1、第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质知识点 1将二次函数的一般式y=ax2+bx+c配方成顶点式1.将二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是()A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+42.已知二次函数y=0.5x2-x-0.5,求其顶点坐标.小明的计算结果与其他同学的不同,请你帮他检查一下,在标出的几个步骤中开始出现错误的是第几步,请写出此题正确的求解过程.小明的计算过程:解:y=0.5x2-x-0.5=x2-2x-1=x2-2x+1-1-1=(x-1)2-2,顶点坐标是(1,-2).知识
2、点2二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质3.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是()A.开口向上B.顶点坐标是(1,0)C.对称轴是直线x=1D.当x1时,y随x的增大而减小4.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图30-2-12所示,若A(1,y1),B(2,y2)是它图像上的两点,则y1与y2的大小关系是()图30-2-12A.y1y2D.不能确定5.2019百色 抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到()A.先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度B.先向左平移6个单位长度,再向上平移7个单位长度C.先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度D.先
3、向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度6.教材习题B组第2题变式 若抛物线y=x2-2px+16的顶点在y轴上,则p=;若抛物线y=x2-8x+m-1的顶点在x轴上,则m=.7.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)在如图30-2-13的平面直角坐标系内画出y=-x2+2x+2的图像;(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?图30-2-138.与抛物线y=-12x2-3x-5的形状、开口方向都相同,只是位置不同的抛物线是()A.y=-12x2+32x-52 B.y=14x2-7x+8C.y=12x2+6x+10 D.y=-x2+3x-59.201
4、9贵阳模拟 已知二次函数y=x2-2bx(b为常数),图像上有A,B两点,横坐标分别是-1,4,且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,则b的值可能是()A.-2 B.1 C.32 D.5210.2019青岛模拟 图30-2-14中是二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像的是()图30-2-1411.2018绍兴 若抛物线y=x2+ax+b与x轴的两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线过点()A.(-3,-6) B.(-3,0)C.(-3,-5)
5、D.(-3,-1)12.2019福建 若二次函数y=|a|x2+bx+c的图像经过点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(2,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3 B.y1y3y2C.y3y2y1 D.y2y3-5D.当x3时,y随x的增大而增大14.2018黔南州 二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示,那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是.x-1012y034315.已知二次函数y=x2-2x-3.(1)求出二次函数图像的顶点坐标和对称轴;(2)求这个函数图像与坐标轴的交点坐标;(3)当x在什么范
6、围内时,y随x的增大而增大?当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?16.如图30-2-16,二次函数y=-x2+bx+c的图像经过坐标原点,且与x轴交于点A(-2,0).(1)求此二次函数的表达式及顶点B的坐标;(2)在抛物线上有一点P,满足SAOP=3,请直接写出点P的坐标.图30-2-1617.如图30-2-17,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.图30-2-17教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用二次函数的图像与性质
7、在整个初中数学教材体系中起着承上启下的作用,有着广泛的应用.本节课最大的特点是结合图形来研究二次函数的性质.这充分体现了一种很重要的数学思想数形结合.因此,这一节课,无论是在知识上,还是在对学生动手能力的培养上都有着十分重要的作用教学目标知识与技能使学生掌握用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像的方法,会用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质和y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系过程与方法1.经历对二次函数图像画法的学习,培养学生领略从特殊到一般的思想,培养他们的观察、分析、归纳和总结的能力.2.本节课通过由抽象到直观,再由直
