1、2020年中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用学案【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式为(a0)2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m0时，方程的解为；当m0时，方程的解；当m0时，方程没有实数解 （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的
2、形式，再利用直接开平方法求得方程的解（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为 （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0，所以方程有两个不相等的实数根（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，.类型二、分式方程3解方程：【
3、思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以，得 【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.举一反三：【变式1】解分式方程：【答案】方程两边同乘以，得 经检验：是原方程的解，所以原方程的解是【变式2】方程的解是x= 【答案】.4若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为
4、零的未知数的值.举一反三：【变式】若关于的方程无解，则的值是 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度静水速度水流速度； 逆流速度静水速度水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度静水速度水流速度；
5、 逆流速度静水速度水流速度；静水速度(顺流速度逆流速度)2；水流速度(顺流速度逆流速度)2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分
6、之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=0.9，x=10.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10% 答：该产品的成本价平均每月应降低10%【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍
7、要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A B C D 2关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A1 B12 C13 D253若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A B 且 C D 且4若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（ ）A1 B2 C1或2 D0 5在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2
8、，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）. A BC D6甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. 二、填空题7若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+60的解集是_ _ 8如果方程ax22x10有两个不等实根，则实数a的取值范围是_ _9某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为，可列方程为 _ 10当为 时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11如果分式方程 = 无解, 则
9、m = .12已知关于x 的方程 = m有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）； （2）.14一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度. 15关于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范围； （2）若的值. 16如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的
10、平方，整理即可得到B项是正确的.2.【答案】C； 【解析】 ，解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=1.原方程化为，=3.【答案】B；【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则=b24ac0，即4+4k0.解得且. 4.【答案】B；【解析】有题意解得.5.【答案】B ；【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化简得.6.【答案】B；【解析】由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为二、填空题7【答案】a-2且a0；【解析】不可忘记a08【答案】a1且a0；【解析】0且a0.9【答案】； 【解析】平均降低率公式为 (a为原来
11、数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)10【答案】m=；x1=x2=2【解析】由题意得，=(4)24(m)=0即164m+2=0，m=当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=211【答案】-1；【解析】原方程可化为： 原分式方程无解 =1，故代入一次方程有 所以，当时，原分式方程无解.12【答案】当且时； 【解析】原方程可化为： 当时，得，原分式方程无解，不符合题意舍去 当时, =，解之 所以，当且时，原分式方程有实数根三、解答题13.【答案与解析】（1）部分移项得：x2经检验：x2是原分式方程的根.（2）原方程可化为：14.【答案与解析】 设这列火车的速度为x千米/时 根据
12、题意，得 方程两边都乘以12x，得 解得 经检验，是原方程的根 答：这列火车原来的速度为75千米/时.15.【答案与解析】 （1）由题意得：解得： （2）由得，说明：1可利用代入原求值式中求解；16.【答案与解析】 设AD=BC=xm，则AB=（802x）m （1）由题意得：x（802x）=750 解得：x1=15， x2=25 ， 当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m 答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2. （2）由题意得：x（802x）=810 =404405=16001620=200 方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.
