1、3.3 空间向量运算的坐标表示,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算. 3.会判断两向量平行或垂直. 4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,知识点二
2、 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则,a1b1a2b2a3b30,1.在空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点B的坐标相同.( ) 2.设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，则ab ( ) 3.四边形ABCD是平行四边形，则向量 的坐标相同.( ) 4.设A(0，1，1)，O为坐标原点，则 (0，1，1).( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 空间向量坐标的计算,解析 (2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b226222672244.,(2)已
3、知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则(2a3b)(a2b)_.,244,反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.,解析 据题意，有ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)， 故(ca)2b2(1x)2，解得x2.,跟踪训练1 若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且满足条件(ca)2b2，则x_.,2,题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示,解得1.即c(2，1，2)或c(2，1，
4、2).,(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.,所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4). 又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0. 即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.,引申探究 若将本例(2)改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值.,解 由题意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)， (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0，,反思感悟 1.平行与垂直的判断 (1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. (2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否
5、为0. 2.平行与垂直的应用 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程. (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的.,跟踪训练2 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且,解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体棱长为1，,由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，,所以3(a1，a1，0)(a，a，0)，,由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，,例3 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1
6、的中点. (1)求证：EFCF；,题型三 空间向量的夹角与长度的计算,证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；,又因为异面直线所成角的范围是(0，90，,(3)求CE的长.,反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.,跟踪训练3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BC
7、A90，棱AA12，N为A1A的中点. (1)求BN的长；,解 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，,(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.,解 依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，,又异面直线所成角为锐角或直角，,3,达标检测,PART THREE,A.(1，3，3) B.(9，1，1) C.(1，3，3) D.(9，1，1),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2，1)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则
8、ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形,所以ABC为锐角三角形.,1,2,3,4,5,3.已知a(2，3，1)，则下列向量中与a平行的是 A.(1，1，1) B.(4，6，2) C.(2，3，5) D.(2，3，5),解析 若b(4，6，2)，则b2(2，3，1)2a，所以ab.,1,2,3,4,5,4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是,解析 依题意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1，,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2),
