1、专题七三角形、四边形的几何探究类型一 动态变化问题(2019石家庄桥西区一模)如图，菱形ABCD中，ABC120，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于F，连接CE.(1)证明：ADPCDP；(2)判断CEP的形状，并说明理由；(3)如图，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP和线段CE的数量关系【分析】(1)利用菱形的对称性得到ADCD，ADPCDP，结合DPDP即可得证；(2)先猜想CEP是等边三角形，再由PAPEPC可知，只需证明CPE60即可；(3)由APPEPC可知，只需证明PCE是等腰直角三角形即可【自主解答】1(2019唐山
2、丰南区一模)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动(1)如图，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动，连接AE，DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需要证明)；连接AC，请直接写出当ACE是等腰三角形时，CECD的值；(3)如图，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图，若AD2，
3、试求出线段CP的最大值2(2019河北)如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为APC的内心(1)求证：BADCAE；(2)设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)当ABAC时，AIC的取值范围为m”“”“”)；求证：点F在ABC的平分线上；(3)如图，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H.当四边形AEGH是平行四边形时，求的值类型二 旋转问题 (2017河北)平面内，如图，在ABCD中，AB10，AD15，tan A，点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90得到
4、线段PQ.(1)当DPQ10时，求APB的大小；(2)当tanABPtan A32时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；(3)若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留)【分析】(1)由DPQ10，可分点Q在AD的左侧和点Q在AD的右侧两种情况讨论，从而求得BPD，即可结合互补得到APB的大小；(2)由tanABPtan A32，可先过点P作AB的垂线，从而利用角的正切表示出tanPBA和tan A，从而求出PB的值，由PBPQ，PBPQ，可求BQ的长；(3)由点Q在平行四边形ABCD的边上，可分点Q在AD，DC，BC上分别讨论求解【自主解答】1(
5、2018保定一模)【发现】如图，将AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到MON，当AOB90，B30，点M恰好落在边AB上时，连接AN.(1)线段MN与AO的位置关系是 ；(2)设MBO的面积为S1，ANO的面积为S2，试判断S1与S2之间的数量关系，并说明理由；【拓展】如图，将AOB绕点O逆时针旋转一定角度后得到MON，设旋转角为，AOB，若AMOB，则 (用含的代数式表示)；【应用】如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度后得到矩形AEFG，且点F落在CD的延长线上当BC，AB3时，求旋转角的度数，并求出此时点C所经过的路径长L和边AB所扫过区域的面积S.2(2019河南)在ABC中，C
6、ACB，ACB，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图，当60时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ；(2)类比探究如图，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图的情形说明理由；(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值类型三 折叠问题 (2018石家庄裕华区一模)如图，在平行四边形 ABCD中，AB9，AD13，tan A，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将APB折叠，得AP
7、B.(1)当DPA10时，APB 度；(2)当PABC时，求线段PA的长度；(3)当点A落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度；(4)直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA的最小值是多少？【分析】(1)求APB，可由DPA得到APA，从而由折叠性质得APB，注意按点A在AD左侧和右侧，以及点P在AD的延长线上分类讨论；(2)由PABC，结合四边形ABCD是平行四边形，得到PAAD，结合折叠得到BPA，从而过点B作BHAP于H，利用锐角三角函数求AH和PH即可；(3)要求A落在平行四边形的边所在直线上时，分点A在AD、CD、BC上三种情况讨论确定，再利用锐角三角函数计算求
8、解；(4)要计算DA的最小值，可由折叠得点A在以B为圆心，BA为半径的圆上，从而连接BD，求BD的长减去半径AB即可【自主解答】1(2018石家庄藁城区模拟)如图，正方形ABCD的边长是10，P是BC边上任意一点(不与B，C重合)，连接AP，然后作点B关于AP的对称点B，连接BB，设BPx.(1)当x4时，tan B ；(2)x为何值时，点B与点C的距离最小，最小距离是多少？(3)当点B与正方形两个顶点的距离相等时，直接写出x的值2(2019山西)综合与实践动手操作：第一步：如图，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平，再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上，此时
9、点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F在同一条直线上，折痕分别为CE，CF，如图；第二步：再沿AC所在直线折叠，ACE和ACF重合，得到图；第三步：在图的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图，图中的虚线为折痕问题解决：(1)在图中，BEC的度数是 ，的值是 ；(2)在图中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： 参考答案【例1】 (1)证明：在菱形ABCD中，ADCD，ADPCDP.在ADP和CDP中，ADPCDP.(2)CEP是等边
