1、1第 2 课时 一次函数的实际应用命题点 一次函数的实际应用1(2015河北 T2310 分)水平放置的容器内原有 210 毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 毫米，每放入一个小球水面就上升 3 毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出设水面高为 y 毫米(1)只放入大球，且个数为 x 大 ，求 y 与 x 大 的函数关系式(不必写出 x 大 的范围)；(2)仅放入 6 个大球后，开始放入小球，且小球个数为 x 小求 y 与 x 小 的函数关系式(不必写出 x 小 的范围)；限定水面高不超过 260 毫米，最多能放入几个小球？解：(1)y4x
2、大 210.(2)当 x 大 6 时，y46210234，y3x 小 234.依题意，得 3x 小 234260，解得 x 小 8 .23x 小 为自然数，x 小 最大为 8，即最多能放入 8 个小球2(2016河北 T2410 分)某商店通过调低价格的方式促销 n 个不同的玩具，调整后的单价 y(元)与调整前的单价 x(元)满足一次函数关系，如下表：第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 n 个调整前的单价 x(元) x1 x26 x372 x4 xn调整后的单价 y(元) y1 y24 y359 y4 yn已知这 n 个玩具调整后的单价都大于 2 元(1)求 y 与 x 的函数
3、关系式，并确定 x 的取值范围；(2)某个玩具调整前单价是 108 元，顾客购买这个玩具省了多少钱？(3)这 n 个玩具调整前、后的平均单价分别为 x，y，猜想 y 与 x 的关系式，并写出推导过程解：(1)设 ykxb，1 分依题意，得 x6，y4；x72，y59. 解得 y x1.3 分4 6k b，59 72k b， ) k 56，b 1.) 56依题意，得 x12，解得 x .56 185x 的取值范围为 x .5 分1852(2)将 x108 代入 y x1，得56y 108189，1088919(元).6 分56顾客购买这个玩具省了 19 元.7 分(3)y x1.8 分56推导过
4、程如下：由(1)，得 y1 x11，y 2 x21，y n xn1，56 56 56y (y1y 2y n) ( x11)( x21)( xn1) (x1x 2x n)n 1n 1n 56 56 56 1n56 561 x1.10 分x1 x2 xnn 563(2011河北 T249 分)已知 A，B 两地的路程为 240 千米，某经销商每天都要用汽车或火车将 x 吨保鲜品一次性由 A 地运往 B 地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程 s(千米)与行驶时间 t(时)的函数图象(如图 1)，上周货运量折线统计图(如图2
5、)等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具 运输费单价元/(吨千米) 冷藏单价元/(吨时) 固定费用 元/次汽车 2 5 200火车 1.6 5 2 280图 1 图 2(1)汽车的速度为 60 千米/时，火车的速度为 100 千米/时；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为 y 汽 (元)和 y 火 (元)，分别求 y 汽 ，y 火 与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围)及 x 为何值时，y 汽 y 火 ；(总费用运输费冷藏费固定费用)(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？解：(2)依题意，得y 汽 2
6、402x 5x200500x200，24060y 火 2401.6x 5x2 280396x2 280.若 y 汽 y 火 ，则 500x200396x2 280，x20.240100(3)上周货运量 x(17201922222324)721(吨)20 吨从平均数分析，建议预定火车费用较省从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于 20 且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.重难点 1 一次函数的图象信息题3(2018咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2 400 米，先到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 y(米)与甲出
7、发的时间 t(分)之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为 60 米/分；乙走完全程用了 32 分钟；乙用 16 分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还有 300 米其中正确的结论有(A)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】 首先注意，y 表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到 3 个确定的点(0，0)，(4，240)，(16，0)点(4，240)的实际意义就是，甲 4 分钟步行了 240 米；(16，0)的实际意义是甲步行 16 分钟时，两人距离为 0，即乙追上了甲，所以乙 12 分钟追上甲；同时也说明甲步行 16 分钟的路程和乙步行 12 分钟的路程相等；乙走完全程
8、时，甲走了 34 分钟，走了 2 040 米，距离终点 360 米【变式训练 1】 (2018丽水)某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式这三种收费方式每月所需的费用 y(元)与上网时间 x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是(D)A每月上网时间不足 25 h 时，选择 A 方式最省钱B每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多C每月上网时间为 35 h 时，选择 B 方式最省钱 D每月上网时间超过 70 h 时，选择 C 方式最省钱解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决”的过程其中最重要的环节是利用数形方 法 指 导结合思想解读函数图
9、象，其方法是：(1)明确“两坐标轴”所表示的意义；(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；(3)弄清上升线和下降线所表示的意义注意，y 表示的是两人之间的距离易 错 提 示重难点 2 一次函数的实际应用(2018梧州)我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多某商店计划最多投入 8 万元购进 A，B 两种型号的电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一样(1)求 A，B 两种型号电动
