1、专题六圆的综合题类型一 动点引起的圆的变化问题 (2018河北)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在点O的右下方，且tanAOB，在优弧上任取一点P，且能过P作直线lOB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧上一段的长为13，求AOP的度数及x的值；(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值【分析】(1)由弧长公式可得AOP90，从而在RtPOQ中利用锐角三角函数确定OQ的长，即可得到x；(2)确定x的最小值即点Q在x轴负半轴，且距离点O最远，从而得到当PQ与相切时x
2、最小，即可得解；(3)过点P作数轴的垂线，然后再用勾股定理求OQ的长，注意分三种情况讨论【自主解答】1(2019保定一模)如图，OA4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作，使得AOB152，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P与P关于直线OA对称，连接CP.尝试(1)点P在所在的圆 (填“内”“上”或“外”)；(2)AB 发现(1)PD的最大值为 ；(2)当的长为2，OCP28时，判断CP与所在圆的位置关系探究：当点P与AB的距离最大时，求AP的长(注：sin 76cos 14)2(2020原创)如图，正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PEPC
3、交AD于E，在PC上取点F，使得PFPE，过点P，E，F作O.设APx，AEy.(1)当x2时，求的长；(2)当x0时，判断点A与O的位置关系，并说明理由；(3)当点P从点A运动到点B时，求点O经过的路径长；求y关于x的函数关系式，并写出y的最大值3(2019石家庄裕华区二模)如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧，连接OE，OF，且OE3，EOF120，在上任意取点A，B(点B在点A的顺时针方向)且使AB2，以AB为边向内作正ABC.(1)发现：不论点A在的什么位置，点C与点O的距离不变，OC ；点C到直线EF的最大距离为 ；(2)思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离；(3)探究：当
4、BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离4(2019宜昌改编)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，以EF为直径作O，过点F作O的切线，交DC于H.(1)填空：点A (填“在”或“不在”)O上，当，且F是AD的中点时，FEH ；(2)如图，当点E与点B重合，AB4，AD6，若O与CD相切，求AF的长；(4)如图，点M在线段FH的延长线上，若FMFE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AEAD时，FN4，HN3，求tanAEF的值5(2019河北)如图和图，ABCD中，AB3，BC15，tanDAB.点P为AB延长线上一点，过点A作O切CP于点P，设BPx.(1)如图，
5、x为何值时，圆心O落在AP上？若此时O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；(2)当x4时，如图，O与AC交于点Q，求CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；(3)当O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围类型二 线段旋转引起的圆的变化问题 (2020原创)如图，点O在线段AB上(不与A，B重合)，将线段OA绕点O顺时针旋转180，得到半圆O，过点B作半圆O的切线BP，直线CD垂直平分BP于C，交AB于D，已知AB6，OAr.(1)当点D恰好在半圆O上时，求的长；(2)设半圆O与射线OB相交于G，当DG1.2时，求r的值；(3)如图，延长DC到E，使得DEDB，过点
6、O作OFDE于F，猜想EF的长是否随r的变化而变化，若不变，求EF的长；若变化，写出EF与r的关系【分析】(1)由点D在半圆O上确定半圆的半径，再由CD垂直平分BP得到OB2OP，得到BOP，从而得到AOP，即可求出的长；(2)由半圆O与射线OB相交于G，且DG1.2，分点G在点D的左侧和点G在点D的右侧两种情况讨论，求出对应的OD的长，即可根据AB的长求出半径r；(3)通过证明四边形OFCP是矩形，再表示出DF和DE的长，从而求出EF的长，即可得出结果【自主解答】1(2020原创)如图，ABC中，ABAC6，点O是AB上一动点，以O为圆心，OB为半径向ABC内作半圆O，交射线BA于点D，交B
