1、1第 12 讲 二次函数第 1 课时 二次函数的图象与性质命题点 1 二次函数的图象与性质1(2012河北 T123 分)如图，抛物线 y1a(x2) 23 与 y2 (x3) 21 交于点 A(1，3)，过点 A 作 x 轴的12平行线，分别交两条抛物线于点 B，C.则以下结论：无论 x 取何值，y 2的值总是正数；a1；当 x0 时，y2y 14；2AB3AC.其中正确的结论是(D)A B C D2(2018河北 T163 分)对于题目“一段抛物线 L：yx(x3)c(0x3)与直线 l：yx2 有唯一公共点若 c 为整数，确定所有 c 的值 ”甲的结果是 c1，乙的结果是 c3 或 4，
2、则(D)A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确3(2013河北 T203 分)如图，一段抛物线：yx(x3)(0x3)，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A 1；将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至得 C13.若 P(37，m)在第 13 段抛物线 C13上，则 m2命题点 2 确定二次函数的解析式4(2014河北 T2411 分)如图，22 网格(每个小正方形的边长为 1)中有 A，B，C，D，E，F，G，H，O 九个格点抛物线 l 的
3、解析式为 y(1) nx2bxc(n 为整数)(1)n 为奇数，且 l 经过点 H(0，1)和 C(2，1)，求 b，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；(2)n 为偶数，且 l 经过点 A(1，0)和 B(2，0)，通过计算说明点 F(0，2)和 H(0，1)是否在该抛物线上；(3)若 l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数解：(1)n 为奇数时，yx 2bxc.2l 经过点 H(0，1)和 C(2，1)， 解得 4 分c 1， 4 2b c 1.) b 2，c 1.)抛物线解析式为 yx 22x1.y(x1) 22，格点 E(1，2)是该抛物线的顶点.5
4、 分(2)n 为偶数时，yx 2bxc，l 经过点 A(1，0)和 B(2，0)， 解得1 b c 0，4 2b c 0.) b 3，c 2. )抛物线解析式为 yx 23x2.7 分当 x0 时，y2，点 F(0，2)在该抛物线上，点 H(0，1)不在该抛物线上.9 分(3)所有满足条件的抛物线共有 8 条(见图示)11 分5(2015河北 T2511 分)如图，已知点 O(0，0)，A(5，0)，B(2，1)，抛物线 l：y(xh) 21(h 为常数)与y 轴的交点为 C.(1)l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时 l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点 C 的纵坐标为 yC，求 yC的最
5、大值，此时 l 上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中 x1x 20，比较 y1与y2的大小；(3)当线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 14 时，求 h 的值解：(1)把 B(2，1)代入 y(xh) 21，得 1(2h) 21.解得 h2.则该函数解析式为 y(x2)21(或 yx 24x3)故抛物线 l 的对称轴为直线 x2，顶点坐标是(2，1)(2)点 C 的横坐标为 0，则 yCh 21.当 h0 时，y C有最大值 1，此时，抛物线 l 的解析式为 yx 21，对称轴为 y 轴，开口方向向下，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小x 1x 20 时，y
6、 1y 2.(3)线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 14，且 O(0，0)，A(5，0)，线段 OA 被 l 只分为两部分的点的坐标是(1，0)或(4，0)把 x1，y0 代入 y(xh) 21，得 0(1h) 21，解得 h10，h 22.当 h2 时，线段 OA被抛物线 l 分为三部分，不合题意，舍去同理，把 x4，y0 代入 y(xh) 21，3解得 h5 或 h3(舍去)综上所述，h 的值是 0 或5.重难点 1 二次函数的图象与性质(2018成都)关于二次函数 y2x 24x1，下列说法正确的是(D)A图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)B图象的对称轴在 y 轴的右
7、侧C当 x0 时，y 的值随 x 值的增大而减小Dy 的最小值为3【变式训练 1】(2017连云港)已知抛物线 yax 2(a0)过 A(2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)Ay 10y 2 By 20y 1Cy 1y 20 Dy 2y 10【变式训练 2】(2018深圳)二次函数 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(C)Aabc0B2ab0C3ac0D方程 ax2bxc30 有两个不相等的实数根【变式训练 3】(2018黔南)已知：二次函数 yax 2bxc 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x