10、自行车的进货单价；(2)若 A 型电动自行车每辆售价为 2 800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3 500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 y 元写出 y 与 m 之间的函数关系式；(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【思路点拨】 (1)设 A，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元，(x500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润A 型的利润B 型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题【自主解答】 解：(1)设 A，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元，(
11、x500)元由题意，得 ，解得 x2 500.50 000x 60 000x 500经检验，x2 500 是分式方程的解4答：A，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2 500 元，3 000 元(2)y300m500(30m)200m15 000.(3)2 500m3 000(30m)80 000，m20.m30，20m30.y200m15 000，2000，20m30，m20 时，y 有最大值，最大值为 11 000 元【变式训练 2】(2017临沂改编)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费 y(元)与每月用水量 x(m3)之间的关系如图所示(1
12、)求 y 关于 x 的函数解析式；(2)按照新标准，用户 A 一个月用水 10 m3，需缴纳水费多少元？用户 B 一个月缴纳水费 51 元，用水量是多少？(3)若某用户二、三月份共用水 40 m3(二月份用水量不超过 25 m3)，缴纳水费 79.8 元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？解：(1)当 0x15 时，设 y 与 x 的函数解析式为 ykx，则15k27，解得 k1.8.y1.8x.当 x15 时，设 y 与 x 的函数解析式为 yaxb，则解得15a b 27，20a b 39， ) a 2.4，b 9.)y2.4x9.综上，y 关于 x 的函数解析式为 y 1.8x（ 0
13、x 15） ，2.4x 9（ x 15） . )(2)当 x10 时，y1.81018.由题意，得 512.4x9，解得 x25.答：用户 A 需缴纳水费 18 元，用户 B 的用水量是 25 m3.(3)设二月份的用水量是 x m3，当 15x25 时，2.4x92.4(40x)979.8， 方程无解当 0x15 时，1.8x2.4(40x)979.8，解得 x12.40x28.答：该用户二、三月份的用水量各是 12 m3，28 m 3.方 法 指 导1根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，本题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式
14、2一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值易 错 提 示1解分式方程注意要检验2注意“某商店计划最多投入 8 万元购进 A，B 两种型号的电动自行车共 30 辆” ，是用来求自变量取值范围的51若弹簧的总长度 y(cm)是所挂重物 x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是(B)A5 cm B8 cm C9 cm D10 cm2(2017德州)公式 LL 0KP 表示当重力为 P 的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物
15、体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)AL100.5P BL105PCL800.5P DL805P3(2018河北二模)超市有 A，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装 15 升油(瓶子都装满，且无剩油)；当日促销活动：购买 A 型瓶 3 个或以上，一次性返还现金 5 元设购买 A 型瓶 x(个)，所需总费用为 y(元)，则下列说法不一定成立的是(C)型号 A B单个瓶子容量(升) 2 3单价(元) 5 6A.购买 B 型瓶的个数是(5 x)为正整数时的值23B购买 A 型瓶最多为 6 个Cy 与 x 之间
16、的函数关系式为 yx30D小张买瓶子的最少费用是 28 元4(2017唐山路北区模拟)甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了 3 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪 50 吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量 y(吨)与清雪时间 x(时)之间的函数图象如图所示(1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为 270 吨；(2)求此次任务的清雪总量 m；(3)求乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式解：(2)乙队调离之前，甲、乙两队每小时的清雪总量为 90(吨)，2703乙队每小时清雪 50 吨，甲队每小时清雪量为 905
17、040(吨)m270403390.此次任务的清雪总量为 390 吨(3)由(2)可知，点 B 的坐标为(6，390)，设乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb(k0)图象经过点 A(3，270)，B(6，390)， 解得3k b 270，6k b 390， ) k 40，b 150.)乙队调离后 y 与 x 之间的函数关系式为 y40x150.5(2018河北模拟)石家庄市为积极响应中央文明办关于创建全国文明城市的通知，积极组织运输队清理城市垃6圾某运输公司承担了某标段的垃圾运输任务，派出大、小两种型号的垃圾运输车，已知 1 辆大型垃圾运输车和2 辆小型垃圾运输车每次共运 20
