1、1第 6 讲 一元二次方程命题点 1 一元二次方程的解法1(2012河北 T83 分)用配方法解方程 x24x10，配方后的方程是(A)A(x2) 23 B(x2) 23C(x2) 25 D(x2) 252(2014河北 T2110 分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式时，对于b24ac0 的情况，她是这样做的：由于 a0，方程 ax2bxc0 变形为：x2 x ，第一步ba cax2 x( )2 ( )2，第二步ba b2a ca b2a(x )2 ，第三步b2a b2 4ac4a2x (b24ac0)，第四步b2a b2 4ac4ax .第五步 b b2
2、4ac2a(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当 b24ac0 时，方程 ax2bxc0(a0)的求根公式是x ； bb2 4ac2a(2)用配方法解方程：x 22x240.解：x 22x24，x22x1241，(x1) 225，x15，x15，x 14，x 26.命题点 2 一元二次方程根的判别式3(2015河北 T122 分)若关于 x 的方程 x22xa0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B)Aa1 Ba1 Ca1 Da14(2016河北 T142 分)a，b，c 为常数，且(ac) 2a2c 2，则关于 x 的方程 ax2bxc0 根的情况是(B)A有两个相等的实数根B有
3、两个不相等的实数根C无实数根D有一根为 0重难点 1 一元二次方程的解法解方程：x 212(x1)【自主解答】 解：方法一(因式分解法)：(x1)(x1)2(x1)，(x1)(x3)0.x10 或 x30.x 11，x 23.方法二(配方法)：整理，得 x22x3.2配方，得(x1) 24.两边开平方，得 x12.解得 x11，x 23.方法三(公式法)：整理成一般形式为 x22x30.a1，b2，c3，(2) 241(3)160.x 12. （ 2） 1621x 11，x 23.【变式训练 1】 解方程：4x 2312x.解：原方程整理为 4x212x30.a4，b12，c3，(12) 24
4、4(3)1920.x .121928 3232x 1 ，x 2 .3 232 3 232【变式训练 2】 解方程：25(x1) 29(x2) 2.解：25(x1) 29(x2) 20，5(x1)3(x2)5(x1)3(x2)0，(8x1)(2x11)0，8x10 或 2x110.x 1 ，x 2 .18 112解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法方 法 指 导口诀如下：方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c 相等都为零，等根是零不要忘；b，c 同时不为零，因式分解或配方；也可直接套公式，因题而异择良方易 错 提 示1用因式分解法解一元二次方程，易出现方程
5、的右边没有化为 0，而对左边直接因式分解的错误2用公式法解一元二次方程，在确定系数 a，b，c 时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式3对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如解 x25x0 时，易出现方程两边同时除以 x，遗漏 x0 的情况 重难点 2 一元二次方程根的判别式(2018石家庄二模改编)已知关于 x 的一元二次方程(k1)x 22x10 没有实数根，则 k 的取值范围是 k2【问题拓展 1】 若该方程有实数根，则 k 的取值范围是 k2 且 k1【问题拓展 2】 若该方程有两个相等的实数根，则 k 的值是 2【问题拓展 3】 若该方程有两个不
6、相等的实数根，则 k 的取值范围是 k2 且 k1【问题拓展 4】 已知关于 x 的方程(k1)x 24x10 有实数根，则 k 的取值范围是 k53【变式训练 3】 (2018唐山乐亭县二模)下列方程中，没有实数根的是(D)Ax 22x0 Bx 22x10Cx 22x10 Dx 22x20【变式训练 4】 (2018河北中考预测)已知关于 x 的方程(k1)x 2(2k1)xk0 有两个不相等的实数根，则k 有可能是(C)A2 B1 C0 D1判断一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的情况，要明确 a，b，c 的值，然后比较 b24ac 与 0 的大方 法 指 导小注意方程中“二次项系数
7、不为 0”这一隐含条件易 错 提 示重难点 3 一元二次方程的实际应用(2017深圳)已知，一个矩形周长为 56 厘米(1)当矩形面积为 180 平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为 200 平方厘米的矩形吗？请说明理由【思路点拨】 (1)设矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出相应方程求解即可；(2)同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以【自主解答】 解：(1)设矩形的长为 x 厘米，则另一边长为(28x)厘米，依题意，得x(28x)180.解得 x110(舍去)，x 218.则 28x281810.答：长为 18 厘米，宽为 10 厘米(2)
8、不能围成面积为 200 平方厘米的矩形理由：设矩形的长为 x 厘米，则宽为(28x)厘米，依题意，得x(28x)200，即 x228x2000，则 b24ac28 242007848000，原方程无解故不能围成一个面积为 200 平方厘米的矩形【变式训练 5】 某经济开发区今年一月份工业产值达到 80 亿元，第一季度总产值为 275 亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为 x，根据题意所列方程是(B)A80(1x) 2275B8080(1x)80(1x) 2275C80(1x) 3275D80(1x)80(1x) 2275【变式训练 6】(2017白银)如图，某小区计划在
9、一块长为 32 m，宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570 m2.若设道路的宽为 x m，则下面所列方程正确的是(A)A(322x)(20x)570B32x220x3232570C(32x)(20x)3220570D32x220x2x 2570列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：方 法 指 导若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a(1x)2b；(2)利润问题：利润售价成本；利润率 100%；利 润成 本(3)矩形面积问题：镶边矩形如图，镶边矩形 ABCD 中空白区域的
