1、2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题一、选择题1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PDPC，交x轴于点D下列结论：OABC2；当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD27；在运动过程中，CDP是一个定值；当ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【解答】解：四边形OABC是矩形，B（2，2），OABC
2、2；故正确；点D为OA的中点，ODOA，PC2+PD2CD2OC2+OD222+（）27，故正确；如图，过点P作PFOA于F，FP的延长线交BC于E，PEBC，四边形OFEC是矩形，EFOC2，设PEa，则PFEFPE2a，在RtBEP中，tanCBO，BEPEa，CEBCBE2a（2a），PDPC，CPE+FPD90，CPE+PCE90，FPDECP，CEPPFD90，CEPPFD，FD，tanPDC，PDC60，故正确；B（2，2），四边形OABC是矩形，OA2，AB2，tanAOB，AOB30，当ODP为等腰三角形时，、ODPD，DOPDPO30，ODP60，ODC60，ODOC，、OP
3、OD，ODPOPD75，CODCPD90，OCP10590，故不合题意舍去；、OPPD，PODPDO30，OCP15090故不合题意舍去，当ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）故正确，故选：D二、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点。（1）求，的值；（2）直线l与轴交于点。 如图1，若l轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线的对称点为，求四边形面积的最大值； 如图2，若直线l与线段相交于点，当PCQ CAP时，求直线l的表达式。【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形【解答】解：（1）由题可知 解得（2）
4、由题可知， 由（1）可知，：设，则 当时，四边形的面积最大，最大值为由（1）可知由可得 由，可得作于点，设，则，即 解得 l：2.（2019年山东省滨州市）如图，抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想【解答】解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），当y0时，0x2+x+4，解
5、得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点
6、P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则t，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或3. （2019年山东省菏泽市）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PEOD，求PBE的面积（3
7、）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x1，则点B（4，0），则函数的表达式为：ya（x2）（x+4）a（x2+2x8），即：8a2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BC的表达式为：yx2，则tanABC，则sinABC，设点D（x，0），则点P（x，x2+x2），点E（x，x2），PEOD，
8、PE（x2+x2x+2）（x），解得：x0或5（舍去x0），即点D（5，0）SPBEPEBD（x2+x2x+2）（4x）；（3）由题意得：BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BDBM的情况，BD1BM，则yMBMsinABC1，则xM，故点M（，）4. （2019年山东省枣庄市）已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存
9、在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标【考点】待定系数法、二次函数极值问题、点的存在性问题、一元二次方程、分类讨论【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x3，3，解得a，抛物线的解析式为：yx2+x+4当y0时，x2+x+40，解得x12，x28，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）答：抛物线的解析式为：yx2+x+4；点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）（2）当x0时，yx2+x+44，点C的坐标为（0，4）设直线BC的解析式为ykx+b（k0），将B（8，0），C（0，4）代入ykx+b得
10、，解得，直线BC的解析式为yx+4假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，x2+x+4），如图所示，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，x+4），则PDx2+x+4（x+4）x2+2x，S四边形PBOCSBOC+SPBC84+PDOB16+8（x2+2x）x2+8x+16（x4）2+32当x4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是320x8，存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32（3）设点M的坐标为（m，+4）则点N的坐标为（m，），MN|+4（
11、）|+2m|，又MN3，|+2m|3，当0m8时，+2m30，解得m12，m26，点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m0或m8时，+2m+30，解得m342，m44+2，点M的坐标为（42，1）或（4+2，1）答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（42，1）或（4+2，1）5.（2019年四川省达州市）如图1，已知抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（CAO+CDO）4时，求点D的坐标；（3）如图2抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，BMP和
