1、第4讲 二次函数与幂函数基础达标1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()AB1CD2解析：选C.因为函数f(x)kx是幂函数，所以k1，又函数f(x)的图象过点，所以，解得，则k.2若幂函数f(x)x(m，nN*，m，n互质)的图象如图所示，则()Am，n是奇数，且1Cm是偶数，n是奇数，且1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数，且1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；选C.3若函数f(x)x2bxc对任意的xR都有f(x1)f(3x)，则以下结论中正确的是()Af(0)f(2)f(5)Bf(2)f(5)f(0)Cf(2)f(0)f(5)Df(0)f(5)f
2、(2)解析：选A.若函数f(x)x2bxc对任意的xR都有f(x1)f(3x)，则f(x)x2bxc的图象的对称轴为x1且函数f(x)的图象的开口方向向上，则函数f(x)在(1，)上为增函数，所以f(2)f(4)f(5)，又f(0)f(2)，f(2)f(4)，所以f(0)f(2)f(5)4(2019瑞安四校联考)定义域为R的函数f(x)满足f(x1)2f(x)，且当x0，1时，f(x)x2x，则当x2，1时，f(x)的最小值为()ABCD0解析：选A.当x2，1时，x20，1，则f(x2)(x2)2(x2)x23x2，又f(x2)f(x1)12f(x1)4f(x)，所以当x2，1时，f(x)(
3、x23x2)，所以当x时，f(x)取得最小值，且最小值为，故选A.5若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为()A3，3B1，3C3，3D1，3，3解析：选C.因为函数f(x)x22x1(x1)2，对称轴x1，因为在区间a，a2上的最小值为4，所以当1a时，yminf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3，当a21时，即a1，yminf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3，当a1a2，即1a1时，yminf(1)04，故a的取值集合为3，36(2019温州高三月考)已知f(x)ax2bxc(a0)，g(x)f(f(x)，若g(x)的值域为2，)，f(x)的值域
4、为k，)，则实数k的最大值为()A0B1C2D4解析：选C.设tf(x)，由题意可得g(x)f(t)at2btc，tk，函数yat2btc，tk的图象为yf(x)的图象的部分，即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即2，)k，)，可得k2，即有k的最大值为2.故选C.7已知幂函数f(x)x，若f(a1)0)，易知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，所以解得所以3a5.答案：(3，5)8已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_解析：由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a
5、)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.答案：1或39(2019杭州四中第一次月考)已知函数f(x)x2ax1，若存在x0使|f(x0)|，|f(x01)|同时成立，则实数a的取值范围为_解析：由f(x)，考察g(x)x2h，当h0时，有，同时成立；当h时，有，|g(1)|同时成立所以h0，即0，解得a2或2a.答案：，22，10设函数f(x)x21，对任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_解析：依据题意，得14m2(x21)(x1)214(m21)在x上恒成立，即4m21在x上恒成立当x时，函数y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)
6、0，解得m或m.答案：11已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)ax3在1，3上不是单调函数，求实数a的取值范围解：(1)由题意m25m71，解得m2或m3，若m2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，所以m3，所以f(x)x2.(2)g(x)f(x)ax3x2ax3，g(x)的对称轴是x，若g(x)在1，3上不是单调函数，则13，解得2a4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，
7、即5ab，正确故选B.2(2019温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若任取xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为()ABCD解析：选B.因为当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2x2a2时，f(x)(xa22a2x3a2)a2；当x2a2时，f(x)(xa2x2a23a2)x3a2.综上，函数f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0时的解析式等价于f(x)因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使
8、xR，f(x1)f(x)，则需满足2a2(4a2)1，解得a.3已知函数f(x)|x2axb|在区间0，c内的最大值为M(a，bR，c0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则abc_解析：函数yx2axb是二次函数，所以函数f(x)|x2axb|在区间0，c内的最大值M在端点处或x处取得若在x0处取得，则b2，若在x处取得，则|b|2，若在xc处取得，则|c2acb|2.若b2，则|b|2，|c2acb|2，解得a0，c0，符合要求，若b2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立可得abc2.故答案为2.答案：24(2019宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)x23x4，若f(x)的定
9、义域和值域都是a，b，则ab_解析：因为f(x)x23x4(x2)21，所以x2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：当b2时，函数在区间a，b上递减，又因为值域也是a，b，所以得方程组，即，两式相减得(ab)(ab)3(ab)ba，又因为ab，所以ab，由a23a4a，得3a28a0，所以a，所以b，故舍去当a2b时，得f(2)1a，又因为f(1)1时，yg(x)在区间1，1上是单调函数，则Mmaxg(1)，g(1)，而g(1)|12bc|，g(1)|12bc|，则2Mg(1)g(1)|f(1)f(1)|4|b|4，可知M2.()当|b|1时，函数yg(x)的对称轴xb位于区间1，1之内，此时Mmaxg(1)，g(1)，g(b)，又g(b)|b2c|，当1b0时，有f(1)f(1)f(b)，则Mmaxg(b)，g(1)(g(b)g(1)|f(b)f(1)|(b1)2；当0.综上可知，对任意的b、c都有M.而当b0，c时，g(x)在区间1，1上的最大值M，故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为.8
