1、2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数一、选择题1.（2019年四川省广安市）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x1，下列结论：abc0bc3a+c0当y0时，1x3，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象的性质、二次函数yax2+bx+c系数符号的确定【解答】解：对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab0抛物线与y轴交于正半轴，则c0abc0故正确；抛物线开口向下，a0抛物线的对称轴为直线x1，b2ax1时，y0，ab+c0，而b2a，c3a，bc2a+3aa0，即bc，故正确；x1时，y0，ab+c0，而
2、b2a，c3a，3a+c0故正确；由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）当y0时，1x3故正确综上所述，正确的结论有4个故选：D2. (2019年天津市)二次函数是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：且当x=时，与其对应的函数值，有下列结论：； - 2和3是关于x的方程的两个根；。其中，正确结论的个数是（ ）A.0 B.1 C. 2 D.3【考点】二次函数的性质【解答】由表格可知，二次函数过点（0，-2），（1，-2），对称轴为，c= - 2,由图可知，所以正确；对称轴，当时，；二次函数过点（-1，m），（2，n），m=n，当时，m=a-b+c=a+a-2=
3、2a-2，m+n=4a-4，错误.故选C.3. （2019年山东省德州市）若函数y=kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx+b的大致图象为（）A. B. C. D. 【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k0，根据二次函数的图象确知a0，b0，函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C4. （2019年山东省济宁市）将抛物线yx26x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）Ay（x4）26By（x1）23Cy（x2）22Dy（x4）22【考点】了二次函数图象的平移
4、【解答】解：yx26x+5（x3）24，即抛物线的顶点坐标为（3，4），把点（3，4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，2），所以平移后得到的抛物线解析式为y（x4）22故选：D5. （2019年山东省青岛市）已知反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：当x0时，yax22x0，即抛物线yax22x经过原点，故A错误；反比例函数y的图象在第一、三象限，ab0，即a、b同号，当a0时，抛物线yax22x的对称轴x0，对称轴在
5、y轴左边，故D错误；当a0时，b0，直线ybx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确故选：C6. （2019年四川省资阳市）如图是函数yx22x3（0x4）的图象，直线lx轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）Am1Bm0C0m1Dm1或m0【考点】二次函数性质【解答】解：如图1所示，当t等于0时，y（x1）24，顶点坐标为（1，4），当x0时，y3，A（0，3），当x4时，y5，C（4，5），当m0时，D（4，5），此时最大值为0，最小值为5；如图2所示
6、，当m1时，此时最小值为4，最大值为1综上所述：0m1，故选：C7. （2019年河南省）已知抛物线yx2+bx+4经过（2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A2B4C2D4【考点】二次函数的性质【解答】解：抛物线yx2+bx+4经过（2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x1，1，b2；yx2+2x+4，将点（2，n）代入函数解析式，可得n4；故选：D8. （2019年浙江省衢州市）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A.(1，3) B.（1，-3) C.（-1，3）D.（-1，-3）【考点】二次函数y=a（x-h）2+k的性质 【解答】解：y=（x-1）2+3， 二
7、次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.9. (2019年浙江省温州市)已知二次函数yx24x+2，关于该函数在1x3的取值范围内，下列说法正确的是（）A有最大值1，有最小值2 B有最大值0，有最小值1C有最大值7，有最小值1 D有最大值7，有最小值2【考点】二次函数的最值问题【解答】解：yx24x+2（x2）22，在1x3的取值范围内，当x2时，有最小值2，当x1时，有最大值为y927故选：D10. （2019年内蒙古赤峰市）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y
8、0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）【考点】二次函数的性质 【解答】解：由图可知，对称轴x1，与x轴的一个交点为（3，0），b2a，与x轴另一个交点（1，0），a0，b0；错误；当x1时，y0，ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点，由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；正确；由图象可知，y0时，x1或x3正确；故答案为11. （2019年甘肃省）如图是二次函数yax2+bx+c的图象，对于下列说法：ac0，2a+b0，4acb2，a+b+c0，
9、当x0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）ABCD【考点】二次函数的性质 【解答】解：由图象可知：a0，c0，ac0，故错误；由于对称轴可知：1，2a+b0，故正确；由于抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故正确；由图象可知：x1时，ya+b+c0，故正确；当x时，y随着x的增大而增大，故错误；故选：C12. （2019年湖北省鄂州市）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x1下列结论：abc0；3a+c0；（a+c）2b20；a+bm（am+b）（m为实数）其中结论正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数的性质 【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的
10、对称轴在y轴右侧，b0抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0，正确；当x1时，y0，ab+c0，b2a，把b2a代入ab+c0中得3a+c0，所以正确；当x1时，y0，a+b+c0，a+cb，a0，c0，b0，（a+c）2（b）2，即（a+c）2b20，所以正确；抛物线的对称轴为直线x1，x1时，函数的最小值为a+b+c，a+b+cam2+mb+c，即a+bm（am+b），所以正确故选：D13. （2019年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：abc0；a+12b+14c=0；ac+b+
