1、2021 年河北省中考第一次模拟数学试卷年河北省中考第一次模拟数学试卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1本试卷共 8 页，总分 120 分，考试时间 120 分钟 2答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上 3答选择题时，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 4涂黑;答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题 (本大题有 16 个小题，共 42 分。110 小题各 3 分，1116 小题各 2 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的
2、垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适 当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图） ；第二步甲同学作DCE的平分线所在的直线，乙同学作 DE的中垂线则下列说法正确的是（ ） A只有甲的画法正确 B只有乙的画法正确 C甲，乙的画法都正确 D甲，乙的画法都不正确 2李老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目：3x 2(2x+1)6x3+6x2y3x2，那么“” 里应当是( ) Ay B2y C2y D2xy 3下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ()a mnaman B 2222 ()()abcab abc C 2 1055 (21)xxxx D 2 166(4)(4)
3、6xxxxx 4如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体移动到小正方体的正上方， 下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（ ） A左视图发生变化 B俯视图发生变化 C主视图发生改变 D左视图、俯视图和主视图都发生改变 5为了解某校九年级学生跳远成绩的情况，随机抽取30名学生的跳远成绩(满分10分).绘制成下表: 成绩/ 分 5 6 7 8 9 10 人数/ 人 x y 6 8 5 4 关于跳远成绩的统计量中，一定不随 , x y的变化而变化的是（ ） A众数，中位数 B中位数，方差 C平均数，方差 D平均数，众数 6在“新冠”疫情期间，成都数字学校开设了语文、数学、英语
4、等 36 个科目的网络直播课，四川省有 1500 万人次观看了课程将数据“1500 万”用科学记数法可表示为（ ） A1.510 6 B1.510 7 C1510 6 D0.1510 8 7已知在ABC 中，ABAC，用尺规在BC上确定中点P，则下列作图痕迹不符合要求的是（ ） A B C D 8下列变形不正确的是（ ） A 22 1xy xyxy B 11111 xyxyyx C 22 xyxy D 3 26 3 xx yy 9如图所示，将ABC的三边分别扩大一倍得到A1B1C1， （顶点均在格点上） ，它们是以P点为位似中心的 位似图形，则P点的坐标是（ ） A （4，3） B （3，3）
5、 C （4，4） D （3，4） 10用简便方法计算106 94时，变形正确的是（ ） A 2 1006 B 22 1006 C 2 1002 1006 D 2 1002 1004 11 在 类比探究菱形的有关问题 这节网课中， 老师给出了如下画菱形的步骤， 请问这么画的依据是 （ ） A四条边都相等的四边形是菱形 B两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 12a 14不等于下列各式中的( ) A(a 7)7 B
6、a 2a3a4a5 C(a 3)3a5 D(a 2)3(a4)2 13如图，小明从A处出发沿北偏西 30方向行走至B处，又沿南偏西 50方向行走至C处，此时再沿与 出发时一致的方向行走至D处，则BCD的度数为（ ） A100 B80 C50 D20 14如图，在 44 的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为 1，ABC的外心可能是 （ ） AM点 BN点 CP点 DQ点 15意大利文艺复兴时期的著名画家达芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明 了勾股定理.小明用两张全等的的纸片和拼成如图 1 所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方 形和两个全等的