12、EMN的面积分别为m、n，求mn的最大值【考点】待定系数法、二次函数极值问题、相似三角形、分类讨论【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（3，0）代入yx2+bx+c，得，解得b2，c3，yx22x+3（x+1）2+4，此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点C的坐标为（1，4）；（2）抛物线顶点C（1，4），抛物线对称轴为直线x1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（1，0），在RtCHO中，CH4，OH1，tanCOH4，COHCAO+ACO，当ACOCDO时，tan（CAO+CDO）tanCOH4，如图1，当点D在对称轴左侧时，ACOCDO，CAOCAO，AOCACD，AC2，AO1，A
13、D20，OD19，D（19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x1的对称点D的坐标为（17，0），点D的坐标为（19，0）或（17，0）；（3）设P（a，a22a+3），将P（a，a22a+3），A（1，0）代入ykx+b，得，解得，ka3，ba+3，yPA（a3）x+a+3，当x0时，ya+3，N（0，a+3），如图2，SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，SEMNSEBOS四边形BMNO，SBPMSEMNSBPASEBOSAON4（a22a+3）331（a+3）2a2a2（a+）2+，由二次函数的性质知，当a时，SBPMSEMN有最大值，BMP和EMN的面积分别为m、n，mn的最
14、大值为6. （2019年四川省资阳市）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（3，2），且与直线yx+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DEx轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使AQM45？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】待定系数法、二次函数极值问题、距离和最短问题、探究特殊角问题【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入yx+，m4+，B的坐标为（4，），将A（3，2），B（4，）代入yx2+
15、bx+c，解得b1，c，抛物线的解析式y；（2）设D（m，），则E（m，m+），DE（）（m+）（m2）2+2，当m2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A，连接AD，与对称轴交于点PPD+PAPD+PAAD，此时PD+PA最小，A（3，2），A（1，2），AD，即PD+PA的最小值为；（3）作AHy轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，抛物线的解析式y，M（1，4），A（3，2），AHMH2，H（1，2）AQM45，AHM90，AQMAHM，可知AQM外接圆的圆心为H，QHHAHM2设Q（0，t），则2，t2+或2符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2）、Q2（0
16、，2）7.（2019年江苏省苏州市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为6.（1）求的值；（2）求外接圆圆心的坐标；（3）如图，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标. （图） （图）【考点】待定系数法、二次函数嵌圆类问题【解答】（1）解：由题意得由图知： 所以A()，,=6（2）由（1）得A()，,直线AC得解析式为：AC中点坐标为AC的垂直平分线为：又AB的垂直平分线为： 得 外接圆圆心的坐标（-1，1）.（3）解：过点P做PD
17、x轴由题意得：PD=d， =2d的面积为，即A、D两点到PB得距离相等设PB直线解析式为;过点 易得 所以P(-4,-5),由题意及易得：BQ=AP=设Q（m，-1）()Q8.（2019年湖北省十堰市）已知抛物线ya（x2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且DEFA，则DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数【考点】待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、
18、等腰三角形的判定和性质、分类讨论思想【解答】解：（1）由题意：，解得，抛物线的解析式为y（x2）2+3，顶点D坐标（2，3）（2）可能如图1，A（2，0），D（2，3），B（6，0），AB8，ADBD5，当DEDF时，DFEDEFABD，EFAB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立当DEEF时，又BEFAED，BEFAED，BEAD5当DFEF时，EDFDEFDABDBA，FDEDAB，AEFBCE，EBAD，答：当BE的长为5或时，CFE为等腰三角形（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DHAB于H，连接PD，PH，PB设Pn，（n2）2+3，则SPBDSPBH+SPDHSB
19、DH4（n2）2+3+3（n2）43（n4）2+，0，n4时，PBD的面积的最大值为，m， 当点P在BD的右侧时，m的最大值，观察图象可知：当0m时，满足条件的点P的个数有4个，当m时，满足条件的点P的个数有3个，当m时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）9.（2019年甘肃省天水市）如图，已知抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若RtAOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称
20、轴l向上平移到点C与点F重合，得到RtA1O1F，求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度（0t6）得到RtA2O2C2，RtA2O2C2与RtOED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围【考点】待定系数法、相似三角形的判定和性质、探究面积问题、分类讨论思想【解答】解：（1）抛抛线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（9，0）和C（0，4），抛物线的解析式为ya（x+3）（x9），点C（0，4）在抛物线上，427a，a，抛物线的解析式为：y（x+3）（x9）x2+x+4，CD垂直于y轴，C（0，
