1、专题训练(一)抛物线轴对称性的运用应用一求对称轴或点的坐标1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴的交点坐标分别为(2,0)和(-4,0),则该二次函数图像的对称轴是直线()A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-22.2018玄武区一模 已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为()A.(-1,0) B.(4,0)C.(5,0) D.(-6,0)3.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表:x-3-2-101y-60466容易看出,(-2,0)是它与x轴的一个交点坐标,则
2、它与x轴的另一个交点坐标为.4.如图1-ZT-1所示,二次函数y=-x2+2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;(3)该二次函数图像上有一点D(x,y)(其中x0,y0),使SABD=SABC,求点D的坐标.图1-ZT-15.如图1-ZT-2,抛物线y=12x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且A(-1,0),连接AC,BC.(1)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;(2)判断ABC的形状,并证明你的结论;(3)M是抛物线对称轴上的一个动点,当ACM的周长最小时,求点M的坐标.图1-ZT-2运用二求二
3、次函数的表达式6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图像上,则这个二次函数的表达式为.7.如图1-ZT-3,抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC的三个顶点,已知BCx轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)求A,B,C三点的坐标和抛物线的函数表达式.图1-ZT-3运用三解方程8.如图1-ZT-4,抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1,如果关于x的方程ax2+bx-8=0(a0)的一个根为4,那么该方程的另一个根为()图1-ZT-4A.-4 B.-2 C
4、.1 D.39.若二次函数y=-x2+k的部分图像如图1-ZT-5所示,则关于x的一元二次方程-x2+k=0的一个根是x1=2,另一个根是x2=.图1-ZT-510.若二次函数y=ax2+bx+c的图像的最低点的坐标为(1,-1),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1的根为.运用四求自变量的取值范围11.若二次函数y=ax2+bx+c(a0成立的x的取值范围是()A.x2 B.-4x2C.x-4或x2 D.-4x212.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x-10123y105212则当y5时,x的取值范围是.运用五比较函数值的大小13.已知(-1,
5、y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则()A.y1y2y3 B.y3y2y1C.y3y1y2 D.y2y3y114.若二次函数y=x2-6x+c的图像经过A(-1,y1),B(2,y2),C(1+2,y3)三点,则y1,y2,y3按从大到小排列是.运用六求图形的面积15.关于x的二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称,则顶点A和二次函数图像与x轴的两个交点B,C所构成的ABC的面积为()A.1 B.2 C.12 D.3216.如图1-ZT-6,O的半径为2,C1是函数y=2x2的图像,C2是函数y=-2x2的图像,则图中阴影部分
6、的面积为.图1-ZT-617.已知函数y=-(x+1)2+1(-1x0),-(x-1)2+1(0x2),其图像如图1-ZT-7中的实线部分,图像上两个最高点分别是A,B,连接AB,则图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积是.图1-ZT-7教师详解详析1. B解析 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴的交点坐标分别为(2,0)和(-4,0),2. 该二次函数图像的对称轴是直线x=2+(-4)2=-1.故选B.2.B解析 二次函数y=x2-5x+m的图像的对称轴为直线x=52.该二次函数图像与x轴的一个交点坐标为(1,0),另一个交点坐标为522-1,0,即(4,0).故选B.3.(3
7、,0)解析 抛物线y=ax2+bx+c经过(0,6),(1,6)两点,对称轴为直线x=0+12=12.又点(-2,0)关于此对称轴对称的点为(3,0),因此,它与x轴的另一个交点坐标为(3,0).4.解:(1)将(3,0)代入二次函数表达式,得-32+23+m=0,解得m=3.(2)由(1)可知二次函数表达式为y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0.解得x=3或x=-1,点B的坐标为(-1,0).(3)SABD=SABC,点D在第一象限,点C,D关于抛物线的对称轴对称.由二次函数表达式可得其图像的对称轴为直线x=1,点C的坐标为(0,3),点D的坐标为(2,3).5.解:(1)
8、点A(-1,0)在抛物线y=12x2+bx-2上,12(-1)2+b(-1)-2=0,解得b=-32,抛物线的函数表达式为y=12x2-32x-2.y=12x2-32x-2=12x-322-258,顶点D的坐标为32,-258.(2)ABC是直角三角形.证明:当x=0时,y=-2,C(0,-2),则OC=2.当y=0时,12x2-32x-2=0,解得x1=-1,x2=4,则B(4,0).OA=1,OB=4,AB=5.AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形.(3)由题意知A,B两点关于抛物线的对称轴对称,故直线BC与对称
9、轴的交点即为使ACM的周长最小时的点M.由B(4,0),C(0,-2)易得直线BC的函数表达式为y=12x-2.当x=32时,y=1232-2=-54,点M的坐标为32,-54.6.y=29x2+49x-169解析 对称轴为直线x=-1,且图像与x轴交于A,B两点,AB=6,图像与x轴的两个交点坐标为(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.又顶点在函数y=2x的图像上,y=2(-1)=-2.顶点坐标为(-1,-2).设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-2,把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=29.y=29(x+1)2-2=29x2+49x-169.7.解:(1)抛物线的对称轴为
10、直线x=-5a2a=52.(2)由抛物线y=ax2-5ax+4可知C(0,4).对称轴为直线x=52,BCx轴,BC=5,B(5,4).又AC=BC=5,OC=4,在RtAOC中,由勾股定理,得AO=3,A(-3,0),B(5,4),C(0,4).把点A的坐标代入y=ax2-5ax+4,得0=9a+15a+4,解得a=-16,y=-16x2+56x+4.8.B解析 关于x的方程ax2+bx-8=0有一个根为4,抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为(4,0).抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),方程ax2+bx-8=0的另一个根为x=-2.故选B.
11、9.-2解析 由于关于x的一元二次方程-x2+k=0的一个根是x1=2,则抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),而抛物线的对称轴为y轴,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),所以方程-x2+k=0的另一个根为x2=-2.10.x1=x2=111.D解析 根据二次函数的图像经过点(2,0),且对称轴为直线x=-1,可得函数图像与x轴的另一个交点坐标为(-4,0).由于a0时,函数图像在x轴上方,由图像可知x的取值范围是-4x2.故选D.12.0x4解析 由表中数据与抛物线的轴对称性,可知抛物线y=ax2+bx+c过点(0,5),(4,5),可知使y5的x的取值范围为0x4.13.C解析
12、 抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2,且开口向下,x=-2时取得最大值.-4-1,且-4到-2的距离大于-1到-2的距离,根据二次函数的对称性,知y3y1.y3y1y2y3解析 二次函数y=x2-6x+c的图像开口向上,且对称轴为直线x=3,A(-1,y1),B(2,y2),C(1+2,y3)在对称轴的左侧,且y随x的增大而减小,y1y2y3.15.A解析 二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称,对称轴为直线x=m-1=0,m=1,y=-x2+1,顶点A的坐标为(0,1),与x轴的两个交点B,C的坐标分别为(1,0),(-1,0)或(-1,0),(1,0),ABC的面积=1221=1.故选A.16.2解析 图中阴影部分的面积为半圆面积,图中阴影部分的面积为1222=2.17.2解析 如图,过点A作ADx轴于点D,过点B作BEx轴于点E.y=-(x+1)2+1(-1x0),-(x-1)2+1(0x2),A(-1,1),B(1,1),ABx轴,四边形ADEB是矩形,AB=2,AD=1,图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积=矩形ADEB的面积=21=2.故答案为2.
