1、 2 空间向量的运算空间向量的运算(二二) 一、选择题 1.已知非零向量 a，b 不平行，并且其模相等，则 ab 与 ab 之间的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 A 解析 由题意知|a|b|， (ab) (ab)|a|2|b|20， (ab)(ab). 2.已知向量 a，b 满足条件：|a|2，|b| 2，且 a 与 2ba 互相垂直，则a，b等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 B 解析 根据 a (2ba)0， 即 2a b|a|2
2、4， 解得 a b2， 又 cosa，b a b |a|b| 2 2 2 2 2 ， 又a，b0，180， a，b45 ，故选 B. 3.已知|a|2，|b|3， a，b60 ，则|2a3b|等于( ) A. 97 B.97 C. 61 D.61 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 C 解析 |2a3b|24a212a b9b2 4221223cos 60 93261， |2a3b| 61. 4.设平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA ) (AB AC)0，则ABC 一 定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三
3、角形 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B 解析 由(DB DC 2DA ) (AB AC) (DB DA DC DA ) (AB AC) (AB AC) (ABAC) |AB |2|AC|20，得|AB|AC|， 故ABC 为等腰三角形. 5.已知 a，b，c 是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于( ) A.14 B. 14 C.4 D.2 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B 解析 |a2b3c|2|a|24|b|29|c|24a b6a c12b c14， |a2b3c| 14. 6.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列向量
4、的数量积一定不为 0 的是( ) A.AD1 B1C B.BD1 AC C.AB AD 1 D.BD1 BC 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 D 解析 选项A， 当四边形ADD1A1为正方形时， 可得AD1A1D， 而A1DB1C， 所以AD1B1C， 此时有AD1 B1C 0； 选项 B，当四边形 ABCD 为正方形时，可得 ACBD， 又 ACBB1，BDBB1B， 可得 AC平面 BB1D1D，故有 ACBD1， 此时BD1 AC 0； 选项 C，由长方体的性质可得 AB平面 ADD1A1， 所以 ABAD1，所以AB AD 1 0，故选 D. 7.在正方体
5、ABCDA1B1C1D1中，有下列命题： (AA1 AD AB )23AB2；A 1C (A1B1 A1A )0；AD1 与A1B 的夹角为 60 . 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B 解析 正确；AD1 与A1B 的夹角为 120 ， 不正确，故选 B. 二、填空题 8.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，则A1B B1C _. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 a2 解析 如图，A1B AB AA 1 ， B1C BC BB 1 AD AA1 ， A1B B1C (
6、AB AA 1 ) (AD AA1 ) AB AD AB AA 1 AA1 AD |AA1 |2 000a2a2. 9.已知空间向量 a，b，|a|3 2，|b|5，mab，nab， a，b135 ，若 mn， 则 的值为_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 3 10 解析 由题意知 a b|a|b|cosa，b3 25 2 2 15， 由 mn，得(ab) (ab)0， 即|a|2a ba b|b|21815(1)250. 解得 3 10. 10.已知 a，b 是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab| 7，则 cosa，b_. 考点 空间向量数量积的应用 题点
7、 利用数量积求角 答案 1 8 解析 将|ab| 7化为(ab)27，求得 a b1 2， 再由 a b|a|b|cosa，b ，求得 cosa，b1 8. 11.已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么|a3b|_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 13 解析 |a3b|2(a3b)2a26a b9b2 16cos 60 913， |a3b| 13. 12.等边ABC 中， P 在线段 AB 上， 且AP AB， 若CP ABPA PB， 则实数 的值为_. 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 空间向量数量积定义 答案 1 2 2 解析 如图，C
8、P ACAPACAB， 故CP AB(ABAC) AB |AB |2|AB|AC|cos A， PA PB(AB) (1)AB(1)|AB|2， 设|AB |a(a0)，则 a21 2a 2(1)a2， 解得 1 2 2 1 2 2 舍 . 三、解答题 13.如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90 ，D，E 分别为棱 AB，BB的中点. (1)求证：CEAD； (2)求向量CE 与AC 夹角的余弦值. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 (1)证明 设CA a，CBb，CC c， 根据题意得|a|b|c|， 且 a bb cc a0， CE b1 2c， AD
9、 c1 2b 1 2a， CE AD1 2c 21 2b 20， CE AD，即 CEAD. (2)解 AC ac， |AC | 2|a|，|CE |5 2 |a|， AC CE (ac) b1 2c 1 2c 21 2|a| 2， cosAC ，CE 1 2|a| 2 2 5 2 |a|2 10 10 . 14.已知 BB1平面 ABC，且ABC 是B90 的等腰直角三角形，平行四边形 ABB1A1，平 行四边形 BB1C1C 的对角线都分别相互垂直且相等， 若 ABa， 则异面直线 BA1与 AC 所成的 角为_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 60 解析 如图所示，BA1 BA BB 1 ，AC ABBC， BA1 AC (BABB 1 ) (AB BC)BA ABBA BCBB 1 AB BB 1 BC . ABBC，BB1AB，BB1BC， AB BC0，BB 1 AB 0，BB 1 BC 0 且BA ABa2. BA1 AC a2. 又BA1 AC |BA 1 |AC |cosBA 1 ，AC ， cosBA1 ，AC a2 2a 2a 1 2. 又BA1 ，AC 0，180，BA 1 ，AC 120 ， 又异面直线所成的角是锐角或直角， 异面直线 BA1与 AC 所成的角为 60 .