21、4），令x2+x+44，解得，x0或x6，点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，点F是抛物线yx2+x+4的顶点，F（3，），FH4，GHA1O1，FGHFA1O1，解得，GH1，RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，S重叠部分SFGHA1O1O1FGHFH；（3）当0t3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，C2O2DE，OO2MOED，O2Mt，SOO2O2Mttt2；当3t6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入ykx，得，k，yODx，将点（t3，0），（t，4）代入yk
22、x+b，得，解得，k，bt+4，直线A2C2的解析式为：yxt+4，联立yODx与yxt+4，得，xxt+4，解得，x6+2t，两直线交点M坐标为（6+2t，4+t），故点M到O2C2的距离为6t，C2NOC，DC2NDCO，C2N（6t），SOAOCC2N（6t）34（6t）（6t）t2+4t6；S与t的函数关系式为：S9. （2019年甘肃省）如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次
23、函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标【考点】待定系数法、探究特殊四边形问题、分类讨论思想、二次函数极值问题【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y（x1）（x3）x24x+3；故二次函数表达式为：yx24x+3；（2）当AB为平行四边形一条边时，如图1，则ABPE2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为，即：2，解得
24、：m2，故点P（2，1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，1）；（3）直线BC的表达式为：yx+3，设点E坐标为（x，x24x+3），则点D（x，x+3），S四边形AEBDAB（yDyE）x+3x2+4x3x2+3x，10，故四边形AEBD面积有最大值，当x，其最大值为，此时点E（，）10. （2019年湖北省鄂州市）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB4，交y轴于点C，对称轴是直线x1（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运
25、动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q设运动时间为t（t0）秒若AOC与BMN相似，请直接写出t的值；BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【考点】待定系数法、探究相似三角形问题、分类讨论思想、探究等腰三角形问题【解答】解：（1）点A、B关于直线x1对称，AB4，A（1，0），B（3，0），代入yx2+bx+c中，得：，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC的解析式为ymx+n，则有：，解得，直线BC的解析式为yx+3，点E、F关于直线x1对称，又E到对称轴的距离为1，EF2，F点的横坐标为2，将x2代入yx+3中，得
26、：y2+31，F（2，1）；（3）如下图，MN4t2+4t+3，MB32t，AOC与BMN相似，则，即：，解得：t或或3或1（舍去、3），故：t1；M（2t，0），MNx轴，Q（2t，32t），BOQ为等腰三角形，分三种情况讨论，第一种，当OQBQ时，QMOBOMMB2t32tt；第二种，当BOBQ时，在RtBMQ中OBQ45，BQ，BO，即3，t；第三种，当OQOB时，则点Q、C重合，此时t0而t0，故不符合题意综上述，当t或秒时，BOQ为等腰三角形11. （2019年湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛
27、物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由【考点】待定系数法、探究矩离和最短问题、分类讨论思想、探究特殊四边形问题【解答】解：（1）平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）BCOA6，BCx轴xBxC+610，yByC3，即B（10，
28、3）设抛物线yax2+bx+c经过点B、C、D（1，0） 解得：抛物线解析式为yx2+x（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E，连接EF交x轴于点PC（4，3）OCBCOAOECAOEOE平分AOCAOECOEOECCOECEOC5xExC+59，即E（9，3）直线OE解析式为yx直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x7F（7，）点E与点E关于x轴对称，点P在x轴上E（9，3），PEPE当点F、P、E在同一直线上时，PE+PFPE+PFFE最小设直线EF解析式为ykx+h 解得：直线EF：yx+21当x+210时，解得：x当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）（3）存在满足条件的点
29、M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形设AH与OE相交于点G（t，t），如图2AHOE于点G，A（6，0）AGO90AG2+OG2OA2（6t）2+（t）2+t2+（t）262解得：t10（舍去），t2G（，）设直线AG解析式为ydx+e 解得：直线AG：y3x+18当y3时，3x+183，解得：x5H（5，3）HE954，点H、E关于直线x7对称当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HEMN，MNHE4点N在抛物线对称轴：直线x7上xM7+4或74，即xM11或3当x3时，yM9+9M（3，）或（11，）当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对