8、观到抽象的探究,培养学生分析问题、解决问题的能力,培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力情感、态度与价值观引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性教学重点难点重点会画二次函数y=ax2+bx+c的图像,并能直接通过a,b,c的值指出图像的位置和相关性质难点确定形如y=ax2+bx+c的二次函数图像的位置,能根据具体的函数给出相关的坐标系图易错点利用抛物线顶点坐标公式求解时,没有先将二次函数化为一般形式,从而错用a,b,c的值教学导入设计活动一忆一忆二次函数y=- (x-1)2+2的图像开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是
9、(1,2)活动二想一想(1)把下列各式配方:2x2-4x=2(x-1)2-2,-x2+4x-2=-(x-2)2+2.(2)把二次函数y=-x2+4x-5右边配方得y=-(x-2)2-1,其图像开口方向向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,-1)【详解详析】1.B2.解:从第步开始出现错误.正确过程如下:y=0.5x2-x-0.5=0.5(x2-2x)-0.5=0.5(x2-2x+1-1)-0.5=0.5(x-1)2-1.其顶点坐标是(1,-1).3.D解析 y=x2-2x+1=(x-1)2,抛物线开口向上,顶点坐标是(1,0),对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而增大,A,B,C选
10、项正确,D选项不正确.故选D.4.C解析 由图像可知,在对称轴直线x=-3的右侧,函数值随自变量的增大而减小.故选C.5.A解析 因为y=x2+6x+7=(x+3)2-2.所以将抛物线y=x2先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度即可得到抛物线y=x2+6x+7.6.017解析 抛物线y=x2-2px+16的顶点在y轴上,对称轴为直线x=-2p2=0,故p=0.抛物线y=x2-8x+m-1的顶点在x轴上,4ac-b24a=4(m-1)-(-8)24=0,即4m-68=0,解得m=17.7.解:(1)y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是
11、(1,3).(2)列表如下:x-10123y-1232-1图像如图所示:(3)由图可知,当x16-8b,b32.10.C解析 令ax2+(a+c)x+c=ax+c,解得x1=0,x2=-ca,二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的交点为(0,c),-ca,0.由选项A中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a0,c0,而一次函数y=ax+c中a0,故选项A不符合题意;选项B中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a0,c0,c0,两个函数的交点不符合求得的交点的特点,故选项B不符合题意;由选项C中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a0,而
12、一次函数y=ax+c中a0,交点符合求得的交点的情况,故选项C符合题意;由选项D中的图像知,二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a0,而一次函数y=ax+c中a0,c0,y1y3y2.14.C解析 二次函数y=x2-ax+b的图像的对称轴为直线x=2,a2=2,a=4,故A选项正确;当b=-4时,y=x2-4x-4=(x-2)2-8,其顶点的坐标为(2,-8),故B选项正确;当x=-1时,由图像知此时y0,即1+4+b0,b3时,y随x的增大而增大,故D选项正确.15.解:(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.(2)当x=0时,y=-3,二次
13、函数y=x2-2x-3的图像与y轴的交点为(0,-3).当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点为(3,0),(-1,0).综上可得,这个函数图像与坐标轴的交点坐标为(0,-3),(3,0),(-1,0).(3)抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线x=1,开口向上,当x1时,y随x的增大而增大;当x1时,y随x的增大而减小.16.解析 (1)由于二次函数的图像经过原点和点A,故将两点的坐标代入y=-x2+bx+c求解即可.(2)设P(x,y),则SAOP=12|OA|y|=3,求得y的值,再将y的值代入函数表达式求解x,即可得出点
14、P的坐标.解:(1)将A,O两点的坐标代入函数表达式y=-x2+bx+c,得c=0,-4-2b+c=0,解得b=-2,c=0,二次函数的表达式为y=-x2-2x.y=-x2-2x=-(x+1)2+1,顶点B的坐标为(-1,1).(2)点P的坐标为(-3,-3)或(1,-3).点评 本题考查了二次函数表达式的求法、数形结合的思想,以及利用点的坐标求三角形的面积.17.解:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线的顶点坐标为(1,4).(2)连接BC,交抛物线的对称轴l于点P.点A,B关于直线l对称,则此时PA+PC的值最小.设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k0).由题意易知点C的坐标为(0,3),点B的坐标为(3,0),0=3k+b,3=b,解得k=-1,b=3,直线BC的函数表达式为y=-x+3.当x=1时,y=-1+3=2,当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
