1、第3讲 函数的奇偶性、对称性基础达标1(2019舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数,又在(0,)上单调递增的是()Ayx2Byx3Cylog2xDy3x解析:选B.A.函数yx2为偶函数,不满足条件B函数yx3为奇函数,在(0,)上单调递增,满足条件Cylog2x的定义域为(0,),为非奇非偶函数,不满足条件D函数y3x为非奇非偶函数,不满足条件2(2019衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)x3ln(1x),则当x0时,f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)解析:选C.当x0,f(x)(x)3ln(1x),
2、因为f(x)是R上的奇函数,所以当x0时,f(x)f(x)(x)3ln(1x),所以f(x)x3ln(1x)3若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数,则一定有()Ab0Bac0Ca0且c0Da0,c0且b0解析:选C.设函数g(x)exex.g(x)exexg(x),所以g(x)是奇函数因为f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数所以h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立,有ax2c0恒成立所以ac0.当acb0时,f(x)0,也是偶函数,故选C.4设f(x)是定义在实数集上的函数,且f(2x)f(x),若当x1时,f(x)ln x,则有()Aff(2)fBff(2)f
3、Cfff(2)Df(2)ff解析:选C.由f(2x)f(x)可知函数f(x)的图象关于x1对称,所以ff,ff,又当x1时,f(x)ln x单调递增,所以fff(2),即ff0时,不等式0等价于3f(x)2f(x)0,又f(x)是奇函数,所以有f(x)0,所以有0x2,同理当x0时,可解得2x0)的最大值为M,最小值为N,且MN4,则实数t的值为_解析:因为f(x)ttg(x),其中g(x)是奇函数,MNtg(x)tg(x)2t4t2.答案:29(2019杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1x)f(1x);在1,)上为增函数,若x时,f(ax)f(x1)成立,则实数
4、a的取值范围为_解析:根据题意,可知函数f(x)的图象关于直线x1对称,因为其在1,)上为增函数,则在(,1)上是减函数,并且自变量离1越近,则函数值越小,由f(ax)f(x1)可得,|ax1|x11|,化简得|ax1|x2|,因为x,所以|x2|2x,所以该不等式可以化为x2ax12x,即不等式组在x上恒成立,从而有,解得0a2x成立,求实数k的取值范围解:(1)因为f(x)2xk2x是奇函数,所以f(x)f(x),kR,即2xk2x(2xk2x),所以(k1)(122x)0对一切kR恒成立,所以k1.(2)因为x0,),均有f(x)2x,即2xk2x2x对x0,)恒成立,所以1k22x对x
5、0,)恒成立,所以1k(22x)min,因为y22x在0,)上单调递增,所以(22x)min1.所以1k0.所以实数k的取值范围为(0,)12(2019绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)(x1)21,求满足ff(a)的实数a的个数解:令f(a)x,则ff(a)变形为f(x);当x0时,f(x)(x1)21,解得x11,x21;因为f(x)为偶函数,所以当x0时,f(x)的解为x31,x41;综上所述,f(a)1,1,1,1;当a0时,f(a)(a1)211,方程无解;f(a)(a1)211,方程有2解;f(a)(a1)211,方程有1解;f(a)(a1)211,方程有1
6、解;故当a0时,方程f(a)x有4解,由偶函数的性质,易得当ag(0)g(1)答案:f(1)g(0)g(1)5(2019杭州学军中学高三质检)已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数,又是减函数(1)求证:对任意x1,x21,1,有f(x1)f(x2)(x1x2)0;(2)若f(1a)f(1a2)0,求实数a的取值范围解:(1)证明:若x1x20,显然不等式成立若x1x20,则1x1x21,因为f(x)在1,1上是减函数且为奇函数,所以f(x1)f(x2)f(x2),所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20,则1x1x21,同理可证f(x1)f(x
7、2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证,对任意x1,x21,1,有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1),所以由f(x)在定义域1,1上是减函数,得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1)6(2019宁波市余姚中学高三模拟)设常数aR,函数f(x)(ax)|x|.(1)若a1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)是奇函数,且关于x的不等式mx2mff(x)对所有的x2,2恒成立,求实数m的取值范围解:(1)当a1时,f(x)(1x)|x|,当x0时,f(x)(1x)x(x)2,所以f(x)在0,内是增函数,在(,)内是减函数;当xff(x)x3|x|,即m对所有的x2,2恒成立因为x2,2,所以x211,5所以x212.所以m.所以实数m的取值范围为(,)7