1、回顾与反思类型之一二次函数的表达式1.2019济宁 将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线的函数表达式是()A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-22.已知二次函数的图像经过点(0,3),(1,4),(3,0),求该二次函数的表达式.3.如图30-X-1,ABCD与抛物线y=-x2+bx+c相交于点A,B,D,点C在抛物线的对称轴上,且在x轴上,已知点B(-1,0),BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BD的函数表达式.图30-X-14.如图30-X-2,直线y=-x-2交
2、x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点Cm,-92在抛物线上,求m的值.图30-X-2类型之二二次函数的图像和性质5.2018上海一模 将抛物线y=-(x+1)2+3向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的函数表达式为()A.y=-(x+1)2+1 B.y=-(x-1)2+3C.y=-(x+1)2+5 D.y=-(x+3)2+36.函数y=k(x-k)与y=kx2,y=kx(k0),在同一平面直角坐标系内的图像可能是() 图30-X-3 图30-X-47.2019巴中 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图30
3、-X-4所示,有下列结论:b24ac;abc0;a+b+c0.其中正确的是()A. B.C. D.类型之三二次函数与一元二次方程、不等式8.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0 B.1C.2 D.39.已知二次函数y=ax2+2ax+c的部分图像如图30-X-5,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个近似根分别是x11.3和()A.x2-1.3 B.x2-2.3C.x2-0.3 D.x2-3.3 图30-X-5 图30-X-610.二次函数y=-x2+bx+c的部分图像如图30-X-6所示,对称轴是直线x=-1,与x轴交于点(1,0).若y0 B.x1
4、C.x1 D.-3x1类型之四二次函数的实际应用11.2018连云港 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是()A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m12.2018绵阳 图30-X-7是一座抛物线型拱桥的示意图,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面的宽度增加了m.图30-X-713.2019青岛 某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售
5、单价x(元/件)之间满足一次函数关系,其图像的一部分如图30-X-8所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数表达式(不用体现x的取值范围);(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元/件销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图30-X-8类型之五数学活动14.2019唐山路南区一模 如图30-X-9,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2-45x+3的绳子.(1)求绳子最低点离地面的距离;(2)因实际需要,在离
6、AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为14,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面的距离为k,当2k2.5时,求m的取值范围. 图30-X-9教师详解详析【详解详析】1.D解析 y=x2-6x+5=(x-3)2-4,即抛物线的顶点坐标为(3,-4),把点(3,-4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的点的坐标为(4,-2),所以平移后得到的抛物线的函数表达式为y=(x-4)2-2.2.解:设所求二次函数的
7、表达式为y=ax2+bx+c(a0).根据题意,得c=3,a+b+c=4,9a+3b+c=0,解这个方程组得a=-1,b=2,c=3,所以所求二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.点评 若点在函数图像上,则点的坐标满足函数表达式.因为已知二次函数图像上三点的坐标,所以本题可选用二次函数的一般式,采用“待定系数法”求出未知系数.3.解:(1)B(-1,0),BC=4,C(3,0),即抛物线的对称轴为直线x=3.点B在抛物线上,-1-b+c=0,-b2(-1)=3,解得b=6,c=7,则抛物线的函数表达式为y=-x2+6x+7.(2)四边形ABCD为平行四边形,ADBC点A与点D关于直线x=3对
