1、第1讲 变化率与导数、导数的计算基础达标1函数yx2cos x在x1处的导数是()A0B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1D1解析：选B.因为y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，所以y|x12cos 1sin 1.2(2019衢州高三月考)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0B1CD2解析：选C.依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.3(2019温州模拟)已知函数f(x)x22x的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)(x1x20)处的切线
2、互相垂直，则x2x1的最小值为()AB1CD2解析：选B.因为x1x20，f(x)x22x，所以f(x)2x2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f(x1)，f(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f(x1)f(x2)1.所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，所以x2x1(2x12)(2x22)1，当且仅当(2x12)2x221，即x1，x2时等号成立所以x2x1的最小值为1.故选B.4已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6，则f(2 018)()A6B8C6D8解析：选D.因为f(x)4ax3bsin x7.所以
3、f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6，所以f(2 018)1468，故选D.5. 如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1B0C2D4解析：选B.由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)130.6若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为()A1BCD解析
4、：选B.因为定义域为(0，)，令y2x1，解得x1，则在P(1，1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间的距离为d.7已知f(x)，g(x)(1sin x)2，若F(x)f(x)g(x)，则F(x)的导函数为_解析：因为f(x)g(x)2(1sin x)(1sin x)2cos xsin 2x，所以F(x)f(x)g(x)2cos xsin 2x.答案：2cos xsin 2x8(2019绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_解析：设切点为(m，n)(m0)，yx23ln x的导数为yx，可得切线的斜率为m，解方程可得，m2.答案：29(2019浙
5、江金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(2)2 018，若对任意的xR，都有f(x)2x成立，则不等式f(x)x22 014的解集为_解析：构造函数g(x)f(x)x22 014，则g(x)f(x)2x0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(2)f(2)222 0142 01842 0140，由f(x)x22 014有f(x)x22 0140，即g(x)0g(2)，所以x2，不等式f(x)x22 014的解集为(2，)答案：(2，)10如图，已知yf(x)是可导函数，直线l是曲线yf(x)在x4处的切线，令g(x)，则g(4)_解析：g(x).由已知图象可知，直线l经过点P(0
6、，3)和Q(4，5)，故k1.由导数的几何意义可得f(4)，因为Q(4，5)在曲线yf(x)上，故f(4)5.故g(4).答案：11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以
7、或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12已知函数f(x)ax(x0)在x2处的切线方程为3x4y40.(1)求a，b的值；(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：yx，直线l2：x0围成的三角形的面积为定值解：(1)由f(x)ax，得f(x)a(x0)由题意得即解得a1，b1.(2)证明：由(1)知f(x)x，设曲线的切点为P，f(x0)1，曲线在P处的切线方程为y(xx0)即yx.当x0时，y.即切线l与l2：x0的交点坐标为A.由得即l与l1：yx的交点坐标为B(2x0，2x0)又l1与l2的交点为O(0
8、，0)，则所求的三角形的面积为S|2x0|2.即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值能力提升1若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()AB，)C(0，)D0，)解析：选D.f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)故选D.2(2019金华十校联考)已知函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数yln x，x(0，1)的图象相切，则x0必满足()A0x0Bx01Cx0Dx0解析：选D.令f(x)x2，f(x)2x，f(
9、x0)x，所以直线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx，因为l也与函数yln x(x(0，1)的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y，所以l的方程为yxln x11，这样有所以1ln(2x0)x，x0(1，)，令g(x)x2ln(2x)1，x(1，)，所以该函数的零点就是x0，又因为g(x)2x，所以g(x)在(1，)上单调递增，又g(1)ln 20，g()1ln 20，g()2ln 20，从而x0，选D.3(2019浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f(x).
10、若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0在区间上恒成立；中，f(x)2(x0)，f(x)0在区间上恒成立；中，f(x)3x22，f(x)6x在区间上恒小于0.中，f(x)exxex，f(x)2exxexex(x2)0在区间上恒成立，故中函数不是凸函数故为凸函数答案：4(2019浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)aexx2，g(x)cos xbx，直线l与曲
11、线yf(x)切于点(0，f(0)，且与曲线yg(x)切于点(1，g(1)，则ab_，直线l的方程为_解析：f(x)aex2x，g(x)sin xb，f(0)a，g(1)cos bb1，f(0)a，g(1)b，由题意可得f(0)g(1)，则ab，又f(0)a，即ab1，则ab2；所以直线l的方程为xy10.答案：2xy105设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)由题意得，y2x.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，2x1k，联立得，x12，x22(舍去)所以k
12、.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得，x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x29，所以x2，y24.所以Q点的坐标为.6(2019绍兴一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，
13、3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.8