1、第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.3 空间向量的数量积运算,学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 空间向量数量积的概念,思考1,答案,求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.,思考2,120.,答案,梳理,(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.
2、(2)数量积的运算律,abac,(ab),ba,(3)空间向量的夹角,AOB,范围：a，b .特别地：当a，b 时，ab.,0，,知识点二 空间向量的数量积的性质,|a|2,ab0,|a|b|,|a|b|,题型探究,类型一 空间向量的数量积运算,命题角度1 空间向量的数量积基本运算 例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. p2q2(pq)2；,解答,此命题不正确. p2q2|p|2|q|2， 而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q， 当且仅当pq时，p2q2(pq)2.,|pq|pq|p2q2|；,解答,此命题不正确. |p2q2|(
3、pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|， 当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.,若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直.,解答,此命题正确. a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0， 且a与(ab)c(ac)b均为非零向量， a与(ab)c(ac)b垂直.,(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求： ab；,解答,ab|a|b|cosa，b， ab34cos 1206.,(3a2b)(a2b).,解答,(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2， (3a2b)(a
4、2b)39434( )41627246461.,(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.,反思与感悟,跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于,|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913， |a3b| .,答案,解析,则|a|c|2，|b|4，abbcca0.,命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例2 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面A
5、B1的中心，F为A1D1的中点.试计算：,解答,解答,解答,两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.,反思与感悟,跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：,解答,解答,类型二 利用数量积求夹角或模,命题角度1 利用数量积求夹角 例3 已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.,解答,ABBC，BB1AB，BB1BC，,又异面直线所成的角是锐角或直角， 异面直线BA1与AC所成的角为60.,反思与感悟,利用向量求异面
6、直线夹角的方法,因为PO，且l，所以lPO，,跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA. 求证：lPA.,证明,命题角度2 利用数量积求模(或距离) 例4 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.,解答,因为BAD90，BAA1DAA160，,利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.,反思与感悟
7、,跟踪训练4 如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离.,解答,类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题,因为OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB.,例5 如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.,证明,反思与感悟,(1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.,跟踪
8、训练5 已知向量a，b满足：|a|2，|b| ，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.,45,答案,解析,a与2ba垂直，a(2ba)0， 即2ab|a|20. 2|a|b|cosa，b|a|20，又a，b0，180，a与b的夹角为45.,当堂训练,2,3,4,5,1,|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.,1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于 A.14 B. C.4 D.2,答案,解析,选项C，由长方体的性质可得AB平面ADD1A1，,2,3,4,5,1,答案,解析,2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0
9、的是,2,3,4,5,1,易知正确；,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：,其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.0,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.,1222122(12cos 120021cos 120)2，,答案,解析,规律与方法,1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算. (2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入ab|a|b|cosa，b求解.,