7、C于点E，过点E作EFAC于点F.(1)判断直线EF与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)当A30，半圆O与AC相切于G时，求扇形BOG的面积；(3)当A90时，如图，连接OF，当AOF的外心在半圆O内部(包括边界)时，求OB的取值范围2.(2020原创)如图，已知ABC60，AB6，BC10，以AB为直径的半圆O交BC于点D，保持半圆O的位置不变，将射线CB绕点C顺时针旋转，所得射线与交于点E，与线段AB交于点F，连接DE.当点F与点A重合时，停止旋转(1)直接写出CD的长；(2)当DEAB时，求的长；(3)如图，过点D作半圆O的切线DG交CF于点G，当OF1时，求DG的长类型三 动圆问题
8、(2015河北)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ60，OQOD3，OP2，OAAB1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(060)发现(1)当0，即初始位置时，点P 直线AB上(填“在”或“不在”)求当是多少时，OQ经过点B；(2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小，并指出这个最小值；(3)如图，当点P恰好落在BC边上时，求及S阴影拓展如图，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BMx(x0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究
9、当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin 的值【分析】发现(1)由已知O60，OAB90，及AO和OP的长，从而只需借助60角的锐角三角函数由OA的长计算对应的线段长，和OP进行比较即可；要求OQ经过点B时旋转角的度数，可先将点B放在直线OQ上，从而可求此时AOB的度数，再根据60AOB计算即可；(2)要确定PA的最小值，可由隐形圆知点P在以O为圆心，OP为半径的圆上，从而问题转化为圆内一点到圆上点距离的最小值，即点A在半径OP上即可；(3)由点P落在BC上，可过点P作OD的垂线，利用锐角三角函数求旋转角，设半圆K与BC的另一个交点为R，可连接KR后将阴影部分分割为PKR和扇形RKQ求解拓展
10、用BM表示BN，可利用相似三角形转化为比例关系求解探究确定半圆K与矩形ABCD的边相切，可分与BC边相切、与CD边相切、与AD边相切三种情况分别讨论【自主解答】1(2020原创)如图，在RtABC中，ABAC10，点D是AB的中点，以A为圆心，AD长为半径在ABC内画扇形DAE，点E在AC上发现若点P是上一点，点Q是BC上一点(1) PQ的最小值为 ；(2)当点Q为BC的中点时，是否存在点P，使得PQ与相切？若存在，求BP的长；若不存在，说明理由；探究保持ABC固定不动，将扇形AED绕点A逆时针旋转(0EN2NO2，AOOE，即点A在O外 (3)由(2)知点O在DAB的平分线上，连接AC，则点
11、O在AC上当点P运动到点B时，点E与点A重合，点O为AC的中点，点P从点A运动到点B的过程中，点O从点A运动到AC的中点处正方形ABCD的边长为4，AC4，则点O运动的路径长为2.由(1)知PEACPB，APx，则BP4x，y(4x)x2x(x2)21，当x2时，y的最大值为1.综上可知，y关于x的函数关系式为yx2x，y的最大值为1.3解：(1)2；2.(2)如解图，当点B在直线OE上时，由OAOB，CACB可知，点O，C都在线段AB的垂直平分线上，过点C作AB的垂线，垂足为G，则AGBG，且点O在直线CG上过点C作CMBE于M，COMBOG，CMOBGO90，OCMOBG，即，CM.(3)
12、或.4解：(1)在；45.第4题解图(2)如解图，设O与CD相切于G，连接GO并延长交AB于K，BF是O的直径，OBOF，CD与O相切于G，OGCD，OGBO，四边形ABCD是矩形，OGAD，OK是BAF的中位线，设AF2x，则OKx，OGBO6x，在RtBOK中，BK2，OKx，BO6x，由勾股定理得BO2BK2OK2，则(6x)222x2，解得x，AF.第4题解图(3)如解图，过点M作MQAD于点Q，设AFm，AEn，FMFE，EFFH，AFEQFM90，A90，AEFAFE90，AEFQFM，又EAFFQM，AEFQFM，AEFQn，AFQM，AEAD，AFDQQMm，DCQM，过点M，
13、E作CD的垂线，垂足分别为S，R，则MSNERN，FEFM，FEMFMN45，FENHMN，tanAEF.5解：(1)AP经过圆心O，CP与O相切于P，APC90，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，PBCDAB，tanPBCtanDAB.设CP4k，BP3k，由CP2BP2BC2，得(4k)2(3k)2152，解得k13(舍去)，k23，xBP339，故当x9时，圆心O落在AP上；AP是O的直径，AEP90，PEAD，四边形ABCD是平行四边形，BCAD，PEBC.第5题解图(2)如解图，过点C作CGAP于G，由(1)易得CG4312，BG339，PGBGBP945，APABBP347，A
