1、第1讲 变化率与导数、导数的计算基础达标1函数yx2cos x在x1处的导数是()A0B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1D1解析:选B.因为y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x,所以y|x12cos 1sin 1.2(2019衢州高三月考)已知t为实数,f(x)(x24)(xt)且f(1)0,则t等于()A0B1CD2解析:选C.依题意得,f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4,所以f(1)32t40,即t.3(2019温州模拟)已知函数f(x)x22x的图象在点A(x1,f(x1)与点B(x2,f(x2)(x1x20)处的切线
2、互相垂直,则x2x1的最小值为()AB1CD2解析:选B.因为x1x20,f(x)x22x,所以f(x)2x2,所以函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f(x1),f(x2),因为函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,所以f(x1)f(x2)1.所以(2x12)(2x22)1,所以2x120,2x220,所以x2x1(2x12)(2x22)1,当且仅当(2x12)2x221,即x1,x2时等号成立所以x2x1的最小值为1.故选B.4已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6,则f(2 018)()A6B8C6D8解析:选D.因为f(x)4ax3bsin x7.所以
3、f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6,所以f(2 018)1468,故选D.5. 如图,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),其中g(x)是g(x)的导函数,则g(3)()A1B0C2D4解析:选B.由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于,即f(3).又因为g(x)xf(x),所以g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)3f(3),由图可知f(3)1,所以g(3)130.6若点P是曲线yx2ln x上任意一点,则点P到直线yx2距离的最小值为()A1BCD解析
4、:选B.因为定义域为(0,),令y2x1,解得x1,则在P(1,1)处的切线方程为xy0,所以两平行线间的距离为d.7已知f(x),g(x)(1sin x)2,若F(x)f(x)g(x),则F(x)的导函数为_解析:因为f(x)g(x)2(1sin x)(1sin x)2cos xsin 2x,所以F(x)f(x)g(x)2cos xsin 2x.答案:2cos xsin 2x8(2019绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为_解析:设切点为(m,n)(m0),yx23ln x的导数为yx,可得切线的斜率为m,解方程可得,m2.答案:29(2019浙
5、江金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R,f(2)2 018,若对任意的xR,都有f(x)2x成立,则不等式f(x)x22 014的解集为_解析:构造函数g(x)f(x)x22 014,则g(x)f(x)2x0,所以函数g(x)在定义域上为减函数,且g(2)f(2)222 0142 01842 0140,由f(x)x22 014有f(x)x22 0140,即g(x)0g(2),所以x2,不等式f(x)x22 014的解集为(2,)答案:(2,)10如图,已知yf(x)是可导函数,直线l是曲线yf(x)在x4处的切线,令g(x),则g(4)_解析:g(x).由已知图象可知,直线l经过点P(0
6、,3)和Q(4,5),故k1.由导数的几何意义可得f(4),因为Q(4,5)在曲线yf(x)上,故f(4)5.故g(4).答案:11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程解:(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6),即y13x32.(2)因为切线与直线yx3垂直,所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)3x14,所以x01.所以
7、或即切点坐标为(1,14)或(1,18),切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12已知函数f(x)ax(x0)在x2处的切线方程为3x4y40.(1)求a,b的值;(2)求证:曲线上任一点P处的切线l与直线l1:yx,直线l2:x0围成的三角形的面积为定值解:(1)由f(x)ax,得f(x)a(x0)由题意得即解得a1,b1.(2)证明:由(1)知f(x)x,设曲线的切点为P,f(x0)1,曲线在P处的切线方程为y(xx0)即yx.当x0时,y.即切线l与l2:x0的交点坐标为A.由得即l与l1:yx的交点坐标为B(2x0,2x0)又l1与l2的交点为O(0
8、,0),则所求的三角形的面积为S|2x0|2.即切线l与l1,l2围成的三角形的面积为定值能力提升1若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是()AB,)C(0,)D0,)解析:选D.f(x)2ax(x0),根据题意有f(x)0(x0)恒成立,所以2ax210(x0)恒成立,即2a(x0)恒成立,所以a0,故实数a的取值范围为0,)故选D.2(2019金华十校联考)已知函数yx2的图象在点(x0,x)处的切线为l,若l也与函数yln x,x(0,1)的图象相切,则x0必满足()A0x0Bx01Cx0Dx0解析:选D.令f(x)x2,f(x)2x,f(
9、x0)x,所以直线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx,因为l也与函数yln x(x(0,1)的图象相切,令切点坐标为(x1,ln x1),y,所以l的方程为yxln x11,这样有所以1ln(2x0)x,x0(1,),令g(x)x2ln(2x)1,x(1,),所以该函数的零点就是x0,又因为g(x)2x,所以g(x)在(1,)上单调递增,又g(1)ln 20,g()1ln 20,g()2ln 20,从而x0,选D.3(2019浙江省宁波四中高三月考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f (x)(f(x).
10、若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x;f(x)ln x2x;f(x)x32x1;f(x)xex.解析:中,f(x)cos xsin x,f(x)sin xcos xsin0在区间上恒成立;中,f(x)2(x0),f(x)0在区间上恒成立;中,f(x)3x22,f(x)6x在区间上恒小于0.中,f(x)exxex,f(x)2exxexex(x2)0在区间上恒成立,故中函数不是凸函数故为凸函数答案:4(2019浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)aexx2,g(x)cos xbx,直线l与曲
11、线yf(x)切于点(0,f(0),且与曲线yg(x)切于点(1,g(1),则ab_,直线l的方程为_解析:f(x)aex2x,g(x)sin xb,f(0)a,g(1)cos bb1,f(0)a,g(1)b,由题意可得f(0)g(1),则ab,又f(0)a,即ab1,则ab2;所以直线l的方程为xy10.答案:2xy105设有抛物线C:yx2x4,过原点O作C的切线ykx,使切点P在第一象限(1)求k的值;(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解:(1)由题意得,y2x.设点P的坐标为(x1,y1),则y1kx1,y1xx14,2x1k,联立得,x12,x22(舍去)所以k
12、.(2)过P点作切线的垂线,其方程为y2x5.将代入抛物线方程得,x2x90.设Q点的坐标为(x2,y2),则2x29,所以x2,y24.所以Q点的坐标为.6(2019绍兴一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12和直线m:ykx9,且f(1)0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是曲线yg(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由解:(1)由已知得f(x)3ax26x6a,因为f(1)0,所以3a66a0,所以a2.(2)存在由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线yg(x)的切线,则设切点为(x0,
13、3x6x012)因为g(x0)6x06,所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0),将(0,9)代入切线方程,解得x01.当x01时,切线方程为y9;当x01时,切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11,由f(x)0得6x26x120,解得x1或x2.在x1处,yf(x)的切线方程为y18;在x2处,yf(x)的切线方程为y9,所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212,解得x0或x1.在x0处,yf(x)的切线方程为y12x11;在x1处,yf(x)的切线方程为y12x10,所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述,yf(x)与yg(x)的公切线是y9,此时k0.8