10、三角形理由：由(1)知ADPCDP，DAPDCP，APCP.PAPE，DAPDEP，DCPDEP，CFPEFD，180PFCPCF180DFEDEP，即CPFEDF60.PAPE，APCP，PEPC，CEP是等边三角形(3)CEAP.跟踪训练1解：(1)AEDF，AEDF.理由：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADEDCF90.动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，DECF，ADEDCF，AEDF，DAEFDC.ADE90，ADPCDF90，ADPDAE90，APD90，AEDF.(2)成立CECD或2.如解图，当ACCE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股
11、定理得ACCEa，则CECDaa；如解图，当AEAC时，同理可得ACa.四边形ABCD是正方形，ADC90，即ADCE，DECDa，CECD2aa2.(3)点P在运动中保持APD90，点P的运动路径是以AD为直径的圆，如解图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，在RtQDC中，QC，CPQCQP1，即线段CP的最大值为1.2解：(1)在ABC和ADE中，ABCADE(SAS)，BACDAE，即BADDACDACCAE，BADCAE.(2)AD6，APx，PD6x，当ADBC时，APAB3最小，即PD633为PD的最大值(3)设BAP，则APC30，ABACBAC9
12、0，PCA60，PAC90，I为APC的内心，AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCA，AIC180(IACICA)180(PACPCA)180(9060)105.090，105105150，即105AIC150，m105，n150.3解：(1)四边形ABCD是垂美四边形理由：ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；(2)ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾股定理，得AD2BC2AO2DO2BO2CO2，AB2CD2AO2BO2CO2DO2，AD2BC2A
13、B2CD2；(3)如解图，连接CG、BE，CAGBAE90，CAGBACBAEBAC，即GABCAE.在GAB和CAE中，GABCAE(SAS)，ABGAEC.又AECAME90，ABGAMEABGBMN90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2BE2CB2GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2BE2CB273，GE.4解：(1)60(2)证明：如解图，过点F作AB和BC的垂线，垂足分别为M，N，由可得AEF是等边三角形，FAN18060EAB120EAB.FEM60AEB60(180120EAB)120EAB，FANFEM.FNAFME，FAFE，
14、FNAFME，FNFM，点F在ABC的平分线上(3)四边形AEGH为平行四边形，GEBH.四边形AEFG为菱形，EG平分FEA，GEA30，EAB30.B120，BEA30BAE，BABE.设ABx，则AEx， 同理可得AHGH3x.DAB60，H30，HAD为等腰三角形，AD3xBC，3.【例2】 解：(1)当点Q与B在PD异侧时，由DPQ10，BPQ90，得BPD80.APB180BPD100.当点Q与B在PD同侧时，APB180BPQDPQ80.APB的大小为80或100. (2)如解图，过点P作PHAB于点H，连接BQ.解图tanABPtan A32，AHHB32.而AB10，AH6，
15、HB4.又tan A，PH8，PB4，在RtPQB中，QBPB4.(3)16或20或32.【解法提示】 当点Q在AD上时，如解图，由tan A得PBABsin A8，S阴影16. 图 图当点Q在CD上时，如解图，过点P作PHAB于点H，交CD的延长线于点K，由题意K90，KDPA.设AHx，则PHAHtan Ax.BPHKQP90KPQ，PBQP，RtHPBRtKQP，KPHB10x，APx，PD(10x)AD15x(10x)，解得x6.PB2PH2HB280，S阴影20.当点Q在BC延长线上时，如解图，过点B作BMAD于点M，由得BM8.解图又MPBPBQ45，PB8，S阴影32.综上所述，
16、PB旋转到PQ所扫过的面积为16或20或32.跟踪训练1发现(1)平行(2)S1S2理由如下：MNAO，SAONSAOM，B30，AOB90，BAO60，AB2AO，由旋转性质得AOMO，AOM是等边三角形，AMAO，AMMB，SAOMSBOM，SBOMSAON，即S1S2.拓展1802.应用如解图，连接AC，AF，由tanBAC得BAC30，CFAB，ACFBAC30，又ACAF，ACFAFC30，1802ACF180230120，AC2，点C所经过的路径长L，边AB扫过的区域的面积S3.2解：(1)1，60(2)45.理由：如解图，设BD交AC于点O，BD交PC于点E，PADCAB45，P
17、ACDAB.DABPAC，PCADBA，.EOCAOB，CEOOAB45，直线BD与直线CP相交所成的较小的角的度数是45. 图 图 图 (3)2或2.【解法提示】如解图，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于点H，CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH.POAFOH，HAPO.APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA.ADPBDC45，ADB90，DBADBC22.5.ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DADC，设ADa，则DCADa，PDa，2；如解图，当点P在线
18、段CD上时，同理可得DADC，设ADa，则CDADa，PDa，PCaa，2.【例3】 解：(1)85或95或5.(2)在ABCD中，ADBC，PABC，PAAD，APA90，APBAPB45，作BHAD于H，如解图，解图tan A，设AH5x，BH12x，AB13x9，x，AH，BH.在RtBHP中，BPH45，BHPH，APAHPH.(3)当点A在AD上时，如解图，解图ABAB，12，BPAD，且APAP，tan A，APAB.当A在BC上时，如解图.解图由折叠可知，ABAB，APAP，34，又ADBC，54，35.ABPA，四边形ABAP为菱形，AP9.如解图，当A在AB的延长线上时，AB
19、PABA90，解图APAB.(4)DA的最小值是49.跟踪训练1解：(1)当x4时，如解图，连接PB ，点B是点B关于AP的对称点，AP垂直平分BB，ABAB，PBPB，APBB，14.1290，3290，1 3，43.tan3，即tan B ； 图 图(2)如解图，当点B 与点C的距离最小时，点B在线段AC上由(1)的结论和正方形的性质可知，PBPBBC，ACAB10，BC1010.当x1010时，点B与点C的距离最小，最小距离为1010.(3)2010或或1010.2解：(1)67.5；(2)四边形EMGF是矩形理由：四边形ABCD是正方形，BBCDD90，由折叠可知，123422.5，CMCG，BECNECNFCDFC67.5，MH，GH分别垂直平分EC，FC.MCME，GCGF.5122.5，6422.5，MEFGFE90.MCG90，CMCG，CMG45.又BME1545，EMG180CMGBME90，四边形EMGF是矩形(3)画图如解图所示，菱形FGCH(或菱形EMCH)