14、GABBG3912，tanCAP1，CAP45.连接OP，OQ，过点O作OHAP于H，则POQ2CAP90，PHAP，在RtCPG中，CP13，CP是O的切线，OPCOHP90，OPHCPGPCGCPG90，OPHPCG，OPHPCG，OP，劣弧的长度为，27，弦AP的长度劣弧的长度(3)O与线段AD只有一个公共点，则圆心O位于直线AB下方，且OAD90，当OAD90，CPBDAB时，BP取得最小值CPBDABCBP，CPBC，易得BP18，x18.【例2】 解：(1)点D在半圆O上，OAOD，BP是O的切线，OPBP.CD垂直平分BP，CDOP，且ODBD，OB2OP，sin B，B30，则
15、BOP60，AOP120.OAODDB，AB6，OA2，的长为.(2)当点G在线段AD上时，如解图，根据题意得ODr1.2，OB2OD2r2.4，又OBABAO6r，2r2.46r，解得r1.2.当点G在线段BD上时，如解图，DOr1.2，OB2ODABOA，6r2(r1.2)，解得r2.8.(3)EF为定值3.OPBP，EFBP，OFEF，四边形OPCF是矩形，CFOPr，DFCFCDr，DEBDBO(6r)3，EFDEDF33，EF是定值跟踪训练1解：(1)EF与半圆O相切理由：如解图，连接OE，OBOE，OEBOBE，ABAC，ABCACB，OEBACB，OEAC，EFAC于点F，OEE
16、F，EF与半圆O相切(2)如解图，连接OG，半圆O与AC相切于G，OGAC，A30，AOG60，AO2OG，AO2OB，BOG120，AB6，OB2，S扇形BOG.(3)设OF的中点为I，BAC90，点I是AOF的外心，当点I在半圆O上时，如解图所示，连接OE，EI，AI，点I是OF的中点，OEEF，OIIEIF，OIOE，OEOIIE，OEI是等边三角形，IOE60，OEBOBE45，BOE90，AOF30，AOOFOB，BOOBAB6，解得OB33，点O在AB上运动，当点O与点A重合时，BO6，即当AOF的外心I在半圆O内部(含边界)时，OB的取值范围是33BO6.第1题解图2解：(1)7
17、.(2)如解图，连接OE，OD，ABC60，OBOD，OBD是等边三角形，BOD60，DEAB，ODE60，ODOE，ODE是等边三角形，EOD60，EODBOD120，在扇形BOE中，的长为2.第2题解图(3)当点F在线段OA上时，如解图所示，DG是半圆O的切线，ODDG，易得ODB60，GDC30，延长DB到点M，使得BMBF，连接FM，则MMFB，ABD60，M30，MGDC，CC，CDGCMF，BO3，OF1，BMBF4，MF4.CMBCBM14.，解得DG2.当点F在线段OB上时，如解图所示，延长DB到点M，使BMBF，连接MF，可知BMBF2，MF2，CMBCBM12，解得DG.第
18、2题解图第2题解图【例3】 解：发现(1)点P在直线AB上当OQ过点B时，在RtOAB中，AOAB，DOQABO45，604515.(2)OP2，点P在以O为圆心，OP为半径的圆上，当点A在OP上时即60时，AP最小，最小值为OPOA1.例3题解图(3)如解图，设半圆K与BC的另一个交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PHAB1，OP2，POH30，603030.ADBC，RPQPOH30，RKQ2RPK60，S扇形RKQ.在RtRKE中，RERKsin 60，SPRKREKP，S阴影.拓展OANMBN90，ANOBNM，AONBMN，例3题解图
19、，即，BN，如解图，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQAFAO21，x的取值范围是0x21.探究半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：例3题解图如解图，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O.则KSOKTB90，作KGOO于点G，在RtOSK中，OS2，在RtOSO中，SOOStan 602，KO2，在RtKGO中，O30，KGKO，在RtOGK中，sin .当半圆K与AD相切于T时，如解图，,例3题解图)同理可得sin .当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且为切点，60，sin sin 60.综上所述，sin 的值为或或
