1、第二章 2.3.1 等比数列,第1课时 等比数列的概念及通项公式,学习目标 1.理解等比数列的概念并学会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列的概念,思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点. 1，2，4，8，16，；,1，1，1，1，； 1，1，1，1，.,答案 从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数.,梳理 等比数列的概念和特点. (1)文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通
2、常用字母q(q0)表示.,(3)等比数列各项均 为0.,2,前,比,同一个,公比,不能,知识点二 等比中项的概念,思考 在2，8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？,所以这样的数有2个.,梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：,两,相反数,知识点三 等比数列的通项公式,思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？,答案 等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项，等比数列则可用叠乘.根据等比数列的定义得,将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，,当n1时，上面的等式也成立. ana1qn1(nN).,梳理 等比数列an首项为a1
3、，公比为q，则an .,a1qn1,思考辨析 判断正误 1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.( ) 2.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.( ) 3.常数列一定为等比数列.( ) 4.任何两个数都有等比中项.( ),题型探究,类型一 等比数列的判定与证明,例1 (1)以下数列中是等比数列的有 .(填序号) 数列1，2，6，18，；,常数列a，a，a，a，；,在数列中，a若为0，则不是等比数列.,答案,解析,求a2，a3；,解答,判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.,解答,证明如下：,所以bn0，,反思与感悟 证明数列是等比数列常用的方法,(1)求
4、a1，a2；,解答,(2)证明：数列an是等比数列.,证明,类型二 等比数列通项公式的应用,命题角度1 等比数列基本量的计算 例2 在等比数列an中， (1)a42，a78，求an；,解答,(2)a2a518，a3a69，an1，求n；,n6.,解答,当q3时，an23n3(nN).,解答,反思与感悟 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程(组)，求出a1和q.,跟踪训练2 在等比数列an中. (1)已知a13，q2，求a6；,解 由等比数列的通项公式，得a63(2)6196.,解答,(2)已知a320，a61
5、60，求an.,解 设等比数列的公比为q，,所以ana1qn152n1(nN).,解答,命题角度2 等比数列的实际应用 例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期),解 设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，数列an是一个等比数列. 其中a10.84，q0.84， 设an0.5，则0.84n0.5. 两边取常用对数，得nlg 0.84lg 0.5， 用计算器算得n4. 所以这种物质的半衰期大约为4年.,解答,反思与感悟 等比数列应用问题，在
6、实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义.,跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 60.778，lg 1.20.079),解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，an，.,从而an51.2n1，这里an30，,故n11. 所以从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨.,解答,类型三 等比中项的应用,又q2， 等比中项为4，故选B.,答案,解析,(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2
7、c2的等比中项.,证明 b是a，c的等比中项， b2ac. 又(a2b2)(b2c2)(a2ac)(acc2) a(ac)c(ac)ac(ac)2 b2(ac)2(abbc)2 abbc是(a2b2)与b2c2的等比中项.,证明,反思与感悟 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2ab，其中a，b，G均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项an1，an，an1，则an是an1与an1的等比中项，即 an1an1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.,解析 1，a，3成等差数列，,1，b，4成等比数列， b214，b2，,答案,解析,x1.,答案,解析,达标检测,1.在等比数列a
8、n中，a18，a464，则a3等于 A.16 B.16或16 C.32 D.32或32,1,2,3,4,解析 由a4a1q3，得q38，即q2，,答案,解析,1,2,3,4,2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32,答案,解析,解析 由等比数列的通项公式， 得12842n1，2n132， 所以n6.,1,2,3,4,3.已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于 A.64 B.81 C.128 D.243,解析 an为等比数列，,答案,解析,又a1a23，a11， 故a712664.,4.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.,解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.等比数列的判断或证明,3.等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.,