7、直角三角形组成.已知六边形ABCDEF的面积为 28， :4:1 ABGFCDEG SS 正方形正方形 .小明将 纸片翻转后拼成如图 2 所示的图形，其中90BAF ，则四边形BCEF 的面积为（ ） A16 B20 C22 D24 16如图，现要在抛物线(4)yxx上找点( , )P a b，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法 如下， 甲：若5b，则点P的个数为 0； 乙：若4b，则点P的个数为 1； 丙：若3b，则点P的个数为 1 下列判断正确的是（ ） A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 二、填空题(本大题有 3 个小题，共 12 分1718 小题各 3 分
8、; 19 小题有 2 个空，每空 3 分) 17计算2812的结果是_ 18 如图， 把正三角形、 正四边形、 正五边形按如图所示的位置摆放， 若150 ,222 ， 则3 _ 19已知平面直角坐标系中，点(4,1)A，若直线 1 1 4 yxb与双曲线 2 4 (0)yx x 交于点B，与y轴交 于点 C探究：由双曲线 2 4 (0)yx x 与线段OA、OC、BC 围成的区域M内（不含边界） 整点的 个数 （点的横、纵坐标都是整数的点称为整点） 当1b时，如图，区域 M内的整点的个数为_个 当0b 时，若区域M内恰好有4个整点，则b的取值范围是_ 三、解答题(本大题有 7 个小题，共 66
9、 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20(本小题满分 8 分) 对于实数ab、，定义关于“”的一种运算：2aba b 例如132 1 35 （1）求43 的值； （2）若322m ，求m的取值范围； （3）若2xy ，21yx，求x和y的值 21(本小题满分 8 分) 小马虎做一道数学题，“已知两个多项式 2 4Axx， 2 234Bxx，试求2AB.”其中多项式A 的二次项系数印刷不清楚. （1）小马虎看答案以后知道 2 228ABxx，请你替小马虎求出系数“W”； （2） 在 （1） 的基础上， 小马虎已经将多项式A正确求出， 老师又给出了一个多项式C， 要求小马虎求出A C
10、的结果.小马虎在求解时，误把“A C”看成“A C”，结果求出的答案为 2 62xx.请你替小马虎 求出“A C”的正确答案. 22(本小题满分 8 分) 某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为 20 元/件，第x天销售 量为p件，销售单价为q元经跟踪调查发现，这 40 天中50p与x成正比，前 20 天（包含第 20 天） ，q 与x的关系满足关系式30qax；从第 21 天到第 40 天中，q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持 不变，浮动价与x成反比，且得到了表中的数据： x（天） 10 21 35 q（元/件） 35 45 35 p（件） 40
11、（1）请直接写出a的值为_；直接写出这 40 天中p与x的关系式为_； （2）从第 21 天到第 40 天中，求q与x满足的关系式； （3）求这 40 天里该网店第几天获得的利润最大？最大为多少？ 23(本小题满分 9 分) 如图， (0,4)A ，(0,2)B，/AC x轴，与直线 2 3 yx交于点C，CDx轴于点D，P是折线ACCD上 一点设过点B，P的直线为l （1）点C的坐标为_；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是_； （2）当/l OC时，求l的解析式； （3）若l与线段OC有交点，设该交点为E，是否存在OEOB的情况？若存在，求点P的坐标；若不 存在，说明理由 2
12、4(本小题满分 10 分) 已知矩形ABCD，3 3AD ，3CD，半径为1.5的B分别与AB，BC交于点E，F小甲虫P从 点E以每秒 1 个单位长度的速度绕着圆周顺时针爬行，再次回到点E时停止，设爬行时间为t秒 （1）DBA_；当t _时，小虫距离点D最远 （2）小明说：“当 3 3 2 AP 时，AP与 B相切”你同意的他的观点吗？若同意，请求出此时t的值 （3）连接AC，AP，CP，直接写出ACP面积的最大值和最小值 25(本小题满分 10 分) 如图：在数轴上A点表示数10，B点表示数 6， （1）A、B两点之间的距离等于_； （2）在数轴上有一个动点P，它表示的数是x，则|10|6|
13、xx的最小值是_； （3）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C， 使3ACBC，则C点表示的数是_； （4）若在原点O的左边 2 个单位处放一挡板，一小球甲从点A处以 5 个单位/秒的速度向右运动；同时另 一小球乙从点B处以 2 个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别 以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t秒，请用t来表示甲、乙两小球之间的距离d. 26(本小题满分 10 分) 已知正方形ABCD的边长为 6，E在射线CB上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转 90得EF （1）当E为BC中点时，求点F
