1、3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理,第二章 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解空间向量基本定理. 2.了解基底、标准正交基的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示,垂直,单位,i，j，k,p(x，y，z),知识点二 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理,不共面,任一,xaybzc,2.基底 条件：三个向量a，b，c . 结论
2、： 叫作空间的一个基底.,不共面,a，b，c,思考1 证明空间四点P，M，A，B共面的方法有哪些？,思考2 对于两个不共线的向量a，b，p与向量a，b共面的充要条件是什么？,答案 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,1.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) 2.若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.( ) 3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线. ( ) 4.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPA
3、NDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 基底的判断,解析 均可以作为空间的基底，故选B.,(2)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc.其中可以作为空间的基底的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个,反思感悟 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底. (2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底. 假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共
4、面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.,跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是 A.2a B.2b C.2a3b D.2a5c,解析 使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；,(2)以下四个命题中正确的是 A.基底a，b，c中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底,D.空间向量的基底只能有一组,空间基底可以有无数多组，故D不正确.,题型二 空间向量基本定理的应用,反思感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律
5、；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.,解 如图，连接AC，EF，D1F，BD1，,解析 由于e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底， 所以a(4，8，3)，b(2，3，7).,题型三 空间向量的坐标表示,例3 (1)设e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b 2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_.,(4，8，3)，(2，3，7),(2)已知a(3，4，5)，e1(2，1，1)，e2(1，1，1)，e3(0，3，3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解.,解 因为a(3，4，5)
6、，e1(2，1，1)，e2(1，1，1)，e3(0，3，3)， 设ae1e2e3， 即(3，4，5)(2，3，3)，,反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤,解析 OM2MA，点M在OA上，,(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量 的坐标.,解 因为PAADAB1，,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且 ijk，则点B的坐标是 A.(1，1，1) B.(i，j，k) C.(1，1，1) D.不确定,1,
7、2,3,4,5,2.在下列两个命题中，真命题是 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； 若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底. A.仅 B.仅 C. D.都不是,解析 为真命题； 中，由题意得a，b，c共面，故为假命题，故选A.,1,2,3,4,5,3.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是 A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2),解析 设点A在基底a，b，c下对应的向量为p， 则p8a6b4c8
8、i8j6j6k4k4i12i14j10k， 故点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10).,1,2,3,4,5,4.若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，则，的值分别为_.,解析 d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3) ()e1()e2()e3e12e23e3，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解 延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.,