20、.跟踪训练1.第1题解图解：发现(1)如解图，过点A作AQBC于Q，交于P，则此时PQ最小，最小值为BCAB55.(2)点Q是BC的中点，点E，D分别是AC，AB的中点，QEAB，QEAD，QDAC，QDAE，QE，QD与相切，即点P的位置为D或E.当点P为D时，BPBD5；当点P为E时，BPBE5.第1题解图探究(1)CEBD.理由：EADCAB90，EACDAB，AEAD，ACAB，AECADB，CEBD.(2)AECADB，ECADBA，ACBABC90，ECBEBC90，在RtCEB中，设CEx，则BDx，由勾股定理得x2(x5)2(10)2，解得x(负值已舍)，即当B，D，E在一条直
21、线上时，CE的长为.2解：(1)在ACD中，AC4，CD2，AD2，CD2AD2AC2，ADC是直角三角形，且D90，DCA60，CDAB，CABDCA60，ACAB4，ABC是等边三角形，CBA60，如解图，连接PE，PEPB，CBA60，PBE是等边三角形，EPB60，EPM120，的长为.(2)AFAE，且AF的长为.理由如下：图图第2题解图如解图，当M在AC上时，此时AB与AC重合，圆心P在AC上，连接PF，则PCPF1，DCP60，CFP是等边三角形CFPC1，即CFBE，ACAB，FCAEBA，FCAEBA，AFAE，CD2，CF1，DF1.在RtADF中，由勾股定理得AF.AF的
22、长为；(3)当060时，半圆P始终与BC所在直线相交，半圆P与直线BC不能相切；当半圆P与边CD所在直线相切时，如解图所示，设切点为N，连接NP并延长交AB于点H，则PNDC于点N，NP1，PHNHNPADNP21，AP3，sin ；图图第2题解图当半圆P与边AD所在直线相切时，如解图所示，设切点为N，AB交DC于点K，连接NP，PNAD，D90，ABCD，ABAD，PNAB，NPAPAB，在RtAPN中，AP3，PN1，由勾股定理得AN2，sin sinNPA.综上所述，在旋转过程中，当半圆P与边CD所在直线相切时，sin ；当半圆P与边AD所在直线相切时，sin .【例4】 例4题解图解：
23、(1)过点O作OHAB，垂足为H，连接OB，如解图所示OHAB，AB2，AHBH.OB2，OH1，点O到弦AB的距离为1.例4题解图当BP经过点O时，作OHAB于点H，如解图所示OH1，OB2，OHAB，sinOBH，OBH30.由折叠可得ABPABP30.ABA60.例4题解图(2)连接OB，过点O作OGBP，垂足为G，OHAB，垂足为H，如解图所示BA与O相切，OBAB，OBA90.OBH30，ABA120.ABPABP60，OBP30.OGOB1，BG.OGBP，BP2BG2.即折痕BP的长为2.(3)若线段BA与优弧只有一个公共点B，.由(1)可知，BP经过点O时，点A在优弧上，此时3
24、0，则当点A在O内部时，的取值范围是030.当3060时，线段AB与优弧有两个交点.由(2)知60时，线段AB与优弧相切于点B，即线段BA与只有一个公共点B.当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合OBP90，OBAOBP120，当60120时，线段BA与只有一个公共点B.综上所述，线段BA与优弧只有一个公共点B时，的取值范围是030或60120.跟踪训练1解：(1)在RtAPB中，AP2，AB4，BP2.由折叠性质可知，PBPB2，PO，如解图，过O作OHPD于H，连接OD，则易得PH1，OH2，HD5，在RtODH中，由勾股定理得OD，上一点到点D的最小距离为.第1题解图(2)当点
25、B与点C重合时，BGBGBC4AB，四边形ABGP是正方形由折叠性质可知，点E与点D重合，且点E是的中点，在正方形ABGP中，AB4，则BP4，的长为4.(3)当点P与点A重合时，此时与直线AD，BC相切，BO2.当圆O与AB相切时，如解图所示，第1题解图设切点为H，连接OH，则OHPO，AHBH，OHAP，OOBBBGAP，OHOOOHAPBO，BP3AP，在RtABP中，由勾股定理得AB2AP2BP2，即42AP2(3AP)2，解得AP(负值已舍去)，BO.当圆O与CD相切时，设切点为K，如解图所示，连接KO，并延长交AB于M，第1题解图易得OKBO，OMMKOKADOK8BOAP，BP1
26、63AP，在RtABP中，由勾股定理得AB2AP2BP2，即42AP2(163AP)2，解得AP6或AP6，2APAD，即2AP8，AP6.此时BO1.综上，当所在圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，BO的长为2或或1.2解：(1)200.(2)相离理由：如解图，连接CE，过点B作BGCE于G，在矩形BCDE中，BC3，BE4，CE5.SBCEBCBECEBG，BG2，CE与扇形ABF所在圆相离(3)当折叠后DE所在直线与扇形ABF所在圆B相切时，设切点为Q，如解图，当点Q在BE的左侧时，连接BQ，则BQE90，BQ2，BE4，sinQEB，QEB30，四边形EBCD是矩形，DEB90，QED120，由折叠性质得QEPPED60，EPB60，BE4，PB，CP3；如解图，当点Q在BE的右侧时，同理可得QEB30，DEQ60，DEP30，则EPB30，BP4，此时PCBPBC43.图图图
