1、 2 空间向量的运算空间向量的运算(二二) 学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.2.掌握两个向量的数量积 在判断向量共线与垂直中的应用. 知识点 数量积的概念及运算律 1.已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫作 a，b 的数量积，记作 a b，即 a b|a|b|cos a，b. 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0. 2.空间向量数量积的性质 (1)aba b0. (2)|a|2a a，|a| a a. (3)cosa，b a b |a|b|(a0，b0). 3.空间向量数量积的运算律 (1)(a) b(a b)(R). (2)a bb a(交换律
2、). (3)a (bc)a ba c(分配律). 特别提醒：不满足结合律(a b) ca (b c). 1.对于非零向量 b，由 a bb c，可得 ac.( ) 2.对于向量 a，b，c，有(a b) ca (b c).( ) 3.若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a b|a|b|.( ) 4.对任意向量 a，b，满足|a b|a|b|.( ) 题型一 数量积的计算 例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求： (1)EF BA； (2)EF BD ； (3)EF DC ； (4)AB CD . 考点 空间向量数量积的概念及性质
3、 题点 用定义求数量积 解 (1)EF BA1 2BD BA 1 2|BD |BA |cosBD ，BA 1 2cos 60 1 4. (2)EF BD 1 2BD BD 1 2|BD |21 2. (3)EF DC 1 2BD DC 1 2|BD |DC |cosBD ，DC 1 2cos 120 1 4. (4)AB CD AB (AD AC ) AB AD AB AC |AB |AD |cosAB ，AD |AB |AC|cosAB，AC cos 60 cos 60 0. 反思感悟 1.已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算. 2.如果要求的是关于 a 与 b
4、的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展 开，再利用 a a|a|2及数量积公式进行计算. 跟踪训练 1 已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1的中 心，F 为 A1D1的中点.试计算： (1)BC ED 1 ；(2)BF AB 1 ；(3)EF FC 1 . 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 用定义求数量积 解 如图， 设AB a，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4， a bb cc a0. (1)BC ED 1 b 1 2cab |b| 24216. (2)BF AB 1 ca1 2b (ac)|c| 2|a|2
5、22220. (3)EF FC 1 1 2ca 1 2b 1 2ba 1 2(abc) 1 2ba 1 2|a| 21 4|b| 22. 题型二 利用数量积证明垂直问题 例 2 (1)已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，那么 AD 与 BC 的位置关系为 _.(填“平行”“垂直”) 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 垂直 解析 AD BC (ABBD ) (AC AB) AB ACBD AC AB2AB BD AB (ACABBD )AB DC 0， AD 与 BC 垂直. (2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 与 BD 的交
6、点，G 为 CC1的中点，求 证：A1O平面 GBD. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 证明 设A1B1 a，A 1D1 b，A1A c， 则 a b0，b c0，a c0，|a|b|c|. A1O A1A AO A1A 1 2(AB AD ) c1 2a 1 2b， BD AD AB ba， OG OC CG 1 2(AB AD )1 2CC1 1 2a 1 2b 1 2c A1O BD c1 2a 1 2b (ba) c bc a1 2a b 1 2a 21 2b 21 2b a 1 2(b 2a2)1 2(|b| 2|a|2)0. 于是A1O BD ，即 A1OBD.
