2019年全国中考数学真题分类汇编:代数几何综合压轴题(含答案)

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1、2019年全国中考数学真题分类汇编:代数几何综合压轴题一、选择题1. (2019年四川省达州市)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B(2,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PDPC,交x轴于点D下列结论:OABC2;当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD27;在运动过程中,CDP是一个定值;当ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(,0)其中正确结论的个数是()A1个B2个C3个D4个【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【解答】解:四边形OABC是矩形,B(2,2),OABC

2、2;故正确;点D为OA的中点,ODOA,PC2+PD2CD2OC2+OD222+()27,故正确;如图,过点P作PFOA于F,FP的延长线交BC于E,PEBC,四边形OFEC是矩形,EFOC2,设PEa,则PFEFPE2a,在RtBEP中,tanCBO,BEPEa,CEBCBE2a(2a),PDPC,CPE+FPD90,CPE+PCE90,FPDECP,CEPPFD90,CEPPFD,FD,tanPDC,PDC60,故正确;B(2,2),四边形OABC是矩形,OA2,AB2,tanAOB,AOB30,当ODP为等腰三角形时,、ODPD,DOPDPO30,ODP60,ODC60,ODOC,、OP

3、OD,ODPOPD75,CODCPD90,OCP10590,故不合题意舍去;、OPPD,PODPDO30,OCP15090故不合题意舍去,当ODP为等腰三角形时,点D的坐标为(,0)故正确,故选:D二、解答题1. (2019年四川省攀枝花市)已知抛物线的对称轴为直线x=1,其图像与轴相交于、两点,与轴交于点。(1)求,的值;(2)直线l与轴交于点。 如图1,若l轴,且与线段及抛物线分别相交于点、,点关于直线的对称点为,求四边形面积的最大值; 如图2,若直线l与线段相交于点,当PCQ CAP时,求直线l的表达式。【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形【解答】解:(1)由题可知 解得(2)

4、由题可知, 由(1)可知,:设,则 当时,四边形的面积最大,最大值为由(1)可知由可得 由,可得作于点,设,则,即 解得 l:2.(2019年山东省滨州市)如图,抛物线yx2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想【解答】解:(1)当x0时,y4,则点A的坐标为(0,4),当y0时,0x2+x+4,解

5、得,x14,x28,则点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(8,0),OAOB4,OBAOAB45,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD,BAD90,OAD45,ODA45,OAOD,点D的坐标为(4,0),设直线AD的函数解析式为ykx+b,得,即直线AD的函数解析式为yx+4;(2)作PNx轴交直线AD于点N,如右图所示,设点P的坐标为(t,t2+t+4),则点N的坐标为(t,t+4),PN(t2+t+4)(t+4)t2+t,PNx轴,PNy轴,OADPNH45,作PHAD于点H,则PHN90,PH(t2+t)t(t6)2+,当t6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为(6,),即当点

6、P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是(6,),最大距离是;当点P到直线AD的距离为时,如右图所示,则t,解得,t12,t210,则P1的坐标为(2,),P2的坐标为(10,),当P1的坐标为(2,),则P1A,sinP1AD;当P2的坐标为(10,),则P2A,sinP2AD;由上可得,sinPAD的值是或3. (2019年山东省菏泽市)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PEOD,求PBE的面积(3

7、)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由【考点】待定系数法、面积问题、三角函数、探究等腰三角形问题【解答】解:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x1,则点B(4,0),则函数的表达式为:ya(x2)(x+4)a(x2+2x8),即:8a2,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2+x2;(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:ymx+n并解得:直线BC的表达式为:yx2,则tanABC,则sinABC,设点D(x,0),则点P(x,x2+x2),点E(x,x2),PEOD,

8、PE(x2+x2x+2)(x),解得:x0或5(舍去x0),即点D(5,0)SPBEPEBD(x2+x2x+2)(4x);(3)由题意得:BDM是以BD为腰的等腰三角形,只存在:BDBM的情况,BD1BM,则yMBMsinABC1,则xM,故点M(,)4. (2019年山东省枣庄市)已知抛物线yax2+x+4的对称轴是直线x3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;(2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存

9、在,请说明理由;(3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M的坐标【考点】待定系数法、二次函数极值问题、点的存在性问题、一元二次方程、分类讨论【解答】解:(1)抛物线的对称轴是直线x3,3,解得a,抛物线的解析式为:yx2+x+4当y0时,x2+x+40,解得x12,x28,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)答:抛物线的解析式为:yx2+x+4;点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)(2)当x0时,yx2+x+44,点C的坐标为(0,4)设直线BC的解析式为ykx+b(k0),将B(8,0),C(0,4)代入ykx+b得