14、到直线BC距离是多少？ （2）是否存在A、C、F三点在一条直线上的时刻？若存在请求出此时CE的长，若不存在请说明理由； （3）当120DCF时，求CDE的度数？ （4）直接写出CF的最小值_ 全解全析全解全析 1C 【分析】 利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确 【详解】 CDCE， DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C， 甲，乙的画法都正确 故选 C 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性 质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作 图拆解成基本作图，逐步操作
15、2B 【解析】 【分析】 根据题意列出算式，计算即可得到结果 【详解】 解：根据题意得：(6x 3+6x2y3x2)(3x2)2x12x2y+12x12y， 故选：B 【点睛】 此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3C 【分析】 根据因式分解的定义，直接判断是否是因式分解即可 【详解】 解：A. ()a mnaman ，属于整式乘法，单项式乘多项式，故此选项不符合题意； B. 2222 ()()abcab abc，等式左右两边都有整式加减的形式，故此选项不符合题意； C. 2 1055 (21)xxxx，用提公因式法将多项式转化成整式乘法的形式，属于因式分解，故此选项正确
16、； D. 2 166(4)(4)6xxxxx，等式左右两边都有整式加减的形式，故此选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】 本题主要考查整式的因式分解的意义，熟记因式分解的意义是解决此题的关键，还要注意，必须是整式 4C 【分析】 根据三视图的判定分析作答即可； 【详解】 根据题意可知， 移动之前的主视图为： ； 移动之后的主视图为： ； 主视图发生了变化；同时俯视图和左视图未发生变化 故答案选 C 【点睛】 本题主要考查了立体图形的三视图，准确判断是解题的关键 5A 【分析】 由题目已知可得7xy，据此可以判断一定不随 , x y的变化而变化的是众数，中位数 【详解】 解：由题目已知，随机抽取
17、的是30名学生的跳远成绩，根据图表可知： 685430 xy+= ， 7xy， 定不随 , x y的变化而变化的是众数，中位数， 故选：A 【点睛】 此题主要考查了中位数、众数的定义，正确掌握相关定义是解题关键 6B 【分析】 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】 1500 万150000001.510 7 故选：B 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数， 表示时关键要正确确定a的值以及n的值 7D
18、【分析】 根据角平分线的画法及线段的垂直平分线的画法依次判断即可. 【详解】 A、由AB=AC故作BAC的平分线与BC的交点即为BC的中点P，依据是等腰三角形的三线合一的性质，故 A 正确； B、作线段BC的垂直平分线，与BC的交点即为线段BC的中点，故 B 正确； C、作BAC的平分线与BC的交点即为BC的中点P，依据是等腰三角形的三线合一的性质，故 C 正确； D、以B、C分别为圆心，任意长为半径画弧线，与BC的交点不一定是一个点，故此画法不符合要求，故 D 错误； 故选：D. 【点睛】 此题考查作图能力：角平分线的画法及线段的垂直平分线的画法，正确掌握各基本图形的画法并运用解题 是应该掌
19、握的基本技能. 8B 【分析】 根据分式的基本性质即可求出答案 【详解】 解：A. 22 1xy xyxy ，此选项正确； B. 111 xyxy = 11yx xyxyyx ，此选项错误； C. 22 xyxy 此选项正确； D. 3 26 3 xx yy 此选项正确. 故选 B 【点睛】 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 9A 【分析】 作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心 【详解】 由图中可知，点P的坐标为（4，3） 故选 A 【点睛】 用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心 10B 【分析】 观察算式中数的特点：106 94