18、吨，2 辆大型垃圾运输车和 5 辆小型垃圾运输车每次共运 45 吨(1)1 辆大型垃圾运输车和 1 辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨？(2)该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共 30 辆参与垃圾运输任务，已知 1 辆大型垃圾运输车运输花费是 500 元/次，1 辆小型垃圾运输车运输花费是 300 元/次若每次运输垃圾总量不少于 199 吨，则每次运输的运费最少是多少？解：(1)设 1 辆大型垃圾运输车每次运输垃圾 x 吨，1 辆小型垃圾运输车每次运输垃圾 y 吨，根据题意，得解得x 2y 20，2x 5y 45， ) x 10，y 5.)答：1 辆大型垃圾运输车每次运输垃圾 1
19、0 吨，1 辆小型垃圾运输车每次运输垃圾 5 吨(2)设派出大型垃圾运输车 a 辆，则派出小型垃圾运输车(30a)辆，根据题意，可得10a5(30a)199，解得 a9.8.设运输总花费为 W 元，则 W500a300(30a)200a9 000.2000，W 随 a 的增大而增大又a9.8，且 a 为整数，当 a10 时，W 取得最小值，最小值为 200109 00011 000(元)答：每次运输的运费最少是 11 000 元6(2018唐山乐亭县二模)某新建小区要修一条 1 050 米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程，经了解得到下表所示信息：工程队 每天修路的 长度(米) 单独完成所
20、需 天数(天) 每天所需费用(元)甲队 30 n 600乙队 m n14 1 160(1)甲队单独完成这项工程所需天数 n35 天，乙队每天修路的长度 m50 米；(2)甲队先修了 x 米之后，甲、乙两队一起修路，又用了 y 天完成这项工程(其中 x，y 为正整数)当 x90 时，求出乙队修路的天数；求 y 与 x 之间的函数关系式(不用写出 x 的取值范围)；若总费用不超过 22 800 元，求甲队至少先修了多少米？解：(2)乙队修路的天数为 12(天)1 050 9030 50由题意，得 x(3050)y1 050.y 与 x 之间的函数关系式为 y .x80 1058由题意，得 600
21、(6001 160)y22 800.x3020x1 760 22 800，解得 x150.1 050 x80又y 为正整数，x 至少取 170 米答：若总费用不超过 22 800 元，则甲队至少先修了 170 米7(2018南京)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 16 min 回到家中设小明出发第 t min 时的速度为 v m/min，离家的距离为 s m，v 与 t 之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点)(1)小明出发第 2 min 时离家的距离为 200m；(2)当 2t5 时，求 s 与 t 之间的函数解析式；(3)画出 s 与 t 之间的函
22、数图象7解：(2)当 2t5 时，s1002160(t2)160t120.s 与 t 之间的函数解析式为 s160t120.(3)s 与 t 之间的函数关系式为s 100t（ 0 t 2） ，160t 120（ 2t 5） ，80t 280（ 5t 6.25） ，1 280 80t（ 6.25t 16） .)如图所示：8(2018重庆 A 卷)A，B 两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从 A 地出发到 B 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发 40 分钟后，乙车才出发途中乙车发生故障，修车耗时 20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时(仍保持匀速前行
23、)，甲、乙两车同时到达 B 地甲、乙两车相距的路程 y(千米)与甲车行驶时间 x(小时)之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 B 地还有 90 千米9(2018广西)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将 300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/吨和 100 元/吨经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/吨(10a30)，从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出
24、总运费 W 关于 m 的函数解析式(不要求写出 m 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，W 的变化情况解：(1)设甲仓库存放原料 x 吨，乙仓库存放原料 y 吨，由题意，得解得x y 450，（ 1 0.4） y （ 1 0.6） x 30， ) x 240，y 210.)答：甲仓库存放原料 240 吨，乙仓库存放原料 210 吨(2)由题意，从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库运(300m)吨原料到工厂，总运费 W(120a)m100(300m)(20a)m30 000.(3)当 10a20 时，20a0，由一次函数的性质，得 W 随 m 的增大
25、而增大；当 a20 时，20a0，W 随 m 的增大没变化；当 20a30 时，则 20a0，W 随 m 的增大而减小10甲、乙两地之间有一条笔直的公路 L，小明从甲地出发沿公路 L 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地，设小明与8甲地的距离为 y1米，小亮与甲地的距离为 y2米，小明与小亮之间的距离为 s 米，小明行走的时间为 x 分钟，y1，y 2与 x 之间的函数图象如图 1 所示，s 与 x 之间的函数图象(部分)如图 2 所示(1)求小亮从乙地到甲地过程中 y2(米)与 x(分钟)之间的函数
26、关系式；(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s(米)与 x(分钟)之间的函数关系式；(3)在图 2 中，补全整个过程中 s(米)与 x(分钟)之间的函数图象，并确定 a 的值图 1 图 2解：(1)设小亮从乙地到甲地过程中 y2与 x 的函数关系式为 y2kxb，由图象，得解得2 000 b，0 10k b， ) k 200，b 2 000.)y 2200x2 000.(2)由题意得，小明的速度为 2 0004050(米/分)，小亮的速度为 2 00010200(米/分)小亮从甲地出发追上小明用时为 2450(20050)8(分钟)24 分钟两人距离为 24501 200(米)，相遇时间为 24832(分)，s0，设 skxb，则解得1 200 24k b ，0 32k b . ) k 150，b 4 800.)s150x4 800.(3)如图所示，当 0x10 时，y 150x，y 2200x2 000，令 y1 y 2，解得 x8.a 的值为 8.