10、,解得,直线BC的解析式为yx+4假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大,设点P的坐标为(x,x2+x+4),如图所示,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,x+4),则PDx2+x+4(x+4)x2+2x,S四边形PBOCSBOC+SPBC84+PDOB16+8(x2+2x)x2+8x+16(x4)2+32当x4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是320x8,存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大答:存在点P,使四边形PBOC的面积最大;点P的坐标为(4,6),四边形PBOC面积的最大值为32(3)设点M的坐标为(m,+4)则点N的坐标为(m,),MN|+4(

11、)|+2m|,又MN3,|+2m|3,当0m8时,+2m30,解得m12,m26,点M的坐标为(2,6)或(6,4);当m0或m8时,+2m+30,解得m342,m44+2,点M的坐标为(42,1)或(4+2,1)答:点M的坐标为(2,6)、(6,4)、(42,1)或(4+2,1)5.(2019年四川省达州市)如图1,已知抛物线yx2+bx+c过点A(1,0),B(3,0)(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;(2)设点D是x轴上一点,当tan(CAO+CDO)4时,求点D的坐标;(3)如图2抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,BMP和

12、EMN的面积分别为m、n,求mn的最大值【考点】待定系数法、二次函数极值问题、相似三角形、分类讨论【解答】解:(1)由题意把点(1,0),(3,0)代入yx2+bx+c,得,解得b2,c3,yx22x+3(x+1)2+4,此抛物线解析式为:yx22x+3,顶点C的坐标为(1,4);(2)抛物线顶点C(1,4),抛物线对称轴为直线x1,设抛物线对称轴与x轴交于点H,则H(1,0),在RtCHO中,CH4,OH1,tanCOH4,COHCAO+ACO,当ACOCDO时,tan(CAO+CDO)tanCOH4,如图1,当点D在对称轴左侧时,ACOCDO,CAOCAO,AOCACD,AC2,AO1,A

13、D20,OD19,D(19,0);当点D在对称轴右侧时,点D关于直线x1的对称点D的坐标为(17,0),点D的坐标为(19,0)或(17,0);(3)设P(a,a22a+3),将P(a,a22a+3),A(1,0)代入ykx+b,得,解得,ka3,ba+3,yPA(a3)x+a+3,当x0时,ya+3,N(0,a+3),如图2,SBPMSBPAS四边形BMNOSAON,SEMNSEBOS四边形BMNO,SBPMSEMNSBPASEBOSAON4(a22a+3)331(a+3)2a2a2(a+)2+,由二次函数的性质知,当a时,SBPMSEMN有最大值,BMP和EMN的面积分别为m、n,mn的最

14、大值为6. (2019年四川省资阳市)如图,抛物线yx2+bx+c过点A(3,2),且与直线yx+交于B、C两点,点B的坐标为(4,m)(1)求抛物线的解析式;(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DEx轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值;(3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使AQM45?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由【考点】待定系数法、二次函数极值问题、距离和最短问题、探究特殊角问题【解答】解:(1)将点B的坐标为(4,m)代入yx+,m4+,B的坐标为(4,),将A(3,2),B(4,)代入yx2+

15、bx+c,解得b1,c,抛物线的解析式y;(2)设D(m,),则E(m,m+),DE()(m+)(m2)2+2,当m2时,DE有最大值为2,此时D(2,),作点A关于对称轴的对称点A,连接AD,与对称轴交于点PPD+PAPD+PAAD,此时PD+PA最小,A(3,2),A(1,2),AD,即PD+PA的最小值为;(3)作AHy轴于点H,连接AM、AQ、MQ、HA、HQ,抛物线的解析式y,M(1,4),A(3,2),AHMH2,H(1,2)AQM45,AHM90,AQMAHM,可知AQM外接圆的圆心为H,QHHAHM2设Q(0,t),则2,t2+或2符合题意的点Q的坐标:Q1(0,2)、Q2(0

16、,2)7.(2019年江苏省苏州市)如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,已知的面积为6.(1)求的值;(2)求外接圆圆心的坐标;(3)如图,P是抛物线上一点,点Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,的面积为,且,求点Q的坐标. (图) (图)【考点】待定系数法、二次函数嵌圆类问题【解答】(1)解:由题意得由图知: 所以A(),,=6(2)由(1)得A(),,直线AC得解析式为:AC中点坐标为AC的垂直平分线为:又AB的垂直平分线为: 得 外接圆圆心的坐标(-1,1).(3)解:过点P做PD

