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2( ) A4 B6 C8 D10 B a1，a3，a4成等比数列a1a4a23， 即 a1(a16)(a
5、14)2，解得 a18， a2a1d826.故选 B. 5已知数列an中，a12，an12an，则 a3_. 8 由 an12an知an为等比数列，q2. 又 a12，a32228. 类型一 等比数列通项公式的基本运算 【例 1】 在等比数列an中， (1)a42，a78，求 an； (2)a2a518，a3a69，an1，求 n. 【合作探究】 解 设首项为 a1，公比为 q. (1)法一：因为 a4a1q3，a7a1q6，所以 a1q32 ，a1q68 . 由得 q34，从而 q34，而 a1q32， 于是 a12q312，所以 ana1qn122n53. 法二：因为 a7a4q3，所以
6、q34，q34. 所以 ana4qn42 (34)n422n53. (2)法一：因为 a2a5a1qa1q418 a3a6a1q2a1q59 由得 q12，从而 a132， 又 an1，3212n11. 即 26n20，所以 n6. 法二：因为 a3a6q(a2a5)，所以 q12. 由 a1qa1q418，知 a132. 由 ana1qn11，知 n6. 【规律方法】 1等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解 2关于 a1和 q 的求法通常有以下两种方法：
7、(1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法 (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算 跟进训练 1在等比数列an中， (1)已知 an128，a14，q2，求 n； (2)已知 an625，n4，q5，求 a1； (3)已知 a12，a38，求公比 q 和通项公式 解 (1)ana1 qn1128，a14，q2， 4 2n1128，2n132，n15，n6. (2)ana1 qn1625，n4，q5，a1anqn16255415. (3)a3a1 q2，即 82q2，q24，q
8、 2. 当 q2 时，ana1qn12 2n12n， 当 q2 时，ana1qn12 (2)n1(1)n12n， 数列an的公比 q 为 2 或2， 对应的通项公式为 an2n或 an(1)n12n. 类型二 等比中项及应用 【例 2】 已知在等比数列an中，a1a2a3168，a2a542.求 a5，a7的等比中项 解 设该等比数列的公比为 q， a1a1qa1q2168，a1qa1q442， a11qq2168，a1q1q342. 1q3(1q)(1qq2)， 得 q(1q)14q12， a142qq4421212496. 设 G 是 a5，a7的等比中项，则应有 G2a5 a7a1q4
9、a1q6a21q1096212109， a5，a7的等比中项是 3. 【规律方法】 等比中项应用的三点注意 1由等比中项的定义可知GabGG2abG ab，所以只有 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. 2在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项. 3a，G，b 成等比数列等价于 G2abab0. 跟进训练 2已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：abbc 是 a2b2与 b2c2的等比中项 证明 因为 b 是 a，c 的等比中项， 则 b2ac，且 a，b，c 均不为零， 又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c
10、2b4b2c2a2b22a2c2b2c2， (abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2， 所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)， 即 abbc 是 a2b2与 b2c2的等比中项. 类型三 等比数列的判断与证明 探究问题 1 若数列an是等比数列， 易知有an1anq(q 为常数， 且 q0)或 a2n1an an2(an0， nN*)成立 反之， 能说明数列an是等比数列吗？ 提示 能若数列an满足an1anq(q 为常数，q0)或a2n1an an2(an0，nN*)都能说明an是等比数列 2若数列an是公比为 q 的等比数列，则它的通项公式为 ana1 qn
11、1 (a，q 为非零常数，nN*)反之，能说明数列an是等比数列吗？ 提示 能根据等比数列的定义可知 【例 3】 已知数列的前 n 项和为 Sn2na，试判断an是否是等比数列 解 anSnSn12na2n1a2n1(n2) 当 n2 时，an1an2n2n12；当 n1 时，an1ana2a122a. 故当 a1 时，数列an成等比数列，其首项为 1，公比为 2； 当 a1 时，数列an不是等比数列 母题探究 1(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a12，an14an3n1，(nN*)” (1)证明：数列ann是等比数列； (2)求出an的通项公式 解 (1)证明：由 an1
12、4an3n1， 得 an1(n1)4(ann)，nN*. 因为 a1110，所以 ann0，所以an1n1ann4， 所以数列ann是首项为 1，公比为 4 的等比数列 (2)由(1)，可知 ann4n1， 于是数列an的通项公式为 an4n1n. 2(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an” 求证数列an是等比数列 证明 Sn2an，Sn12an1， an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1， an112an，又S12a1，a110. 又由 an112an知 an0，an1an12，an是等比数列 【规律方法】 1有关等比数列的判断证明方法 定义法 an1anq(q 为
13、常数且不为零，nN*)an为等比数列 中项公式法 a2n1anan2(nN*且 an0)an为等比数列 通项公式法 ana1qn1(a10 且 q0)an为等比数列 2因为等比数列中任一项均不为 0，所以由 G2ab 知，ab0，即同号的两个数(不为 0)才有等比中项，且等比中项是互为相反数的两个值如 21与 21 的等比中项为 1. 3 由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下： (1)当 a10，q1 或 a10，0q1 时，等比数列an为递增数列； (2)当 a10，0q1 或 a10，q1 时，等比数列an为递减数列； (3)当 q1 时，数列an是常数列； (4
14、)当 q0 时，数列an是摆动数列 1等比中项与等差中项的区别 (1)只有当两个数同号且不为 0 时，才有等比中项 (2)两个数 a，b 的等差中项只有一个，两个同号且不为 0 的数的等比中项有两个 2已知an是等比数列 (1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm. (2)若an，bn是等比数列，则an(0)，1an，a2n，an bn，anbn仍是等比数列 【课堂小结】 1根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是( ) Aann Ban n Can2n Danlog2n C 只有 C 具备 ancqn的形式，故应选 C. 【学以致用】
15、2等比数列 x，3x3，6x6，的第四项等于( ) A24 B0 C12 D24 A 由 x，3x3，6x6 成等比数列，知(3x3)2x (6x6)，解得 x3 或 x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，故选 A. 3在等比数列an中，已知 a10，8a2a50，则数列an为_数列(填“递增”或“递减”) 递增 由 8a2a50，可知a5a2q38，解得 q2. 又 a10，所以数列an为递增数列 4在等比数列an中，若公比 q4，且前三项之和等于 21，则该数列的通项公式 an_. 4n1 由题意知 a14a116a121，解得 a11， 所以通项公式 an4n1. 5已知an为等比数列，且 a58，a72，该数列的各项都为正数，求 an. 解 由 a5a7知等比数列an的公比 q1， 设其通项公式为 anc qn. 由已知得 cq58，cq72，解得 q214， an0， q12，c256. an25612n12n8.
