1、 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标 表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示 标准正交基 有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，记作 i，j，k 空间直角坐标系 以 i，j，k 的公共起点 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 空间向量
2、的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组x，y，z，使 得 pxiyjzk，则把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 i，j，k 下的坐标，记作 p(x，y，z) 知识点二 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 条件 三个不共面的向量 a，b，c 和空间任一向量 p 结论 存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc 2.基底 条件：三个向量 a，b，c 不共面. 结论：a，b，c叫作空间的一个基底. 思考 1 证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法有哪些？ 答案 MP xMA yMB ； 对空间任一点 O，OP OM xMA yMB ； 对空间任一点 O，OP xOM
3、 yOA zOB (xyz1)； PM AB (或PAMB 或PB AM ). 思考 2 对于两个不共线的向量 a，b，p 与向量 a，b 共面的充要条件是什么？ 答案 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对(x，y)，使 pxayb. 1.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( ) 2.若a，b，c为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量.( ) 3.如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线.( ) 4.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ) 题型一 基底的判断 例 1
4、 (1)下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC B.MA MB MC C.OM OA OB OC D.MA 2MB MC (2)设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量：a， b，x；b，c，z；x，y，abc.其中可以作为空间的基底的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B 解析 (1)对于选项 A， 由OM xOA yOB zOC (xyz1)M， A， B， C 四点共面知， MA ， MB
5、 ，MC 共面；对于选项 B，D，可知MA ，MB ，MC 共面，故选 C. (2)均可以作为空间的基底，故选 B. 反思感悟 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成 基底. (2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量 线性表示，则不能构成基底. 假设 abc，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，若有解，则共面，不能作 为基底；若无解，则不共面，能作为基底. 跟踪训练 1 (1)已知 a，b，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量 pab，qab 构 成基底的向量是( ) A
6、.2a B.2b C.2a3b D.2a5c 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 D (2)以下四个命题中正确的是( ) A.基底a，b，c中可以有零向量 B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C.ABC 为直角三角形的充要条件是AB AC0 D.空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B 解析 使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故 A 不正确；ABC 为直角三 角形并不一定是AB AC0，可能是BC BA0，也可能是CA CB0，故 C 不正确；空间基底 可以有无数多组，故 D 不正确. 题型二
7、 空间向量基本定理的应用 例 2 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是ABC，OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点.试用向量 a，b，c 表示向量OG 和GH . 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG OA AG ， 而AG 2 3AD ，AD OD OA ， 又 D 为 BC 的中点，所以OD 1 2(OB OC )， 所以OG OA 2 3AD OA 2 3(OD OA ) OA 2 3 1 2(OB OC )2 3OA 1 3(OA OB OC )1 3(abc). 又因为GH OH OG ， OH 2 3OD 2
8、3 1 2(OB OC ) 1 3(bc)， 所以GH 1 3(bc) 1 3(abc) 1 3a. 所以OG 1 3(abc)，GH 1 3a. 反思感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平 行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使 所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 跟踪训练 2 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AB a，AD b，AA1 c，E，F 分别是 AD1，BD 的中点. (1)用向量 a，b，c 表示D1B ，EF ； (2)若D1F xaybzc，
9、求实数 x，y，z 的值. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)如图，连接 AC，EF，D1F，BD1， D1B D1D DB AA1 AB AD abc， EF EAAF1 2D1A 1 2AC 1 2(AA1 AD )1 2(AB AD )1 2(ac). (2)D1F 1 2(D1D D1B ) 1 2(AA1 D1B ) 1 2(cabc) 1 2a 1 2bc， x1 2，y 1 2，z1. 题型三 空间向量的坐标表示 例 3 (1)设e1， e2， e3是空间的一个单位正交基底， a4e18e23e3， b2e13e27e3， 则 a，b 的坐标分别为_.
10、考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (4，8，3)，(2，3，7) 解析 由于e1，e2，e3是空间的一个单位正交基底，所以 a(4，8，3)，b(2，3， 7). (2)已知 a(3，4，5)，e1(2，1，1)，e2(1，1，1)，e3(0，3，3)，求 a 沿 e1，e2， e3的正交分解. 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 解 因为 a(3，4，5)，e1(2，1，1)， e2(1，1，1)，e3(0，3，3)， 设 ae1e2e3， 即(3，4，5)(2，3，3)， 所以 23， 34， 35， 解得 7 6， 2 3， 3 2， 所以 a 沿 e1，e2，e
11、3的正交分解为 a7 6e1 2 3e2 3 2e3. 反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练 3 (1)在空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OC c，点 M 在 OA 上，且 OM 2MA，N 为 BC 的中点，MN 在基底a，b，c下的坐标为_. 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 2 3， 1 2， 1 2 解析 OM2MA，点 M 在 OA 上， OM2 3OA， MN MO ON OM 1 2(OB OC ) 2 3a 1 2b 1 2c. MN 在基底a，b，c下的坐标为 2 3， 1 2， 1 2 . (2)已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在
12、的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAD 1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN 的坐标. 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 解 因为 PAADAB1， 所以可设AB e 1，AD e2，AP e 3. 因为MN MA AP PN MA AP 1 2PC MA AP 1 2(PA AD DC ) 1 2AB AP1 2(AP AD AB ) 1 2AP 1 2AD 1 2e2 1 2e3， 所以MN 0，1 2， 1 2 . 1.已知 i，j，k 分别是空间直角坐标系 Oxyz 中 x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB ijk，则点 B 的坐标是
13、( ) A.(1，1，1) B.(i，j，k) C.(1，1，1) D.不确定 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D 解析 由AB ijk 只能确定向量AB(1，1，1)，而向量AB的起点 A 的坐标未知， 故终点 B 的坐标不确定. 2.在下列两个命题中，真命题是( ) 若三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面； 若 a，b 是两个不共线向量，而 cab(，R 且 0)，则a，b，c构成空间的一 个基底. A.仅 B.仅 C. D.都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A 解析 为真命题；中，由题意得 a，b，c 共
14、面，故为假命题，故选 A. 3.已知点 A 在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中 aij，bjk，cki，则点 A 在基底i，j，k下的坐标是( ) A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2) 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A 解析 设点 A 在基底a，b，c下对应的向量为 p，则 p8a6b4c8i8j6j6k4k 4i12i14j10k，故点 A 在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10). 4.若 ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，则 ， ， 的值分别为_.
15、 考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量在单位正交基底下的坐标 答案 5 2，1， 1 2 解析 d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3) ()e1()e2()e3e12e23e3， 1， 2， 3， 5 2， 1， 1 2. 5.如图，已知 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，G 为PDC 的重心，AB i，AD j，AP k，试用基底i，j，k表示向量PG ，BG . 考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标 解 延长 PG 交 CD 于点 N，则 N 为 CD 的中点， PG 2 3PN 2 3 1 2PC PD 1 3(PA ABAD AD A
16、P ) 1 3AB 2 3AD 2 3AP 1 3i 2 3j 2 3k. BG PG PB PG (AB AP) 1 3i 2 3j 2 3k(ik) 2 3i 2 3j 1 3k. 1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都 共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条 线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表 示，即得所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边 形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
