2019届河北省中考数学系统复习:第四单元图形的初步认识与三角形第18讲相似三角形(8年真题训练)

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1、1第 18讲 相似三角形命题点 相似三角形的性质与判定1(2017河北 T73分)若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC,则B的度数与其对应角B 的度数相比(D)A增加了 10% B减少了 10%C增加了(110%) D没有改变2(2011河北 T93分)如图,在ABC 中,C90,BC6,D,E 分别在 AB,AC 上,将ABC 沿 DE折叠,使点 A落在点 A处若 A为 CE的中点,则折痕 DE的长为(B)A.12B2C3D43(2014河北 T133分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为 3,4,5 的三角形按图 1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距

2、为 1,则新三角形与原三角形相似乙:将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为 1,则新矩形与原矩形不相似图 1 图 2对于两人的观点,下列说法正确的是(A)A两人都对 B两人都不对 C甲对,乙不对 D甲不对,乙对4(2016河北 T152分)如图,在ABC 中,A78,AB4,AC6.将ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点 相似三角形的性质与判定在ABC 中,ABAC,D 为 BC的中点,以 D为顶点作MDNB.2(1)如图 1,当射线 DN经过点 A时,DM 交边 AC于点 E,不添加辅助线,写出图中所有与AD

3、E 相似的三角形;(2)如图 2,将MDN 绕点 D沿逆时针方向旋转,DM,DN 分别交线段 AC,AB 于点 E,F(点 E与点 A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论;(3)在图 2中,若 ABAC10,BC12,当 SDEF SABC 时,求线段 EF的长14【思路点拨】(1)由题意得 ADBD,DEAC,可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究;(2)依据三角形内角和定理及平角定义,结合等式的性质,得BFDCDE,又由BC,可得BDFCED;由相似三角形的性质得 ,进而有 ,从而CEDDEF;(3)首先利用DEF 的面积等于ABC 的面积的 ,求出点 D到

4、BDCE DFED CDCE DFED 14AB的距离,进而利用 SDEF 的值求出 EF即可【自主解答】解:(1)图 1中与ADE 相似的有ABD,ACD,DCE.(2)BDFCEDDEF.证明:BBDFBFD180,EDFBDFCDE180,又EDFB,BFDCDE.由 ABAC,得BC,BDFCED. .BDCE DFEDBDCD, .CDCE DFED又CEDF,BDFCEDDEF.(3)连接 AD,过点 D作 DGEF,DHBF,垂足分别为 G,H.ABAC,D 是 BC的中点,ADBC,BD BC6.12在 RtABD 中,AD 2AB 2BD 2,AD8.S ABC BCAD48

5、.S DEF SABC 12.12 14又 ADBD ABDH,DH4.8.12 12BDFDEF,DFBEFD.DGEF,DHBF,DHDG4.8.S DEF EFDG12,EF5.12【变式训练 1】(2018杭州)如图,在ABC 中,ABAC,AD 为 BC边上的中线,DEAB 于点 E.(1)求证:BDECAD;(2)若 AB13,BC10,求线段 DE的长 3解:(1)证明:ABAC,BDCD,ADBC,BC.DEAB,DEBADC.BDECAD.(2)ABAC,BDCD,ADBC.在 RtADB 中,AD 12,AB2 BD2 ADBD ABDE,DE .12 12 6013基本图

6、形方 法 指 导(1)斜边高图形有以下基本结论:BADC,BDAC;ADBCDACAB.(2)一线三等角有以下基本结论:BC,BDEDFC;BDECFD.特殊地:若点 D为 BC中点,则有BDECFDDFE.“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景:模 型 拓 展图中相同标识符号的角相等,熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助【变式训练 2】 【分类讨论思想】在正方形 ABCD中,AB4,点 P,Q 分别在直线 CB与射线 DC上(点 P不与点 C,点 B重合),且保持APQ90,CQ1,求线段 BP的长解:分三种情况:设 BPx.当 P在线段 B

7、C上时,如图 1,四边形 ABCD是正方形,BC90.BAPAPB90.APQ90,APBCPQ90.BAPCPQ,4ABPPCQ. , ,ABBP PCCQ 4x 4 x1x 1x 22.BP2;当 P在 CB的延长线上时,如图 2,同理,得 BP2 2;2当 P在 BC的延长线上时,如图 3,同理,得 BP22 .2综上所述:线段 BP的长为 2或 2 2 或 22 .2 21(2018白银)已知 (a0,b0),下列变形错误的是(B)a2 b3A. B2a3b C. D3a2bab 23 ba 322(2018重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 5 cm,