8、轴的另一个交点坐标是(3，0)x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 方 法 指 导1二次函数的增减性与对称轴开口方向有关2二次函数的最值点就是其顶点，求二次函数的顶点可以用配方法，也可以用公式法3判断二次函数图象与 x 轴交点的个数需计算 b24ac 的值4注意二次函数的对称性，尤其是用表格呈现时在顶点式中，顶点的横坐标符号是个易错点如 y(x1) 23 的顶点是(1，3)，而不是(1，3)易 错 提 示重难点 2 确定二次函数的解析式(2018唐山乐亭县二模)如图，直线 yx2 与抛物线 yax 2bx6 相交于 A( ， )和 B(4，m)，点 P12 52是线段 AB 上异于 A，B
9、的动点，过点 P 作 PCx 轴，交抛物线于点 C.(1)点 B 坐标为(4，6)，并求抛物线的解析式；(2)求线段 PC 长的最大值【思路点拨】 (1)点 B 坐标代入一次函数解析式可得 m6，将 A，B 坐标代入 yax 2bx6，可求出抛物线的解析式；(2)垂直于 x 轴的线段 PC 的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式，整理后会发现仍然是二次函数的形式，利用二次函数的性质可得最大值4【自主解答】 解：(1)A( ， )，B(4，6)在抛物线 yax 2bx6 上，12 52 解得（ 12） 2a 12b 6 52，42a 4b 6 6， ) a 2，b 8.)抛物线的解析式为
10、 y2x 28x6.(2)设动点 P 的坐标为(n，n2)，则点 C 的坐标为(n，2n 28n6)PC(n2)(2n 28n6)2n 29n42(n )2 .94 49820， n4，当 n 时，线段 PC 取得最大值 . 【变式训练 4】 (1)抛物线 yx 2bxc 经过12 94 498点 A(0，3)，B(3，0)，则抛物线的解析式为 yx 22x3；(2)抛物线 yax 2bxc 的顶点为 A(1，4)，且经过点 B(0，3)，则抛物线的解析式为 yx 22x3；(3)抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1，0)，B(3，0)，则抛物线的解析式为 yx 22x3；(4)将 yx
11、2向右平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，所得抛物线的函数解析式为yx 22x3【变式训练 5】(2018邢台宁晋县模拟)已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为(C)AE，F BE，G CE，H DF，G用待定系数法求二次函数解析式的基本方法是：方 法 指 导(1)根据题设条件，设出二次函数解析式：当已知二次函数的任意三对 x，y 的值或抛物线上任意三点，通常用一般式 yax 2bxc(a0)；当已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值，通常用顶点式 ya(x h)2 k (a0)，顶点为(h，
12、k)；(2)将题设条件代入所设解析式，列出方程(组)；(3)解这个方程(组)，求得系数；(4)将系数代入所设解析式因三元一次方程组是选学内容，所以在用一般式求二次函数解析式时，通常给出一个系数，再给出两点坐标，解二元一次方程组即可 易 错 提 示例 2(2)中求 PC 的最大值，如果没有函数思想，很容易产生困惑，不知道怎么解决问题重难点 3 二次函数与方程、不等式【数形结合思想】(2018唐山丰南区二模)“如果二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根 ”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(mn)是关于 x 的方
13、程 1(xa)(xb)0 的两根，且 ab，则 a，b，m，n 的大小关系是(A)Amabn BamnbCambn Dmanb【思路点拨】由 m，n(mn)是关于 x 的方程 1(xa)(xb)0 的两根可得出二次函数 y(xa)(xb)1 的图象与 x 轴交于点(m，0)，(n，0)，将 y(xa)(xb)1 的图象往上平移一个单位长度可得二次函数 y(xa)(xb)的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出 a，b，m，n 的大小关系【变式训练 6】如图，抛物线 yx 21 与双曲线 y 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式 x 210 的解kx kx集是(C)5Ax1 Bx
14、1 C0x1 D1x0【变式训练 7】 【数形结合思想】(2018保定莲池区模拟)二次函数 yx 2bx1 的图象如图，对称轴为直线 x1.若关于 x 的一元二次方程 x22x1t0(t 为实数)在1x4 的范围内有实数解，则 t 的取值范围是(B)At2B2t7C2t2D2t7 【变式训练 8】 (2018唐山乐亭县一模)若二次函数 yx 22xk 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x 22xk0 的一个解 x13，另一个解 x21方 法 指 导1方程的根的问题可以转化为函数图象的交点问题，解决这类问题研究函数的图象即可2二次函数中确定带有不等关系的自变量的取值范围时，先把不等号