20、(1006)(1006)，符合平方差公式，利用平方差公式变形计算即可 【详解】 22 106 94(1006)(1006)1006， 故选：B 【点睛】 本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的结构特点，会利用平方差公式简便运算是解答的关键 11C 【分析】 根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可 【详解】 由作图的第一步可知ADAB， 由作图的第二步可知CDAB， 由作图的第三步可知ADBC， 四边形ABCD是平行四边形， ADAB， 四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查平行四边形的判定定理以及菱形的判定定理，熟练掌握“邻边相等的平行四边形是菱
21、形”是 解题的关键 12A 【分析】 分别求出各式的结果即可判断. 【详解】 A. (a 7)7 = a49 a 14，符合题意; B. a 2a3a4a5= a14， C. (a 3)3a5= a9a5 = a14， D. (a 2)3(a4)2= a6a8= a14， 故选 A. 【点睛】 此题主要考察幂的乘方公式的运用. 13B 【解析】 解：如图所示：由题意可得：1=30，3=50，则2=30，故由DCAB，则4=30+50=80故 选 B 点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出3 的度数是解题关键 14D 【解析】 【分析】 由图可知， ABC是锐角三角形， 于是得到AB
22、C的外心只能在其内部， 根据勾股定理得到BPCP 2PA， 于是得到结论 【详解】 解：由图可知，ABC是锐角三角形， ABC的外心只能在其内部， 由此排除 A 选项和 B 选项， 由勾股定理得，BPCP 2PA， 排除 C 选项， 故选 D 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键 15B 【分析】 根据图形及勾股定理的验证得到BC 2=BG2+CG2,故四边形 BCEF 的面积等于四边形ABGF的面积加上四边 形CDEG的面积,再根据六边形ABCDEF的面积为 28， :4:1 ABGFCDEG SS 正方形正方形 即可求解 【详解】 :4
23、:1 ABGFCDEG SS 正方形正方形 可设BG=2a，CG=a， 六边形ABCDEF的面积为 28， 4a 2+a2+ 1 22 2 aa=28 解得a=2（-2）舍去， 根据图形及勾股定理的验证得到BC 2=BG2+CG2, 四边形BCEF 的面积=四边形ABGF的面积加上四边形CDEG的面积=4a 2+a2=54=20 故选 B 【点睛】 此题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用. 16C 【分析】 分别令x（4-x）的值为 5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到 点P的个数 【详解】 当b=5 时，令x（4-x）=5，整理得
24、：x 2-4x5=0，=(-4)2-45=-60，因此点 P有 2 个，丙的说法不正确； 故选：C 【点睛】 本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的 判别式 173 22 3 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法法则计算即可 【详解】 解：2812 22 22 3 =3 22 3 故答案为：3 22 3 【点睛】 本题考查的是二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键 1830 【分析】 通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可； 【详解】 等边三角形的内角的度数是 60， 正方形的内角度
25、数是 90， 正五边形的内角的度数是：1 5（52） 180 108， 则336060901081236060901085022=30 故答案是：30 【点睛】 本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键 193 5 1 4 b 或 7 4 b 11 4 【分析】 直线OA的解析式为：y= 1 4 x，可知直线y1与OA平行， 将b=-1 时代入可得：直线解析式为y1= 1 4 x-1，画图可得整点的个数； 分两种情况：直线y1在OA的下方和上方，计算边界时点b的值，可得b的取值 【详解】 解：A（4，1） ， 直线OA为y= 1 4 x， 直线y1= 1
