1、第3讲 函数的奇偶性、对称性基础达标1(2019舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数，又在(0，)上单调递增的是()Ayx2Byx3Cylog2xDy3x解析：选B.A.函数yx2为偶函数，不满足条件B函数yx3为奇函数，在(0，)上单调递增，满足条件Cylog2x的定义域为(0，)，为非奇非偶函数，不满足条件D函数y3x为非奇非偶函数，不满足条件2(2019衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)解析：选C.当x0，f(x)(x)3ln(1x)，
2、因为f(x)是R上的奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)，所以f(x)x3ln(1x)3若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数，则一定有()Ab0Bac0Ca0且c0Da0，c0且b0解析：选C.设函数g(x)exex.g(x)exexg(x)，所以g(x)是奇函数因为f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数所以h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立，有ax2c0恒成立所以ac0.当acb0时，f(x)0，也是偶函数，故选C.4设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2x)f(x)，若当x1时，f(x)ln x，则有()Aff(2)fBff(2)f
3、Cfff(2)Df(2)ff解析：选C.由f(2x)f(x)可知函数f(x)的图象关于x1对称，所以ff，ff，又当x1时，f(x)ln x单调递增，所以fff(2)，即ff0时，不等式0等价于3f(x)2f(x)0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)0，所以有0x2，同理当x0时，可解得2x0)的最大值为M，最小值为N，且MN4，则实数t的值为_解析：因为f(x)ttg(x)，其中g(x)是奇函数，MNtg(x)tg(x)2t4t2.答案：29(2019杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1x)f(1x)；在1，)上为增函数，若x时，f(ax)f(x1)成立，则实数
4、a的取值范围为_解析：根据题意，可知函数f(x)的图象关于直线x1对称，因为其在1，)上为增函数，则在(，1)上是减函数，并且自变量离1越近，则函数值越小，由f(ax)f(x1)可得，|ax1|x11|，化简得|ax1|x2|，因为x，所以|x2|2x，所以该不等式可以化为x2ax12x，即不等式组在x上恒成立，从而有，解得0a2x成立，求实数k的取值范围解：(1)因为f(x)2xk2x是奇函数，所以f(x)f(x)，kR，即2xk2x(2xk2x)，所以(k1)(122x)0对一切kR恒成立，所以k1.(2)因为x0，)，均有f(x)2x，即2xk2x2x对x0，)恒成立，所以1k22x对x
5、0，)恒成立，所以1k(22x)min，因为y22x在0，)上单调递增，所以(22x)min1.所以1k0.所以实数k的取值范围为(0，)12(2019绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)(x1)21，求满足ff(a)的实数a的个数解：令f(a)x，则ff(a)变形为f(x)；当x0时，f(x)(x1)21，解得x11，x21；因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)的解为x31，x41；综上所述，f(a)1，1，1，1；当a0时，f(a)(a1)211，方程无解；f(a)(a1)211，方程有2解；f(a)(a1)211，方程有1解；f(a)(a1)211，方程有1
6、解；故当a0时，方程f(a)x有4解，由偶函数的性质，易得当ag(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)5(2019杭州学军中学高三质检)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x
7、2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)6(2019宁波市余姚中学高三模拟)设常数aR，函数f(x)(ax)|x|.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2mff(x)对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当a1时，f(x)(1x)|x|，当x0时，f(x)(1x)x(x)2，所以f(x)在0，内是增函数，在(，)内是减函数；当xff(x)x3|x|，即m对所有的x2，2恒成立因为x2，2，所以x211，5所以x212.所以m.所以实数m的取值范围为(，)7