1、5.4第1课时二次函数与一元二次方程知识点 1二次函数与一元二次方程的关系1.2018南通期中 在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-4x的图像与x轴的交点坐标是()A.(0,0) B.(4,0)C.(4,0),(0,0) D.(2,0),(-2,0)2.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是()A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=33.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-5,则二次函数y=ax2+bx
2、+c的图像的对称轴是.4.已知函数y=-2x2+4x+b的部分图像如图5-4-1所示,则关于x的一元二次方程-2x2+4x+b=0的解为.图5-4-1知识点 2二次函数的图像与x轴交点的个数与相应一元二次方程的根的个数之间的关系5.二次函数y=x2-2x+1的图像与x轴的交点情况是()A.有一个交点 B.有两个交点C.没有交点 D.无法确定6.若二次函数y=2x2+mx+8的图像如图5-4-2所示,则m的值是()图5-4-2A.-8 B.8 C.8 D.67.2018襄阳 已知二次函数y=x2-x+14m-1的图像与x轴有交点,则m的取值范围是 ()A.m5 B.m2C.m28.若抛物线y=x
3、2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.9.不论自变量x取什么实数,二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,你认为m的取值范围是.10.不画图像,判断下列二次函数的图像与x轴的公共点的个数.(1)y=x2-5x+6;(2)y=-x2+4x-4;(3)y=2x2+3x+5.11.已知关于x的函数y=(m2-1)x2-(2m+2)x+2的图像与x轴只有一个公共点,求m的值.12.2017徐州 若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1 D.b113.一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3,则二次函数y=2x2-bx-c的图像必过点(
4、)A.(-3,0) B.(3,0)C.(-3,27) D.(3,27)14.2019凉山 已知二次函数y=x2+x+a的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且1x12+1x22=1,求a的值.15.2018南京 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?16.如图5-4-3,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数表达式;(2)求直线AB对应的函
5、数表达式. 图5-4-317.如图5-4-4,二次函数y=(x-2)2+m的图像与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上的点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式;(2)根据图像,写出满足kx+b(x-2)2+m的x的取值范围.图5-4-4教师详解详析1.C2.B解析 二次函数y=x2-3x+m的图像与x轴的一个交点坐标为(1,0),0=12-3+m,解得m=2,二次函数为y=x2-3x+2.令y=0,则x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,这就是一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根.故选B.3.
6、直线x=-2解析 关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-5,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为1,-5,对称轴为直线x=1-52=-2.4.x1=-1,x2=3解析 由图像可得出抛物线的对称轴为直线x=1,图像与x轴的一个交点坐标为(3,0),图像与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),关于x的一元二次方程-2x2+4x+b=0的解为x1=-1,x2=3.5.A解析 二次函数y=x2-2x+1,b2-4ac=4-4=0,二次函数图像与x轴的交点情况是有一个交点.故选A.6.B解析 由图可知,抛物线与x轴只有一个交点,b2-4ac=m2-4
7、28=0,解得m=8.又对称轴为直线x=-m220,m的值为8.故选B.7.A解析 二次函数的图像与x轴有交点,b2-4ac=(-1)2-414m-10,解得m5.故选A.8.m99.m92解析 二次函数y=2x2-6x+m的函数值总是正值,a=20,函数图像与x轴无交点,即b2-4ac0,36-8m92.10.解:(1)令y=0,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,二次函数y=x2-5x+6的图像与x轴有两个交点.(2)令y=0,得-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,二次函数y=-x2+4x-4的图像与x轴有一个交点.(3)令y=0,得2x2+3x+5=0.b2-4ac=32
8、-425=-310,且b0,解得b0,解得a0,即m-3时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.16.解:(1)抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A.一元二次方程ax2+2ax+1=0的根的判别式等于0,即4a2-4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,这条抛物线对应的函数表达式为y=x2+2x+1.(2)y=x2+2x+1=(x+1)2,顶点A的坐标为(-1,0).C是线段AB的中点,即点A与点B关于点C对称,点B的横坐标为1.当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,点B的坐标为(1,4).设直线AB对应的函数表达式为y=kx+b.把A(-1,0),B(1,4)分别
9、代入y=kx+b,得0=-k+b,4=k+b,解得k=2,b=2,直线AB对应的函数表达式为y=2x+2.17.解析 (1)将点A的坐标(1,0)代入y=(x-2)2+m,求出m的值,根据点的对称性,求出点B的坐标,再用待定系数法求出一次函数的表达式;(2)根据图像和交点A,B的坐标可直接求出满足kx+b(x-2)2+m的x的取值范围.解:(1)将点A(1,0)的坐标代入y=(x-2)2+m,得(1-2)2+m=0,解得m=-1,二次函数的表达式为y=(x-2)2-1.当x=0时,y=4-1=3,故点C的坐标为(0,3).由于点C和点B关于抛物线的对称轴对称,点B的坐标为(4,3).将A(1,0),B(4,3)分别代入y=kx+b,得k+b=0,4k+b=3,解得k=1,b=-1,则一次函数的表达式为y=x-1.(2)点A,B的坐标分别为(1,0),(4,3),当kx+b(x-2)2+m时,1x4.
