1、5.3用待定系数法确定二次函数表达式知识点 1用一般式求二次函数的表达式1.已知点A(-1,0)在抛物线y=ax2+2上,则此抛物线的函数表达式为()A.y=x2+2 B.y=x2-2C.y=-x2+2 D.y=-2x2+22.如图5-3-1所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像,那么a的值是()图5-3-1A.2 B.-2 C.-52 D.23.已知二次函数的图像如图5-3-2所示,则这个二次函数的表达式为()图5-3-2A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+34.2019苏州工业园区一模 若二次函数y=ax2+bx-3的图
2、像经过点(-1,0),(3,0),则其函数表达式为.5.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的函数表达式是.6.教材例3变式 已知二次函数的图像经过点(0,3),(-3,0),(2,-5).(1)试确定此二次函数的表达式;(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图像上.7.2018嘉定区一模 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的坐标(x,y)满足下表:x-1012y-4-228(1)求这个二次函数的表达式;(2)用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.知识点 2用顶点式求二次函数的表达式8.已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2,4),且过另
3、一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为()A.y=-2(x+2)2+4 B.y=-2(x-2)2+4C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2-49.二次函数的部分图像如图5-3-3所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为 ()图5-3-3A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3 D.y=-x2-2x+310.2019泰州节选 如图5-3-4,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图像的顶点坐标为(4,-3),该图像与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.求该二次函数的表达式. 图5-3-411.如图5-3-5,二次函数
4、y=x2+bx+c的图像过点B(0,-2),它与反比例函数y=-8x的图像交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为()图5-3-5A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+212.把抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到的新抛物线的顶点坐标为A(1,-4),且经过点(2,-3),则原抛物线的函数表达式为.13.若二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,则此函数的表达式为.14.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:x-10234y522510(1)根据上表填空:这个抛物线
5、的对称轴是,抛物线一定会经过点(-2,);抛物线在对称轴右侧的部分是的(填“上升”或“下降”).(2)如果将抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线的函数表达式.15.如图5-3-6,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3)及点B.(1)求此二次函数的表达式.(2)在抛物线上是否存在一点P,使ABP的面积为10,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图5-3-616.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像过点A(-1,0)和C(0,2).(1)求二次函数的表达式及其图像的对称轴;(2)将二次函数y=-x2+bx+c的图像在直线y
6、=1上方的部分沿直线y=1翻折,图像其余的部分保持不变,得到的新函数图像记为G,点M(m,y1)在图像G上,且y10,求m的取值范围. 图5-3-7教师详解详析1.D解析 将点A(-1,0)代入表达式y=ax2+2,得a+2=0,解得a=-2,故函数表达式为y=-2x2+2.2.B解析 根据图示知,二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像经过原点(0,0),0=4-a2,解得a=2.又该函数图像的开口向下,a0,a=-2.故选B.3.B解析 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.抛物线过(-1,0),(3,0),(0,-3),a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=-3,解得a=1,b=-
7、2,c=-3,这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故选B.4.y=x2-2x-3解析 把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3,得a-b-3=0,9a+3b-3=0,解得a=1,b=-2,二次函数的表达式为y=x2-2x-3.5.y=-38x2+34x+36.解:(1)设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将(0,3),(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得c=3,9a-3b+c=0,4a+2b+c=-5,解得a=-1,b=-2,c=3,此二次函数的表达式是y=-x2-2x+3.(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2(-2)+3=3,点P(-2,3)在此
8、二次函数的图像上.7.解:(1)由题意,得a-b+c=-4,c=-2,a+b+c=2,解这个方程组,得a=1,b=3,c=-2,所以这个二次函数的表达式是y=x2+3x-2.(2)y=x2+3x-2=x+322-174,所以这个二次函数图像的顶点坐标为-32,-174,对称轴是直线x=-32.8.B解析 设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4,则-4=(-2)2a+4,解得a=-2.故这个二次函数的表达式为y=-2(x-2)2+4.9.D解析 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1,过点(-3,0),(0,3).设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+k.将(-3,0),(0,3)代入,得4
9、a+k=0,a+k=3,解得a=-1,k=4,则抛物线的函数表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.故选D.10.解:由题意可设二次函数的表达式为y=a(x-4)2-3.把A(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=13.故该二次函数的表达式为y=13(x-4)2-3.11.A解析 将A(m,4)代入反比例函数表达式,得4m=-8,m=-2,A(-2,4).将A(-2,4),B(0,-2)分别代入二次函数表达式,得4-2b+c=4,c=-2,解得b=-1,c=-2,故这个二次函数的表达式为y=x2-x-2.12.y=(x-3)2-1解析 设新抛物线的函数表达式为y=a(x-1
10、)2-4.该抛物线经过点(2,-3),-3=(2-1)2a-4,a=1,新抛物线的函数表达式为y=(x-1)2-4,原抛物线的函数表达式为y=(x-3)2-1.13.y=-x2-2x+3解析 二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,顶点的横坐标为-1,即顶点坐标为(-1,4).设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+4.将x=1,y=0代入,得a=-1,则抛物线的函数表达式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.14.解:(1)当x=0和x=2时,y的值均为2,抛物线的对称轴为直线x=1,当x=-2和x=4时,y的值相同,抛物线会经过点(-2,10).故答案
11、为直线x=1,10.抛物线的对称轴为直线x=1,且当x取2,3,4时,y的值逐渐增大,抛物线在对称轴右侧的部分是上升的.故答案为上升.(2)将点(-1,5),(0,2),(2,2)代入y=ax2+bx+c中,得a-b+c=5,c=2,4a+2b+c=2,解得a=1,b=-2,c=2,抛物线的函数表达式为y=x2-2x+2.点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,平移后的抛物线的函数表达式为y=x2-2x+5.15.解:(1)二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3),1+b+c=0,c=-3,解得b=2,c=-3.二次函数的表达式为y=x2+2x-3.(2)存在.当y=0
12、时,x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,A(1,0),B(-3,0),AB=4.设P(m,n),ABP的面积为10,12AB|n|=10,解得n=5.当n=5时,m2+2m-3=5,解得m=-4或m=2,点P的坐标为(-4,5)或(2,5);当n=-5时,m2+2m-3=-5,方程无解.综上,点P的坐标为(-4,5)或(2,5).16.解:(1)把A(-1,0)和C(0,2)分别代入二次函数的表达式,得-1-b+c=0,c=2,解得b=1,c=2,则二次函数的表达式为y=-x2+x+2.y=-x2+x+2=-x-122+94,其图像的对称轴为直线x=12.(2)顶点P12,94翻折后成为N12,-14,翻折部分的表达式为y=x-122-14.把y=0代入y=-x2+x+2,得-x2+x+2=0,解得x=2或x=-1.把y=0代入y=x-122-14,得x-122-14=0,解得x=1或x=0,根据图像G可知,当y10时,m的取值范围为-1m0或1m2.