17、x轴由题意得:PD=d, =2d的面积为,即A、D两点到PB得距离相等设PB直线解析式为;过点 易得 所以P(-4,-5),由题意及易得:BQ=AP=设Q(m,-1)()Q8.(2019年湖北省十堰市)已知抛物线ya(x2)2+c经过点A(2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且DEFA,则DEF能否为等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;(3)若点P在抛物线上,且m,试确定满足条件的点P的个数【考点】待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、

18、等腰三角形的判定和性质、分类讨论思想【解答】解:(1)由题意:,解得,抛物线的解析式为y(x2)2+3,顶点D坐标(2,3)(2)可能如图1,A(2,0),D(2,3),B(6,0),AB8,ADBD5,当DEDF时,DFEDEFABD,EFAB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立当DEEF时,又BEFAED,BEFAED,BEAD5当DFEF时,EDFDEFDABDBA,FDEDAB,AEFBCE,EBAD,答:当BE的长为5或时,CFE为等腰三角形(3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DHAB于H,连接PD,PH,PB设Pn,(n2)2+3,则SPBDSPBH+SPDHSB

19、DH4(n2)2+3+3(n2)43(n4)2+,0,n4时,PBD的面积的最大值为,m, 当点P在BD的右侧时,m的最大值,观察图象可知:当0m时,满足条件的点P的个数有4个,当m时,满足条件的点P的个数有3个,当m时,满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧)9.(2019年甘肃省天水市)如图,已知抛物线yax2+bx+c经过点A(3,0)、B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,直线l是该抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标;(2)若RtAOC沿x轴向右平移,使其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称

20、轴l向上平移到点C与点F重合,得到RtA1O1F,求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积;(3)若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度(0t6)得到RtA2O2C2,RtA2O2C2与RtOED重叠部分图形的面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围【考点】待定系数法、相似三角形的判定和性质、探究面积问题、分类讨论思想【解答】解:(1)抛抛线yax2+bx+c经过点A(3,0)、B(9,0)和C(0,4),抛物线的解析式为ya(x+3)(x9),点C(0,4)在抛物线上,427a,a,抛物线的解析式为:y(x+3)(x9)x2+x+4,CD垂直于y轴,C(0,

21、4),令x2+x+44,解得,x0或x6,点D的坐标为(6,4);(2)如图1所示,设A1F交CD于点G,O1F交CD于点H,点F是抛物线yx2+x+4的顶点,F(3,),FH4,GHA1O1,FGHFA1O1,解得,GH1,RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG,S重叠部分SFGHA1O1O1FGHFH;(3)当0t3时,如图2所示,设O2C2交OD于点M,C2O2DE,OO2MOED,O2Mt,SOO2O2Mttt2;当3t6时,如图3所示,设A2C2交OD于点M,O2C2交OD于点N,将点D(6,4)代入ykx,得,k,yODx,将点(t3,0),(t,4)代入yk

22、x+b,得,解得,k,bt+4,直线A2C2的解析式为:yxt+4,联立yODx与yxt+4,得,xxt+4,解得,x6+2t,两直线交点M坐标为(6+2t,4+t),故点M到O2C2的距离为6t,C2NOC,DC2NDCO,C2N(6t),SOAOCC2N(6t)34(6t)(6t)t2+4t6;S与t的函数关系式为:S9. (2019年甘肃省)如图,已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)点E是二次

23、函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标【考点】待定系数法、探究特殊四边形问题、分类讨论思想、二次函数极值问题【解答】解:(1)用交点式函数表达式得:y(x1)(x3)x24x+3;故二次函数表达式为:yx24x+3;(2)当AB为平行四边形一条边时,如图1,则ABPE2,则点P坐标为(4,3),当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,故:点P(4,3)或(0,3);当AB是四边形的对角线时,如图2,AB中点坐标为(2,0)设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点横坐标为,即:2,解得

24、:m2,故点P(2,1);故:点P(4,3)或(0,3)或(2,1);(3)直线BC的表达式为:yx+3,设点E坐标为(x,x24x+3),则点D(x,x+3),S四边形AEBDAB(yDyE)x+3x2+4x3x2+3x,10,故四边形AEBD面积有最大值,当x,其最大值为,此时点E(,)10. (2019年湖北省鄂州市)如图,已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB4,交y轴于点C,对称轴是直线x1(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x1的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;(3)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运