8、6 cm和 9 cm,另一个三角形的最短边长为 2.5 cm,则它的最长边为(C)A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm3(2018河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,与ABC 是位似图形的是(C)A B C D4(2018哈尔滨)如图,在ABC 中,点 D在 BC边上,连接 AD,点 G在线段 AD上,GEBD,且交 AB于点E,GFAC,且交 CD于点 F,则下列结论一定正确的是(D)A. B. C. D. ABAE AGAD DFCF DGAD FGAC EGBD AEBE CFDF5(2018邯郸一模)如图,在ABC 中,BCDA,DEBC,与ABC 相似的三角形(ABC

9、自身除外)的个数是(B)A1 B2 C3 D46(2018石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗?证明步骤正确的顺序是(B)5已知:如图,在ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,AC,BC 上,且 DEBC,DFAC.求证:ADEDBF.证明:又DFAC,DEBC,ABDF.ADEB.ADEDBF.A BC D7(2018随州)如图,平行于 BC的直线 DE把ABC 分成面积相等的两部分,则 的值为(C)BDADA1 B. C. 1 D. 122 2 28(2018岳阳)九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,

10、股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 5步,股(长直角边)长为 12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步60179(2018抚顺)如图,AOB 三个顶点的坐标分别为 A(8,0),O(0,0),B(8,6),点 M为 OB的中点以点 O为位似中心,把AOB 缩小为原来的 ,得到AOB,点 M为 OB的中点,则 MM的长为 或 12 52 15210(2018江西)如图,在ABC 中,AB8,BC4,CA6,CDAB,BD 是ABC 的平分线,BD 交 AC于点 E,求AE的长解:BD 为ABC 的平分线,ABDCBD.AB

11、CD,DABD.DCBD.BCCD.BC4,CD4.ABCD,ABECDE. .ABCD AECE6 .AE2CE.84 AECEACAECE6,AE4.11(2018包头)如图,在四边形 ABCD中,BD 平分ABC,BADBDC90,E 为 BC的中点,AE 与 BD相交于点 F.若 BC4,CBD30,则 DF的长为(D)A. B. C. D.253 233 343 453提示:连接 DE,可证DEFBAF.12(2018达州)如图,E,F 是ABCD 对角线 AC上两点,AECF AC.连接 DE,DF 并延长,分别交 AB,BC 于点14G,H,连接 GH,则 的值为(C)S ADG

12、S BGHA. B. C. D112 23 34提示:可证 AGABCHBC13.13 【分类讨论思想】(2018常州)如图,在ABC 纸板中,AC4,BC2,AB5,P 是 AC上一点,过点 P沿直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板,如果有 4种不同的剪法,那么 AP长的取值范围是 3AP414(2018福建)如图,在 RtABC 中,C90,AB10,AC8.线段 AD由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转90得到,EFG 由ABC 沿 CB方向平移得到,且直线 EF过点 D.(1)求BDF 的大小;(2)求 CG的长解:(1)线段 AD是由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转 90得到,

13、DAB90,ADAB10.ABD45.EFG 是ABC 沿 CB方向平移得到,ABEF.BDFABD45.(2)由平移的性质,得 AECG,ABEF,DEADFCABC,ADEDAB180.7DAB90,ADE90.ACB90,ADEACB.ADEACB. .ADAC AEABAC8,ABAD10,AE12.5,由平移的性质,得 CGAE12.5.15(2017河北模拟)修建某高速公路,需要通过一座山,指挥部决定从 E,D 两点开挖一个涵洞工程师从地面选取三个点 A,B,C,且 A,B,D 三点在一条直线上,A,C,E 也在同一条直线上,若已知 AB27 米,AD500 米,AC15 米,AE

14、900 米,且测得 BC22.5 米(1)求 DE的长;(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力,且质量相当,指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况,获得如下信息:信息一:甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25天;信息二:乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5倍;信息三:甲工程队每天需要收费 3 500元,乙工程队每天需要收费 4 000元若仅从费用角度考虑问题,试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算解:(1)连接 DE.AB27 米,AD500 米,AC15 米,AE900 米, .ABAE ACAD 3100又AA,ABCAED. ,即 DE750 米BC

15、DE 22.5DE 3100(2)设甲工程队每天开挖涵洞 x米,则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x米,依据题意,得 25,解得 x10.750x 7501.5x经检验,x10 是原方程的解则 1.5x15.甲工程队打通这个涵洞的时间为 75(天),75010甲工程队打通这个涵洞所需的费用为753 500262 500(元);乙工程队打通这个涵洞的时间为 50(天),7501.5x 750158乙工程队打通这个涵洞所需的费用为504 000200 000.200 000262 500,选用乙工程队较合算16(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG 是一座边长为 200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门 H位于 GD的中点,南门 K位于 ED的中点,出东门 15步 A的处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木(即点 D在直线 AC上)?请你计算 KC的长为 步2 0003

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