8、称,且AD=4,点A的横坐标为1,点D的横坐标为5.把x=5代入抛物线的函数表达式得y=12,即D(5,12).设直线BD的函数表达式为y=kx+b,把点B与点D的坐标代入,得5k+b=12,-k+b=0,解得k=2,b=2,则直线BD的函数表达式为y=2x+2.4.解:(1)对于直线y=-x-2,令x=0,则y=-2,点B的坐标为(0,-2).令y=0,则x=-2,点A的坐标为(-2,0).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k.抛物线的顶点为A,且经过点B,y=a(x+2)2,-2=4a,解得a=-12,抛物线的表达式为y=-12(x+2)2,即y=-12x2-2x-2.(2)点Cm,-
9、92在抛物线y=-12(x+2)2上,-12(m+2)2=-92,(m+2)2=9,解得m1=1,m2=-5.故m的值为1或-5.5.B解析 将抛物线y=-(x+1)2+3向右平移2个单位长度,新抛物线的表达式为y=-(x+1-2)2+3=-(x-1)2+3.故选B.6.C解析 一次函数y=k(x-k)=kx-k2,k0,-k20,即b24ac,正确;由二次函数图像可知,a0,b0,abc0,故错误;对称轴为直线x=-b2a=-1,b=2a,2a+b-c=4a-c.a0,4a0,-c0,2a+b-c=4a-c0,故错误;对称轴为直线x=-1,由题图可知当x=-3时,y0,当x=1时,y=a+b
10、+c0,故正确.8.C解析 抛物线y=2x2-22x+1.令x=0,得到y=1,即抛物线与y轴的交点坐标为(0,1);令y=0,得到2x2-22x+1=0,即(2x-1)2=0,解得x1=x2=22,即抛物线与x轴的交点坐标为22,0.综上可得,抛物线与坐标轴的交点个数是2.故选C.9.D解析 由二次函数y=ax2+2ax+c的部分图像,得对称轴是直线x=-1,(x1,0),(x2,0)关于对称轴对称,x1-(-1)=-1-x2.解得x2-3.3.10.C解析 设抛物线与x轴的另一交点坐标为(x,0),则x+12=-1,得x=-3,抛物线与x轴的另一交点坐标为(-3,0),当y0时,x的取值范
11、围是x1.11.D解析 选项A,当t=9时,h=136;当t=13时,h=144;所以火箭点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,此选项错误;选项B,当t=24时,h=10,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,此选项错误;选项C,当t=10时,h=141,此选项错误;选项D,由h=-t2+24t+1=-(t-12)2+145知火箭升空的最大高度为145 m,此选项正确.故选D.12.(42-4)解析 如图,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则抛物线顶点C的坐标为(0,2),点A的坐标(-2,0),点B的坐标为(2,0).设抛物线的表达式为y
12、=ax2+2,将点A的坐标(-2,0)代入,得a=-0.5,所以抛物线的表达式为y=-0.5x2+2.当y=-2时,-2=-0.5x2+2,解得x=22.所以水面宽度增加到42 m,比原先的宽度增加了(42-4) m.13.解:(1)设该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数表达式为y=kx+b.将点(30,100),(45,70)代入一次函数表达式,得100=30k+b,70=45k+b,解得k=-2,b=160,故该函数的表达式为y=-2x+160.(2)由题意,得w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,30x50.-20,故当x0,抛物线顶点为最低点.y=11
13、0x2-45x+3=110(x-4)2+75,绳子最低点离地面的距离为75米.(2)由(1)可知,绳子对称轴为直线x=4,则BD=8,令x=0,得y=3,A(0,3),C(8,3).由题意,得抛物线F1的顶点坐标为(2,1.8).设F1的函数表达式为y=a(x-2)2+1.8,将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3,抛物线F1的函数表达式为y=0.3(x-2)2+1.8,当x=3时,y=0.31+1.8=2.1,MN的长度为2.1米.(3)MN=CD=3,根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,抛物线F2的顶点横坐标为12(8-m)+m=12m+4,抛物线F2的顶点坐标为12m+4,k,抛物线F2的表达式为y=14x-12m-42+k,把C(8,3)代入,得148-12m-42+k=3,解得k=-144-12m2+3,k=-116(m-8)2+3,k是关于m的二次函数.由已知得m8,k随m的增大而增大,当k=2时,-116(m-8)2+3=2,解得m1=4,m2=12(不符合题意,舍去),当k=2.5时,-116(m-8)2+3=2.5,解得m1=8-22,m2=8+22(不符合题意,舍去),m的取值范围是4m8-22.
