1、第4课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题知识点一等比数列前n项和公式的函数特征当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)即Sn是n的指数型函数当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数知识点二等比数列前n项和的性质1数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列2若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)3若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项
2、和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)1等比数列an的前n项和Sn不可能等于2n.()2若an的公比为q，则a2n的公比为q2.()3若an的公比为q，则a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5的公比也为q.()4等比数列an是递增数列，前n项和为Sn.则Sn也是递增数列()5对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数()题型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1数列an的前n项和Sn3n2.求an的通项公式解当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.当n1时，a1S13121不适合上式an反思
3、感悟已知Sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.题型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13n
4、a1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)(2q2nq3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方
5、程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得 得1qn，即qn. 将代入得64，所以S3n6463.命题角度2不连续n项之和问题例3一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式解设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇S偶4S偶，即S奇3S偶，数列an的项数为偶数，q.又a1a1qa1q264，aq364，得a112.故所求通项公式为an12n1，nN
6、*.反思感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1ba2ba3ba6_.答案126解析设数列bn的公比为q，则q2，qan1an2，ban是首项为b2，公比为2的等比数列ba1ba2ba6126.等比数列前n项和的分类表示典例已知数列an中，a11，a22，an23an，nN*.求an的前n项和Sn.解由an0，所以3，于是数列a2n1是首项为a11，公比为3的等比数列；数列a2n是首项为a22，公比为3的等比数列因此a2n13n1，a2n23n1.于是
7、S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)，从而S2n1S2na2n23n1(53n21)综上所述，Sn素养评析数学中有不少概念表达式相当抽象只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n1之间的联系，才能顺利挖掘出a2n是首项为2，公比为3的等比数列，S2n1S2na2n等关系1已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于()A31 B33 C35 D37答案B解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51
8、，则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S1013233.2已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A. B C. D答案C解析方法一Snx3n13n，由SnA(qn1)，得，x.方法二当n1时，a1S1x；当n2时，anSnSn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.3已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列bn的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为()A1 B. C. D无法确定答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.4设等比数列an的前
9、n项和为Sn，若q2，S10036，则a1a3a99_.答案12解析设a1a3a99S，则a2a4a1002S.S10036，3S36，S12，a1a3a5a9912.5已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a10a11a12_.答案4解析S4，S8S4，S12S8成等比数列即1,2，a9a10a11a12成等比数列a9a10a11a124.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理