10、面积为 S(a2x)(b2x)；4内嵌十字架型矩形如下图，图 1 中阴影区域可以通过平移的方法变成图 2 中的样子，此时易得图 1 矩形ABCD 中空白区域的面积为 S(ax)(bx)图 1图 21(2018保定二模)若关于 x 的一元二次方程(a1)x 2xa 210 的一个根是 0，则 a 的值为(B)A1 B1 C1 或1 D.122(2018河北模拟)如果一元二次方程 x2 x p0 总有实数根，那么 p 应满足的条件是(A)212Ap1 Bp13(2018桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2kx30 有两个相等的实根，则 k 的值为(A)A2 B C2 或 3 D. 或6 6
11、2 34(2018石家庄新华区二模)若 n(n0)是关于 x 的方程 x2mx2n0 的根，则 mn 的值为(C)A1 B4 C2 D45(2018河北中考预测)数学课上，老师讲解配方法解一元二次方程时，让嘉淇在黑板上用配方法解方程，嘉淇在黑板上的书写过程如下：2x24x10，解：由于 20，可将方程 2x24x10 变形为：x 22x ， 第一步12x22x1 ， 第二步12(x1) 2 ， 第三步12x . 第四步 222这位同学第一次出错的步骤是(B)A第一步 B第二步C第三步 D第四步6(2018眉山)我市某楼盘准备以每平方 6 000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出
12、台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4 860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是(C)A8% B9% C10% D11%7(2018保定一模)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1 035 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为(C)5Ax(x1)1 035Bx(x1)1 0352Cx(x1)1 035D2x(x1)1 0358(2018大连)如图，有一张矩形纸片，长 10 cm，宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面(图中阴影
13、部分)面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为(B)A10646x32B(102x)(62x)32C(10x)(6x)32D1064x 2329(2018乌鲁木齐)宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10 890 元？设房价定为 x 元，则有(B)A(180x20)(50 )10 890x10B(x20)(50 )10 890x 18010Cx(50
14、 )502010 890x 18010D(x180)(50 )502010 890x1010解方程：(1)2(x3) 2x 29；解：方法一：原方程可化为 2(x3) 2(x3)(x3)，2(x3) 2(x3)(x3)0，(x3)2(x3)(x3)0，(x3)(x9)0，x30 或 x90.x 13，x 29.方法二：原方程可化为 x212x270.这里 a1，b12，c27.b 24ac(12) 24127360，x 63.123621 1262原方程的根为 x 13，x 29.(2)(2x1) 2x(3x2)7.解：原方程可化为 x26x80.(x2)(x4)0.x20 或 x40.x 1
15、2，x 24.11已知关于 x 的方程 x2(2m1)xm(m1)0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；6(2)已知方程的一个根为 x0，求代数式(2m1) 2(3m)(3m)7m5 的值(要求先化简，再求值)解：(1)证明：(2m1) 24m(m1)10.方程总有两个不相等的实数根(2)x0 是此方程的一个根，把 x0 代入方程中得到 m(m1)0.原式4m 24m19m 27m53m 23m53m(m1)55.12(2018张家口一模)已知 n 边形的对角线共有 条(n 是不小于 3 的整数)；n（ n 3）2(1)五边形的对角线共有 5 条；(2)若 n 边形的对角线共有 35 条
16、，求边数 n；(3)若 n 边形的边数增加 1，对角线总数增加 9，求边数 n.解：(2) 35，n（ n 3）2整理，得 n23n700.解得 n10 或 n7(舍去)所以边数 n10.(3)根据题意，得 9.（ n 1） （ n 1 3）2 n（ n 3）2解得 n10.所以边数 n10.13(2018河北模拟)若关于 x 的方程 2x(ax4)x 26 有两个不相等的实数根，则 a 所能取的最大整数是(B)A2 B1 C1 D不存在14(2018河北模拟)若 a，b 满足 ba3，则关于 x 的方程 ax2bx10 的根的情况是(D)A没有实数根B有实数根C有两个相等的实数根D有两个不相
17、等的实数根15(2018河北中考预测)已知关于 x 的方程 mx24x3m0，以下判断正确的是(D)A这个方程一定有两个实数根B这个方程的一个根是1C当 m1 时，这个方程有两个相等的实数根D当 m1 时，这个方程有两个不相等的实数根16(2018石家庄模拟)我们知道方程 x22x30 的解是 x11，x 23，现给出另一个方程(2x3)22(2x3)30，它的解是(D)Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 11，x 23 Dx 11，x 2317(2018河北中考预测)定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 aba 22ab，其中等号右边是通常的减法及乘法运算如 111 2211.(1)求 (1)的值；3(2)嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x(3)5，你能求出其中 x 的值吗？请写出求解过程解：(1) (1)( )22 (1)32 .3 3 3 3(2)x(3) x22x(3)x 26x5，7即 x26x50，(x1)(x5)0，解得 x11，x 25.