30、角线时，如图3则HE、MN互相平分直线x7平分HE，点F在直线x7上点M在直线x7上，即M为抛物线顶点yM49+74M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）12. （2019年湖北省随州市）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PDAC于点E，交x轴于点D，过点P作PGAB交AC于点F，交x轴于点G设线段DG的长为d，求d与m的函数
31、关系式，并注明m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若PDG的面积为4912，求点P的坐标；设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）设交点式y=a（x+2）（x-6）抛物线过点A（0，6）-12a=6a=-12抛物线解析式为y=-12（x+2）（x-6
32、）=-12x2+2x+6=-12（x-2）2+8抛物线对称轴为直线x=2（2）过点P作PHx轴于点H，如图1PHD=90点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6，PH=n=-12m2+2m+6，n0OA=OC=6，AOC=90ACO=45PDAC于点ECED=90CDE=90-ACO=45DH=PH=nPGABPGH=ABOPGHABOPHAO=GHBOGH=BOPHAO=2PH6=13nd=DH-GH=n-13n=23n=23（-12m2+2m+6）=-13m2+43m+4（2m6）（3）SPDG=12DGPH=49121223nn=4912解得：n1=72，n2=
33、-72（舍去）-12m2+2m+6=72解得：m1=-1（舍去），m2=5点P坐标为（5，72）在抛物线上存在点R，使得ARS为等腰直角三角形设直线AP解析式为y=kx+6把点P代入得：5k+6=72k=-12直线AP：y=-12x+6i）若RAS=90，如图2直线AC解析式为y=-x+6直线AR解析式为y=x+6y=x+6y=-12x2+2x+6解得：x1=0y1=6（即点A）x2=2y2=8R（2，8）ASR=OAC=45RSy轴xS=xR=2S（2，4）直线OM：y=2xy=2xy=-12x+6解得：x=125y=245M（125，245）ii）若ASR=90，如图3SAR=ACO=45
34、ARx轴R（4，6）S在AR的垂直平分线上S（2，4）M（125，245）iii）若ARS=90，如图4，SAR=ACO=45，RSy轴ARx轴R（4，6）S（4，2）直线OM：y=12xy=12xy=12x+6解得：x=6y=3M（6，3）综上所述，M1（125，245），R1（2，8）；M2（125，245），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）13. （2019年湖北省襄阳市）如图，在直角坐标系中，直线yx+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象
35、限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）yx+3，令x0，则y3，令y0，则x6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为x1，则点A（4，0），则抛物线的表达式为：ya（x6）（x+4）a（x22x24），即24a3，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x+3；（2）过点P作y轴的平行线交BC于
36、点G，作PHBC于点H，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+3，则HPGCBA，tanCABtan，则cos，设点P（x，x2+x+3），则点G（x，x+3），则PHPGcos（x2+x+3+x3）x2+x，0，故PH有最小值，此时x3，则点P（3，）；（3）当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（2，3）；当点Q在x轴下方时，Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似，则ACBQAB，当ABCABQ时，直线BC表达式的k值为，则直线BQ表达式的k值为，设直线BQ表达式为：yx+b，将点B的坐标代入上式并解
37、得：直线BQ的表达式为：yx3，联立并解得：x6或8（舍去6），故点Q（Q）坐标为（8，7）（舍去）；当ABCABQ时，同理可得：直线BQ的表达式为：yx，联立并解得：x6或10（舍去6），故点Q（Q）坐标为（10，12），由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，12）；综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，12）或（10，12）14. （2019年甘肃省武威市）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q
38、试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12），即：12a4，解得：a，则抛物线的表达式为yx2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（4，0）、（0，4），则AC5，AB7，BC4，OABOBA
39、45，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直线AC的表达式为：yx+4，设直线AC的中点为M（，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：yx+，当ACAQ时，如图1，则ACAQ5，设：QMMBn，则AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当ACCQ时，如图1，CQ5，则BQBCCQ45，则QMMB，故点Q（，）；当CQAQ时，联立并解得：x（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，m2+m+4），则点Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）m2+m，0，PN有最大值，当m时，PN的最大值为：15. （2019年辽宁省本溪市）抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标【考点】二次函数的图象与性质、二次函面积问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形