26、4 x+b 直线y1与OA平行， 当b=-1 时，直线解析式为y1= 1 4 x-1， 解方程 41 1 4 x x 得x1=2-2 5（舍去） ，x2=2+25，则B（2+25， 51 2 ） ， 而C（0，-1） ， 区域M内的整点有（1，0） ， （2，0） ， （3，0） ，有 3 个， 故答案为 3； 直线y1在OA的下方时，当直线y1= 1 4 x+b过（1，-1）时，b=- 5 4 ， 且经过（5，0） ， 区域M内恰有 4 个整点，b的取值范围是- 5 4 b-1 直线l在OA的上方时， 点（2，2）在函数y2= 4 x （x0）的图象上， 当直线y1= 1 4 x+b过（1，
27、2）时，b= 7 4 ， 当直线y1= 1 4 x+b过（1，3）时，b=11 4 ， 区域M内恰有 4 个整点，b的取值范围是 7 4 b 11 4 综上所述，区域M内恰有 4 个整点，b的取值范围是 5 1 4 b 或 7 4 b11 4 故答案为 5 1 4 b 或 7 4 b 11 4 【点睛】 本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函 数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想 20 （1）5； （2）2m； （3） 1 0 x y 【分析】 (1)利用题目中的新定义进行计算即可； (2) 利用题目中的
28、新定义列出不等式再进行计算即可； (3)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可 【详解】 （1）根据题中的新定义，得原式2 438 35 ； （2）根据题中的新定义，得622m， 解得2m （3）根据题中的新定义化简，得 22 41 xy xy ， 解得 1 0 x y 【点睛】 本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，本质 还是要熟练掌握二元一次方程的解法 21 （1）-3； （2）“A-C”的正确答案为-7x 2-2x+2. 【分析】 （1）根据整式加减法则可求出二次项系数； （2）表示出多项式A，然后根据A C的结果
29、求出多项式C，计算A C即可求出答案. 【详解】 （1） 由题意得 2 :4Axx， 2 234Bxx, A+2B=(4+W) 2 x+2x-8， 2 228ABxx ， 4+W=1，W=-3，即系数为-3. (2)A+C= 2 62xx,且A= 2 34xx，C=4 2 22xx，A- -C= 2 722xx 【点睛】 本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 22 （1） 1 2 ，50px ； （2） 525 20q x ； （3）这 40 天里该网店第 21 天获得的利润最大，为 725 元 【分析】 （1）利用表格中的数值代入可得a的值，根据当x=10 时，p=40
30、 求解即可； （2）根据已知设q=b+ k x ，利用表格的两个点的坐标代入可得解析式； （3）分别计算前 20 天和后 20 利润的最大值，然后比较两者的大小可得结论 【详解】 解： （1）由表格可知：当x=10 时，q=35， 代入q=30+ax中得：35=30+10a，a= 1 2 ， 设p-50=kx，当x=10 时，p=40，代入得：k=-1， p=-x+50； （2）从第 21 天到第 40 天中，q是基础价与浮动价的和， 其中基础价保持不变，浮动价与x成反比， 设 b qm x ，将21,45和35,35分别代入得 45 21 35 35 b m b m ，解得 20 525 m
31、 b ， 所以 525 20q x （3）设利润为W，则20Wqp， 前 20 天，即120 x时， 2 1 11 30205015612.5 22 Wxxx ， 当15x 时， 1 W有最大值，最大值为612.5 第 21 天到第 40 天，即2140 x时， 2 52526250 202050525Wx xx ， 2 W随x的增大而减小，当21x 时， 2 W有最大值,最大值为 725 元， 综上所述，这 40 天里该网店第 21 天获得的利润最大，为 725 元 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值的求法， 此题难度不大 23
32、（1） (6 )4，02PD （2） 2 2 3 yx （3）不存在，理由见解析 【分析】 （1）将y4 代入 2 3 yx中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小， 可得出点P在线段CD上且纵坐标小于 2，进而可得出PD的取值范围； （2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式； （3）利用相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OEOB 【详解】 （1）当y4 时，有 2 3 x4， 解得：x6， 点C的坐标为（6，4） ； l所在的函数随x的增大而减小， 点P在线段CD上，且纵坐标小于 2， 0PD2 故答案