11、1=0；2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】二次函数的性质 【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x=-=1，b=-2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以正确；b=-2a，a+b=a-a=0，c0，a+b+c0，所以错误；C（0，c），OA=OC，A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，ac-b+1=0，所以错误；A（-c，0），对称轴为直线x=1，B（2+c，0），2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以正确；故
12、选：B14. （2019年内蒙古呼和浩特市）二次函数yax2与一次函数yax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【考点】二次函数的图象性质、一次函数的图象性质 【解答】解：由一次函数yax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），排除A、B；当a0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D15. （2019年内蒙古通辽市）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现给以下结论：abc0；c+2a0；9a3b+c0；abm（am+b）（m为实数）；4acb20其中错误结论的
13、个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数的图象性质 【解答】解：由抛物线可知：a0，c0，对称轴x0，b0，abc0，故正确；由对称轴可知：1，b2a，x1时，ya+b+c0，c+3a0，c+2a3a+2aa0，故正确；（1，0）关于x1的对称点为（3，0），x3时，y9a3b+c0，故正确；当x1时，y的最小值为ab+c，xm时，yam2+bm+c，am2+bm+cab+c，即abm（am+b），故错误；抛物线与x轴有两个交点，0，即b24ac0，4acb20，故正确；故选：A16. （2019年西藏）把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x1）2+1的图象（
14、）A向左平移1个单位，再向下平移1个单位B向左平移1个单位，再向上平移1个单位C向右平移1个单位，再向上平移1个单位D向右平移1个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数的图象性质 【解答】解：抛物线yx2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y（ x1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y（x1）2+1的图象故选：C二、填空题1. （2019年湖北省荆州市）二次函数y2x24x+5的最大值是 【考点】二次函数的性质【解答】解：y2x24x+52（x+1）2+7，即
15、二次函数yx24x+5的最大值是7，故答案为：72. （2019年山东省济宁市）如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是 【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数与不等式【解答】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+bx+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x13. （2019年四川省达州市）如
16、图，抛物线yx2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点；若点M（2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y（x+1）2+m；点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为+其中正确判断的序号是 【考点】二次函数的性质【解答】解：把ym+2代入yx2+2x+m+1中，得x22x+10，440，此方程两个相等的实数根，则抛物线yx2+2x+m+1与直线y
17、m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；抛物线的对称轴为x1，点P（2，y3）关于x1的对称点为P（0，y3），a10，当x1时，y随x增大而减小，又20，点M（2，y1）、点N（，y2）、点P（0，y3）在该函数图象上，y2y3y1，故此小题结论错误；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y（x+2）2+2（x+2）x+m+12，即y（x+1）2+m，故此小题结论正确；当m1时，抛物线的解析式为：yx2+2x+2，A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B（1，3），作C点关于x轴的对称点C（2，2），连接BC，与x轴、y轴分别交于D、E
18、点，如图，则BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+BCBC+BC，根据两点之间线段最短，知BC最短，而BC的长度一定，此时，四边形BCDE周长BC+BC最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：4. （2019年广西贺州市）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是 （填写序号）【考点】二次函数的性质【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x1，b2a，a0，b0，abc0，故正确；把x1代入函数关系式yax2+bx+c中得：yab+c，由抛物线的对称轴是直线x1，且过点（3，0），
19、可得当x1时，y0，ab+c0，故错误；b2a，a（2a）+c0，即：3a+c0，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：5. （2019年甘肃省天水市）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，若M4a+2b，Nab则M、N的大小关系为M N（填“”、“”或“”）【考点】二次函数的性质 【解答】解：当x1时，yab+c0，当x2时，y4a+2b+c0，MN4a+2b（ab）4a+2b+c（ab+c）0，即MN，故答案为：6. （2019年甘肃省武威市）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为 【考点】二次函数的解析式【解答】解：yx24x+5x24x+4+1（x2）2+1，所以
20、，y（x2）2+1故答案为：y（x2）2+17. （2019年辽宁省大连市）如图，抛物线yx2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CDABAD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为 【考点】二次函数的性质、待定系数法、一元二次方程的解【解答】解：当y0时，x2+x+20，解得：x12，x24，点A的坐标为（2，0）；当x0时，yx2+x+22，点C的坐标为（0，2）；当y2时，x2+x+22，解得：x10，x22，点D的坐标为（2，2）设直线AD的解析式为ykx+b（k0），将A（2，0），D（2，2）代入ykx