15、改成等号，求出这个方程的解，再观察图象，根据上方函数值大于下方函数值得出结论3若二次函数中确定了函数值求自变量的值时，相当于解一元二次方程；有时通过图象法解一元二次方程，有时通过列表观察，得出方程的解1(2018岳阳)抛物线 y3(x2) 25 的顶点坐标是(C)A(2，5) B(2，5)C(2，5) D(2，5)2(2018哈尔滨)将抛物线 y5x 21 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为(A)Ay5(x1) 21 By5(x1) 21Cy5(x1) 23 Dy5(x1) 233(2018青岛)已知一次函数 y xc 的图象如图，则二次函数 yax 2bx
16、c 在平面直角坐标系中的图象可能ba是(A)64已知 y 关于 x 的函数解析式是 yax 22xa，下列结论不正确的是(C)A若 a1，函数的最小值是2B若 a1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大C不论 a 为何值时，函数图象与 x 轴都有两个交点D不论 a 为何值时，函数图象一定经过点(1，2)和(1，2)5(2017苏州)若二次函数 yax 21 的图象经过点(2，0)，则关于 x 的方程 a(x2) 210 的实数根为(A)Ax 10，x 24 Bx 12，x 26Cx 1 ，x 2 Dx 14，x 2032 526(2018杭州)四位同学在研究函数 yx 2bxc(b，c 是常
17、数)时，甲发现当 x1 时，函数有最小值；乙发现x1 是方程 x2bxc0 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 x2 时，y4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(B)A甲 B乙 C丙 D丁7(2018唐山路南区一模)如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 m：y2x 22x 的顶点为 C，与 x 轴有两个交点为点 P，O.现将抛物线 m 先向下平移再向右平移，使点 C 的对应点 C落在 x 轴上，点 P 的对应点 P落在 y 轴上，则下列各点的坐标不正确的是(C)AC( ， )12 12BP(1，0)CC(1，0)DP(0， )128(2018宁波)已知
18、抛物线 y x2bxc 经过点(1，0)，(0， )12 32(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线 y x2bxc 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析12式解：(1)把(1，0)和(0， )代入 y x2bxc，得32 12解得 12 b c 0，c 32， ) b 1，c 32. )7抛物线的函数解析式为 y x2x .12 32(2)先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后的函数解析式为 y x2.129 【数形结合思想】(2018邯郸一模)如图，在平面直角坐标系中，点 A(1，2)，B(1，1)，C(2，2)，抛物线yax 2
19、(a0)经过ABC 区域(包括边界)，则 a 的取值范围是(B)Aa1 或 a2B1a0 或 0a2C1a0 或 0a12D. a21210(2018泸州)已知二次函数 yax 22ax3a 23(其中 x 是自变量)，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，且2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为(D)A1 或2 B 或2 2C. D1211 【分类讨论思想】(2018淄博)已知抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，将这条抛物线向右平移 m(m0)个单位长度，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点(点 C 在点 D 的左侧)若 B，C
20、是线段AD 的三等分点，则 m 的值为 2 或 812 【数形结合思想】(2018石家庄十八县大联考)如图，曲线 BC 是反比例函数 y (4x6)的一部分，其中点kxB(4，1m)，C(6，m)，抛物线 yx 22bx 的顶点记作 A.(1)求 k 的值；(2)判断点 A 是否与点 B 重合；(3)若抛物线与 BC 有交点，求 b 的取值范围解：(1)B(4，1m)，C(6，m)在反比例函数 y 的图象上，kxk4(1m)6(m)解得 m2.k41(2)12.(2)m2，B(4，3)抛物线 yx 22bx(xb) 2b 2，A(b，b 2)若点 A 与点 B 重合，则有 b4，且 b23，显然不成立，点 A 不与点 B 重合8(3)当抛物线经过点 B(4，3)时，有 34 22b4.解得 b .198显然抛物线右半支经过点 B；当抛物线经过点 C(6，2)时，有 26 22b6.解得 b .196这时仍然是抛物线右半支经过点 C，b 的取值范围为 b .198 196