33、为：(6 )4，02PD; （2）/l OC，点B为线段OA的中点， 点P为线段AC的中点，即(3,4)P 设直线l的解析式为(0)ykxb k， 将(0,2)B，(3,4)P代入y kxb ， 得 2 34 b kb 解得 2 3 2 k b l的解析式为 2 2 3 yx （3）不存在，理由如下： 连接BD，交OC于点F，如图， 当点P在CD上时，l与线段OC有交点E，且OEOF， OBFCDF， 21 42 OFOB FCCD ， 1 2 OFFC，即 1 3 OFOC 而6OC ， 2OF， 2OE， OEOB 【点睛】 相似三角形的性质与判定，一次函数的综合题，一次函数图象上点的坐标
34、特点，待定系数法求一次函数解 析式，一次函数的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质 24 （1）60，2； （2）同意，t的值为 1 2 或 5 2 ； （3）最大值是 99 3 2 和最小值是 9 39 2 【分析】 （1）利用tan AD DBA AB 可求得DBA的度数，延长DB交B于点M，此时小虫距离点D最远，根据 弧长公式求得优弧EFM的长，即可求得小甲虫的爬行时间； （2）利用勾股定理的逆定理证明90APB，即可证明AP与B相切；利用正切函数可求得 60ABP，再求得 2 EP ，即可求得小甲虫的爬行时间；由对称性可知，当小甲虫运动到 P 处时， 同理可求解； 【详解】 （
35、1）如图，连接DB并延长，交B于点P，M 在矩形ABCD中，90A ， 3 3AD ，3ABCD， 3 3 tan3 3 AD DBA AB ， 60DBA； 当点P运动到点M时，小虫离点D最远，此时点P经过优弧EFM， 优弧EFM的长为 18060 1.5 2 180 ， 2 12t ； 故答案为：60，2； （2）同意理由如下： 22 39AB ， 22 9 1.5 4 BP ， 2 2 3 327 24 AP ， 92736 9 444 ， 222 OPAPAB ， 90APB， AP与B相切； 如图，在Rt ABP中， 1.51 cos 32 ABP， 60ABP， 60 1.5 18
36、02 EP ， 1 22 t 由对称性可知，当小甲虫运动到 P 处时， AP与 B也相切， 60 1.5 1802 EP 5 31 22 t ， 综上所述，当AP与B相切时，t的值为 1 2 或 5 2 ； （3）ACP面积的最大值是 99 3 2 ，最小值是 9 39 2 理由如下： 如图，过点B作BHAC，交B于点 1 P，延长HB交B于点P， 此时，ACP的面积最大， 1 ACP的面积最小 在Rt ADC中， 3 3AD ，3AB ， 根据勾股定理，可得 2 2 33 36AC ， 由面积法可知AB BCAC BH， 3 3 36 BH ，即 3 3 2 BH ， 3 333 33 22
37、2 HP ， 113 3399 3 6 2222 ACP SAC PH ， 11 3 333 33 222 PHBHBP ， 1 1 113 339 39 6 2222 ACP SAC PH 综上所述，ACP面积的最大值是 99 3 2 和最小值是 9 39 2 【点睛】 本题考查了切线的判定，弧长公式，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等知识点的运用，关键是根据圆 的相关的性质，分类讨论 25 （1）16 （2）16 （3）2 或 14 （4）甲、乙两小球之间的距离d为： 8 1670 5 tt 或 8 34 5 tt ，或716(4)tt. 【分析】 （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即
38、可； （2）先根据P点在数轴上的位置分类讨论，然后求最小值即可； （3） 由题意可知： 点C距离B点较近， 设点C所表示的数为y， 然后根据点C与点B的位置分类讨论即可； （4）根据题意：点A到表示2 的点的距离为：2（10）=8，点B到表示2 的点的距离为：6（ 2）=8，甲球从A到2 所需时间为：85= 8 5 s，乙球从B到2 所需时间为：82=4s，然后用t分别表示 出甲球从点A到表示2 的点之前和之后，甲球所表示的数，乙球从点B到表示2 的点之前和之后，乙球 所表示的数，根据数轴上两点之间的距离公式，即可求出甲乙两球的距离. 【详解】 解： （1）61016AB 故答案为：16； （
39、2）根据数轴上两点的距离公式可知：|10|x 表示点P与点A之间的距离，|6|x 表示点P与点B之间 的距离 若点P在A点左侧时，即x10，由下图可知：PBAB=16，即|6| 16x 此时|10|6| 16xx； 若点P在线段AB上时，即10 x6，由下图可知：PAPB=AB=16， 此时|10|6| 16xx； 若点P在B点右侧时，即x6，由下图可知：PAAB=16，即|10| 16x 此时|10|6| 16xx； 综上所述：|10|6| 16xx（当点P在线段AB上时，即10 x6，取等号） |10|6|xx的最小值是 16； 故答案为：16. （3）3ACBC 点C距离B点较近 设点C