21、+b，得：，解得：，直线AD的解析式为yx+1当x0时，yx+11，点E的坐标为（0，1）当y1时，x2+x+21，解得：x11，x21+，点P的坐标为（1，1），点Q的坐标为（1+，1），PQ1+（1）2故答案为：2三、解答题1.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.【考点】二次函数的性质【解答】解：（
22、1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，又二次函数顶点为（0,4），c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2.（2） 由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0.，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，W=OA2+BC2=当m=1时，W取得最小值7.2.（2019年北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【考点】二次函数图象的性质
23、【解答】（1）抛物线与轴交于点A，令，得，点A的坐标为，点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B的坐标为；（2）抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.当时，则.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.3.（2019年四川省广安市）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（A
24、在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：ykx+n与y轴交于点C，与抛物线yx2+bx+c的另一个交点为D，已知A（1，0），D（5，6），P点为抛物线yx2+bx+c上一动点（不与A、D重合）（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作PFy轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得
25、：，故直线l的表达式为：yx1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：yx2+3x+4；（2）直线l的表达式为：yx1，则直线l与x轴的夹角为45，即：则PEPE，设点P坐标为（x，x2+3x+4）、则点F（x，x1），PE+PF2PF2（x2+3x+4+x+1）2（x2）2+18，20，故PE+PF有最大值，当x2时，其最大值为18；（3）NC5，当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，x2+3x+4）、则点M（x，x1），由题意得：|yMyP|5，即：|x2+3x+4+x+1|5，解得：x2或0或4（舍去0），则点P坐标为（2+，3）或（2，3+）或（4，5）
26、；当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（，2），设点P坐标为（m，m2+3m+4）、则点M（n，n1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：，2，解得：m0或4（舍去0），故点P（4，3）；故点P的坐标为：（2+，3）或（2，3+）或（4，5）或（4，3）4.（2019年重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MNBD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH
27、x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G在旋转过程中，是否存在一点G，使得QQOG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想、直角三角形的中线性质【解答】解：（1）如图1抛物线yx22x3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C令y0解得：x11，x23，令
28、x0，解得：y3，A（1，0），B（3，0），C（0，3）点D为抛物线的顶点，且1，4点D的坐标为D（1，4）直线BD的解析式为：y2x6，由题意，可设点N（m，m22m3），则点F（m，2m6）|NF|（2m6）（m22m3）m2+4m3当m2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF2，此时，N（2，3），F（2，2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，sinOCK，直线KC的解析式为：y，且点F（2，2），PJPC，直线FJ的解析式为：y点J（，）FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|HF+FP+PC|min；（2
29、）由（1）知，点P（0，），把点P向上平移个单位得到点Q点Q（0，2）在RtAOQ中，AOG90，AQ，取AQ的中点G，连接OG，则OGGQAQ，此时，AQOGOQ把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，），过点Q作QIx轴交x轴于点I，且GOQQ则IOQOAQOAQ，sinOAQsinIOQ，解得：|IO|在RtOIQ中根据勾股定理可得|OI|点Q的坐标为Q（，）；如图3，当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q（，）如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q（，）如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q（
30、，）综上所述，所有满足条件的点Q的坐标为：（，），（，），（，），（，）5.(2019年天津市)已知抛物线为常数，）经过点A（-1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的点.（I） 当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（II） 点D（b，）在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；（III） 点Q（，）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值.【考点】二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想【解答】（I）抛物线经过点A（-1，0），1+b+c=0,即c=-b-1所以当b=2时，c= - 3 ,所以顶点坐标为（1，- 4）.（II）由（I）知，c= - b-1，则因为点（b，）在抛物线上，
31、所以b0， - b - 10点D在第四象限且在抛物线对称轴的右侧 如图，过点D作DEx轴，则E（b，0）AE=b+1，DE=b+1即AE=DE在RtADE中，ADE=DAE=45AD=AE又AM=AD，m=5b=（III）点Q（，）在抛物线上，则点Q（，）在第四象限，且在直线x=b的右侧,AM+2QM=2（AM+QM），可取点N（0，1）如图所示，过点Q作直线AN的垂线。垂足为G，QG与x轴相交于点M，有GAM=45，得AM=GM则此时点M满足题意过点Q作QHx轴于点H，则点H（，0）在RtMQH中，可知QNH=MQH=45QH=MH，QM=MH点M（m，0）m=因为AM+2QM=b=46.