25、动,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q设运动时间为t(t0)秒若AOC与BMN相似,请直接写出t的值;BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由【考点】待定系数法、探究相似三角形问题、分类讨论思想、探究等腰三角形问题【解答】解:(1)点A、B关于直线x1对称,AB4,A(1,0),B(3,0),代入yx2+bx+c中,得:,解得,抛物线的解析式为yx2+2x+3,C点坐标为(0,3);(2)设直线BC的解析式为ymx+n,则有:,解得,直线BC的解析式为yx+3,点E、F关于直线x1对称,又E到对称轴的距离为1,EF2,F点的横坐标为2,将x2代入yx+3中,得

26、:y2+31,F(2,1);(3)如下图,MN4t2+4t+3,MB32t,AOC与BMN相似,则,即:,解得:t或或3或1(舍去、3),故:t1;M(2t,0),MNx轴,Q(2t,32t),BOQ为等腰三角形,分三种情况讨论,第一种,当OQBQ时,QMOBOMMB2t32tt;第二种,当BOBQ时,在RtBMQ中OBQ45,BQ,BO,即3,t;第三种,当OQOB时,则点Q、C重合,此时t0而t0,故不符合题意综上述,当t或秒时,BOQ为等腰三角形11. (2019年湖北省荆州市)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛

27、物线与x轴的一个交点D的坐标为(1,0)(1)求该抛物线的解析式;(2)若AOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,过点A作OE的垂线交BC于点H,点M,N分别为抛物线及其对称轴上的动点,是否存在这样的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由【考点】待定系数法、探究矩离和最短问题、分类讨论思想、探究特殊四边形问题【解答】解:(1)平行四边形OABC中,A(6,0),C(4,3)BCOA6,BCx轴xBxC+610,yByC3,即B(10,

28、3)设抛物线yax2+bx+c经过点B、C、D(1,0) 解得:抛物线解析式为yx2+x(2)如图1,作点E关于x轴的对称点E,连接EF交x轴于点PC(4,3)OCBCOAOECAOEOE平分AOCAOECOEOECCOECEOC5xExC+59,即E(9,3)直线OE解析式为yx直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线:x7F(7,)点E与点E关于x轴对称,点P在x轴上E(9,3),PEPE当点F、P、E在同一直线上时,PE+PFPE+PFFE最小设直线EF解析式为ykx+h 解得:直线EF:yx+21当x+210时,解得:x当PE+PF的值最小时,点P坐标为(,0)(3)存在满足条件的点

29、M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形设AH与OE相交于点G(t,t),如图2AHOE于点G,A(6,0)AGO90AG2+OG2OA2(6t)2+(t)2+t2+(t)262解得:t10(舍去),t2G(,)设直线AG解析式为ydx+e 解得:直线AG:y3x+18当y3时,3x+183,解得:x5H(5,3)HE954,点H、E关于直线x7对称当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的边时,如图2则HEMN,MNHE4点N在抛物线对称轴:直线x7上xM7+4或74,即xM11或3当x3时,yM9+9M(3,)或(11,)当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的对

30、角线时,如图3则HE、MN互相平分直线x7平分HE,点F在直线x7上点M在直线x7上,即M为抛物线顶点yM49+74M(7,4)综上所述,点M坐标为(3,)、(11,)或(7,4)12. (2019年湖北省随州市)如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(-2,0),C(6,0)(1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴;(2)如图2,连接AB,AC,设点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点P作PDAC于点E,交x轴于点D,过点P作PGAB交AC于点F,交x轴于点G设线段DG的长为d,求d与m的函数

31、关系式,并注明m的取值范围;(3)在(2)的条件下,若PDG的面积为4912,求点P的坐标;设M为直线AP上一动点,连接OM交直线AC于点S,则点M在运动过程中,在抛物线上是否存在点R,使得ARS为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M及其对应的点R的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数的图象与性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,一元二次方程的解法,一次函数的图象与性质,二元一次方程组的解法【解答】解:(1)抛物线与x轴交于点B(-2,0),C(6,0)设交点式y=a(x+2)(x-6)抛物线过点A(0,6)-12a=6a=-12抛物线解析式为y=-12(x+2)(x-6

32、)=-12x2+2x+6=-12(x-2)2+8抛物线对称轴为直线x=2(2)过点P作PHx轴于点H,如图1PHD=90点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧2m6,PH=n=-12m2+2m+6,n0OA=OC=6,AOC=90ACO=45PDAC于点ECED=90CDE=90-ACO=45DH=PH=nPGABPGH=ABOPGHABOPHAO=GHBOGH=BOPHAO=2PH6=13nd=DH-GH=n-13n=23n=23(-12m2+2m+6)=-13m2+43m+4(2m6)(3)SPDG=12DGPH=49121223nn=4912解得:n1=72,n2=