7、 同理可证A1O OG ，即 A1OOG. 又OGBDO，OG平面 GBD，BD平面 GBD， A1O平面 GBD. 反思感悟 1.证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为 0 来判断两直线 是否垂直. 2.证明与空间向量 a，b，c 有关的向量 m，n 垂直的方法 先用向量 a，b，c 表示向量 m，n，再判断向量 m，n 的数量积是否为 0. 跟踪训练 2 如图，在空间四边形 OACB 中，OBOC，ABAC，求证：OABC. 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 证明 因为 OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所
8、以AOCAOB. 又OA BC OA (OC OB )OA OC OA OB |OA |OC |cosAOC|OA | |OB |cosAOB0， 所以OA BC ，即 OABC. 题型三 利用数量积解决空间角问题 例 3 在空间四边形 OABC 中，连接 AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC 45 ，OAB60 ，求向量OA 与BC 夹角的余弦值. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 BC ACAB， OA BC OA AC OA AB |OA |AC |cosOA ，AC |OA |AB |cosOA ，AB 84cos 135 86cos 120 2416
9、 2， cosOA ，BC OA BC |OA |BC | 2416 2 85 32 2 5 . 反思感悟 求两个空间向量 a， b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法， 利用公式 cos a， b a b |a|b|，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个 向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题. 跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求向量A1B 与AC 的夹角. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 不妨设正方体的棱长为 1， 设AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|1， a bb cc a0，
10、A1B ac，AC ab. A1B AC (ac) (ab) |a|2a ba cb c1， 而|A1B |AC | 2， cosA1B ，AC 1 2 2 1 2， A1B ，AC 0，180， A1B ，AC 60 . 题型四 利用数量积求空间中两点间的距离 例 4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为 2，E，F 分 别是 AB，A1C1的中点，求 EF 的长. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 设AB a，ACb，AA 1 c. 由题意，知|a|b|c|2， 且a，b60 ， a，cb，c90 . 因为EF EAAA 1 A1
11、F 1 2AB AA 1 1 2AC 1 2a 1 2bc， 所以|EF |2EF2 1 4a 21 4b 2c22 1 2a 1 2b 1 2b c 1 2a c 1 42 21 42 2222 1 4 22cos 60 11415， 所以|EF | 5，即 EF 5. 反思感悟 求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形 式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| a a求解即可. 跟踪训练 4 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90 ， BAA1DAA160 ，求 AC1的长. 考点 空间向量数量
12、积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为AC1 AB AD AA1 ， 所以AC 2 1(AB AD AA1 )2AB 2AD2AA2 12(AB AD AB AA 1 AD AA1 ). 因为BAD90 ，BAA1DAA160 ， 所以AC 2 11492(13cos 60 23cos 60 )23. 因为AC 2 1|AC1 |2，所以|AC1 |223， 则|AC1 | 23，即 AC1 23. 利用数量积探究垂直问题 典例 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，PA平面 ABCD(点 P 位于平面 ABCD 的上方)，则边 BC 上是否存在点 Q，使PQ QD ？ 考点
13、空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 解 假设存在点 Q(点 Q 在边 BC 上)，使PQ QD ，即 PQQD. 连接 AQ，因为 PA平面 ABCD，所以 PAQD. 又PQ PA AQ ， 所以PQ QD PA QD AQ QD 0. 又PA QD 0，所以AQ QD 0，所以AQ QD . 即点 Q 在以边 AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又 AB1， 所以当a 21，即 a2 时，该圆与边 BC 相切，存在 1 个点 Q 满足题意； 当a 21，即 a2 时，该圆与边 BC 相交，存在 2 个点 Q 满足题意； 当a 21，即 a2 时，该圆与边 BC 相离，不存在点
14、 Q 满足题意. 综上所述，当 a2 时，存在点 Q，使PQ QD ； 当 0a2 时，不存在点 Q，使PQ QD . 素养评析 本例由条件PQ QD ，利用向量的数量积推知 Q 点轨迹，从而转化为平面几何 问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力. 1.对于向量 a，b，c 和实数 ，下列说法正确的是( ) A.若 a b0，则 a0 或 b0 B.若 a0，则 0 或 a0 C.若 a2b2，则 ab 或 ab D.若 a ba c，则 bc 考点 空间向量数量积的概念及性质 题点 数量积的性质 答案 B 解析 结合向量的运算，只有 B 正确. 2.已知向量 a， b 是平面 内的两个不相
15、等的非零向量， 非零向量 c 是直线 l 的一个方向向量， 则“c a0 且 c b0”是“l”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案 B 解析 若 ab，则不一定得到 l，反之成立. 3.已知 a，b 为两个非零空间向量，若|a|2 2，|b| 2 2 ，a b 2，则a，b_. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 3 4 解析 cosa，b a b |a|b| 2 2 ，a，b0， a，b3 4 . 4.已知正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，
16、AD 的中点，求 EF 的长. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 |EF |2EF2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(EC CD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120 021cos 120 )2， |EF | 2，EF 的长为 2. 1.空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用 a b|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(a，b 为非零向量). (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再 代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入 a b|a|b|cosa，b求解.