32、(2019年天津市)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，ABO=30，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA,AB,OB上，OD=2.（I） 如图，求点E的坐标；（II） 将矩形CODE沿x轴向左平移，得到矩形,点D,O,C,E的对应点分别为.设，矩形与ABO重叠部分的面积为.如图，当矩形与ABO重叠部分为五边形时，、分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围;时，求t的取值范围（直接写出结果即可）。【考点】二次函数的应用、特殊的直角三角形【解答】解：（I）由点A（6，0），的OA=6，又OD=2，AD=OA-OD=4在矩形CODE
33、中，有DECO，得AED=ABO=30在RtAED中，AE=2AD=8由勾股定理得：ED=AE-AD=4，有CO=4点E的坐标为（2，4）（II）由平移可知，=4，由BO，得=ABO=30在RtMF中，MF=2由勾股定理得，则.，其中t的取值范围是：0t2.当时，t=0时，；t=2时，不在范围内.当时，当时，所以，符合条件.当时，所以当时，综上所述：.7. （2019年山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ACB90，AB10cm，BC8cm，OD垂直平分A C点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当
34、一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作QFAC，分别交AD，OD于点F，G连接OP，EG设运动时间为t（s）（0t5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的性质、四边形综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数【解答】解：（
35、1）在RtABC中，ACB90，AB10cm，BC8cm，AC6（cm），OD垂直平分线段AC，OCOA3（cm），DOC90，CDAB，BACDCO，DOCACB，DOCBCA，CD5（cm），OD4（cm），PBt，PEAB，易知：PEt，BEt，当点E在BAC的平分线上时，EPAB，ECAC，PEEC，t8t，t4当t为4秒时，点E在BAC的平分线上（2）如图，连接OE，PCS四边形OPEGSOEG+SOPESOEG+（SOPC+SPCESOEC）（4t）3+3（8t）+（8t）t3（8t）t2+t+16（0t5）（3）存在S（t）2+（0t5），t时，四边形OPEG的面积最大，最大值为
36、（4）存在如图，连接OQOEOQ，EOC+QOC90，QOC+QOG90，EOCQOG，tanEOCtanQOG，整理得：5t266t+1600，解得t或10（舍弃）当t秒时，OEOQ8. （2019年云南省）已知k是常数，抛物线yx2（k2k6）x3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.（1）求k的值：（2）若点P在抛物线yx2（k2k6）x3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.【考点】二次函数的性质【解答】 解：（1）抛物线y=x2+（k2+k6）x+3k的对称轴是y轴，即k2+k6=0.解得k=3或k=2当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，
37、舍去，当k=3时，二次函数解析式为y=x29，它的图象与x轴有两个交点，满足题意.k=3（2）P到y轴的距离为2，点P的横坐标为2或2.当x=2时，y=5；当x=2时，y=5.点P的坐标为（2，5）或（2，5）9. （2019年广西贵港市）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，-5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标【考点】二次函数的性质、待定系数法、探究平行四边形、分类讨论
38、思想【解答】解：（1）函数表达式为：y=a（x=4）2+3，将点B坐标代入上式并解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2+4x-5；（2）A（4，3）、B（0，-5），则点M（2，-1），设直线AB的表达式为：y=kx-5，将点A坐标代入上式得：3=4k-5，解得：k=2，故直线AB的表达式为：y=2x-5；（3）设点Q（4，s）、点P（m，-12m2+4m-5），当AM是平行四边形的一条边时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，同样点P（m，-12m2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），即：m-2=4，-12m2+4m-5-4=s，解得：m=
39、6，s=-3，故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，-3）；当AM是平行四边形的对角线时，由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-12m2+4m-5+s，解得：m=2，s=1，故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，-3）或（4，1）10. （2019年广西贺州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐
40、标及PD的最大值【考点】二次函数的性质、待定系数法、二次函数极值问题【解答】解：（1）OAOC4OB4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx23x4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：ykx4，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45，PHy轴，PHDOCA45，设点P（x，x23x4），则点H（x，x4），PDHPsinPFD（x4x2+3x+4）x2+2x，0，PD有最大值，当x2时，其最大值为2，此时点P（2，6）11.（2019年江苏省苏州市）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t