33、-72(舍去)-12m2+2m+6=72解得:m1=-1(舍去),m2=5点P坐标为(5,72)在抛物线上存在点R,使得ARS为等腰直角三角形设直线AP解析式为y=kx+6把点P代入得:5k+6=72k=-12直线AP:y=-12x+6i)若RAS=90,如图2直线AC解析式为y=-x+6直线AR解析式为y=x+6y=x+6y=-12x2+2x+6解得:x1=0y1=6(即点A)x2=2y2=8R(2,8)ASR=OAC=45RSy轴xS=xR=2S(2,4)直线OM:y=2xy=2xy=-12x+6解得:x=125y=245M(125,245)ii)若ASR=90,如图3SAR=ACO=45

34、ARx轴R(4,6)S在AR的垂直平分线上S(2,4)M(125,245)iii)若ARS=90,如图4,SAR=ACO=45,RSy轴ARx轴R(4,6)S(4,2)直线OM:y=12xy=12xy=12x+6解得:x=6y=3M(6,3)综上所述,M1(125,245),R1(2,8);M2(125,245),R2(4,6);M3(6,3),R3(4,6)13. (2019年湖北省襄阳市)如图,在直角坐标系中,直线yx+3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x1的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象

35、限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、相似三角形的判定和性质,锐角三角函数、分类讨论与数形结合思想【解答】解:(1)yx+3,令x0,则y3,令y0,则x6,故点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3),抛物线的对称轴为x1,则点A(4,0),则抛物线的表达式为:ya(x6)(x+4)a(x22x24),即24a3,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2+x+3;(2)过点P作y轴的平行线交BC于

36、点G,作PHBC于点H,将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:yx+3,则HPGCBA,tanCABtan,则cos,设点P(x,x2+x+3),则点G(x,x+3),则PHPGcos(x2+x+3+x3)x2+x,0,故PH有最小值,此时x3,则点P(3,);(3)当点Q在x轴上方时,则点Q,A,B为顶点的三角形与ABC全等,此时点Q与点C关于函数对称轴对称,则点Q(2,3);当点Q在x轴下方时,Q,A,B为顶点的三角形与ABC相似,则ACBQAB,当ABCABQ时,直线BC表达式的k值为,则直线BQ表达式的k值为,设直线BQ表达式为:yx+b,将点B的坐标代入上式并解

37、得:直线BQ的表达式为:yx3,联立并解得:x6或8(舍去6),故点Q(Q)坐标为(8,7)(舍去);当ABCABQ时,同理可得:直线BQ的表达式为:yx,联立并解得:x6或10(舍去6),故点Q(Q)坐标为(10,12),由点的对称性,另外一个点Q的坐标为(12,12);综上,点Q的坐标为:(2,3)或(12,12)或(10,12)14. (2019年甘肃省武威市)如图,抛物线yax2+bx+4交x轴于A(3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m(1)求此抛物线的表达式;(2)过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q

38、试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;(3)过点P作PNBC,垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?【考点】二次函数的图象与性质、二次函数极值问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形结合思想【解答】解:(1)由二次函数交点式表达式得:ya(x+3)(x4)a(x2x12),即:12a4,解得:a,则抛物线的表达式为yx2+x+4;(2)存在,理由:点A、B、C的坐标分别为(3,0)、(4,0)、(0,4),则AC5,AB7,BC4,OABOBA

39、45,将点B、C的坐标代入一次函数表达式:ykx+b并解得:yx+4,同理可得直线AC的表达式为:yx+4,设直线AC的中点为M(,4),过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为,同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为:yx+,当ACAQ时,如图1,则ACAQ5,设:QMMBn,则AM7n,由勾股定理得:(7n)2+n225,解得:n3或4(舍去4),故点Q(1,3);当ACCQ时,如图1,CQ5,则BQBCCQ45,则QMMB,故点Q(,);当CQAQ时,联立并解得:x(舍去);故点Q的坐标为:Q(1,3)或(,);(3)设点P(m,m2+m+4),则点Q(m,m+4),OBOC,ABCOCB45PQN,PNPQsinPQN(m2+m+4+m4)m2+m,0,PN有最大值,当m时,PN的最大值为:15. (2019年辽宁省本溪市)抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合)过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F(1)求抛物线的解析式;(2)当PCF的面积为5时,求点P的坐标;(3)当PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标【考点】二次函数的图象与性质、二次函面积问题、探究等腰三角形问题、分类讨论与数形

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