40、所表示的数为y 当C在B点左侧时，如下图所示， AC=y（10）=y10，BC=6y 3ACBC y10=3（6y） 解得：y=2； 当C在B点右侧时，如下图所示， AC=y（10）=y10，BC= y 6 3ACBC y10=3（y 6） 解得：y=14. 综上所述：C点表示的数是 2 或 14. （4）点A到表示2 的点的距离为：2（10）=8，点B到表示2 的点的距离为：6（2）=8，甲 球从A到2 所需时间为：85= 8 5 s，乙球从B到2 所需时间为：82=4s， 运动t秒钟后，甲球表示的数是： 8 1050 5 tt 或 8 25865 5 tt t ； 乙球表示的数是：62 (
41、04)tt 或228210(4)ttt ， 8 621051670 5 dtttt 或 8 626534 5 tttt ，或 21065716(4)tttt. 甲、乙两小球之间的距离d为： 8 1670 5 tt 或 8 34 5 tt ，或716(4)tt. 【点睛】 此题考查的是数轴上两点之间的距离公式的应用，掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论的数学思想 是解决此题的关键. 26 （1） 3 2 ； （2）存在，2CE ； （3）15CDE或75； （4） 3 5 5 【分析】 （1）过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，如图 1，易证RtFNERtECD，再根据旋转的性质和相似 三角
42、形的性质即可求出FN的长，进而可得结果； （2）若A、C、F三点在一条直线上，过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，如图 2，根据相似三角形 的性质可得CE2NF，而易证CNF是等腰直角三角形，可得CNNF，进一步即可求出CE的长； （3）若点F在直线CD上方，如图 3，作FNBC交BC延长线于点N，易得NCF=30，CFCE，然 后根据三角形的外角性质可得CEF的度数，即为CDE的度数；若点F在直线CD下方，如图 4，同样 的方法可得NCF=30，CFCE， 然后根据三角形的内角和定理可得CEF的度数， 即为CDE的度数； （4）当点E与点B重合时，设点F落在点P的位置，如图 5，根据题意和
43、（2）的结论可得 1 2 FNPN， 于是可得 1 tan 2 FN P PN ，进而可得F点的运动轨迹是射线PQ，于是过点C作CMPQ于点M，如图 6， 则CM的长即为CF的最小值，然后利用解直角三角形的知识求解即可 【详解】 解： （1）过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，如图 1，则DCEENF90， EG绕E顺时针旋转 90得EF， DEC+NEF90，NEF+EFN90， DECEFN， RtFNERtECD， FNEF CEDE ， 当E为BC中点时，CE=3， DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转 90得EF， 1 2 EFDE， 1 32 FN ， 3 2 FN ； 即点F到直
44、线BC的距离是 3 2 ； （2）若A、C、F三点在一条直线上，过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，如图 2， 由（1）的证明可知：RtFNERtECD， DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转 90得EF， 两三角形相似比为 1：2，即 1 = 2 FNEFNE CEDECD ， CE2NF，NE=3 AC平分正方形直角，FNAB， NFCFAB=45， CNF是等腰直角三角形， CNNF， CE 2 3 NE 2 3=2 3 ； （3）若点F在直线CD上方，如图 3，作FNBC交BC延长线于点N， DCN=90，120DCF， NCF=30， CF=2FN， 由（2）得：CE2NF， CFC
45、E， 1 3015 2 CEF ， 15CDE； 若点F在直线CD下方，如图 4，作FNBC交射线CB于点N， 同可得CFCE，NCF=30， 1 1803075 2 CEF ， 75CDE； CDE的度数为 15或 75； （4）当点E与点C重合时，设点F落在点P的位置，如图 5，此时B、C、P三点共线， 1 3 2 CPCD， 由（2）得：RtFNERtECD，且两三角形相似比为 1：2， NE 1 2 CD3， 1 2 FNCE， CP=NE，PN=CE， 1 2 FNPN，即 1 tan 2 FN P PN ， F点的运动轨迹是射线PQ， 过点C作CMPQ于点M，如图 6，则CM的长即为CF的最小值； 1 tan 2 FN P PN ， 5 sin 5 P， 3 5 sin 5 CMCPP 即CF的最小值是 3 5 5 故答案为： 3 5 5
