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2020年中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用学案含解析

1、2020年中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用学案【考纲要求】1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;2. 会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程它的一般形式为(a0)2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:把方程变成的形式,当m0时,方程的解为;当m0时,方程的解;当m0时,方程没有实数解 (2)配方法:通过配方把一元二次方程变形为的

2、形式,再利用直接开平方法求得方程的解(3)公式法:对于一元二次方程,当时,它的解为 (4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解要点诠释:直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为0方程有两个不相等的实数根;0方程有两个相等的实数根;0,所以方程有两个不相等的实数根(2)解:因为方程的两根互为相反数,所以,根据方程的根与系数的关系得,解得,所以原方程可化为,解得,.类型二、分式方程3解方程:【

3、思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程,求出整式方程的解,再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以,得 【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根.举一反三:【变式1】解分式方程:【答案】方程两边同乘以,得 经检验:是原方程的解,所以原方程的解是【变式2】方程的解是x= 【答案】.4若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程,再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.【答案】D;【解析】由题意得增根是:化简原方程为:把代入解得,故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根,是使分母为

4、零的未知数的值.举一反三:【变式】若关于的方程无解,则的值是 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度静水速度水流速度; 逆流速度静水速度水流速度”,两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时 由题意,得 答:水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时.【总结升华】流水问题公式:顺流速度静水速度水流速度;

5、 逆流速度静水速度水流速度;静水速度(顺流速度逆流速度)2;水流速度(顺流速度逆流速度)2.举一反三:【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【答案】设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵.6某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分

6、之几?【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x,那么两个月后的销售价格为625(1-20%)(1+6%),两个月后的成本价为500(1-x)2,然后根据已知条件即可列出方程,解方程即可求出结果【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x 625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500 整理,得500(1-x)2=405,(1-x)2=0.81 1-x=0.9,x=10.9, x1=1.9(舍去),x2=0.1=10% 答:该产品的成本价平均每月应降低10%【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,要求变化后的销售利润不变,即利润仍

7、要达到125元,关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用巩固练习(基础)【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程时,原方程应变形为( )A B C D 2关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( )A1 B12 C13 D253若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )A B 且 C D 且4若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于( )A1 B2 C1或2 D0 5在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2

8、,设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是( ). A BC D6甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度( ) A. B. C. D. 二、填空题7若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则不等式3a+60的解集是_ _ 8如果方程ax22x10有两个不等实根,则实数a的取值范围是_ _9某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为,可列方程为 _ 10当为 时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根;此时这两个实数根是 .11如果分式方程 = 无解, 则

9、m = .12已知关于x 的方程 = m有实数根,则 m 的取值范围是 .三、解答题13. (1); (2).14一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度. 15关于x的一元二次方程、 (1)求p的取值范围; (2)若的值. 16如图,利用一面墙,用80米长的篱笆围成一个矩形场地(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米?(2)能否使所围的矩形场地面积为810平方米,为什么? 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B;【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的

10、平方,整理即可得到B项是正确的.2.【答案】C; 【解析】 ,解得m=5(此时不满足根的判别式舍去)或m=1.原方程化为,=3.【答案】B;【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根,则=b24ac0,即4+4k0.解得且. 4.【答案】B;【解析】有题意解得.5.【答案】B ;【解析】(80+2x)(50+2x)=5400,化简得.6.【答案】B;【解析】由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为二、填空题7【答案】a-2且a0;【解析】不可忘记a08【答案】a1且a0;【解析】0且a0.9【答案】; 【解析】平均降低率公式为 (a为原来

11、数,x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.)10【答案】m=;x1=x2=2【解析】由题意得,=(4)24(m)=0即164m+2=0,m=当m=时,方程有两个相等的实数根x1=x2=211【答案】-1;【解析】原方程可化为: 原分式方程无解 =1,故代入一次方程有 所以,当时,原分式方程无解.12【答案】当且时; 【解析】原方程可化为: 当时,得,原分式方程无解,不符合题意舍去 当时, =,解之 所以,当且时,原分式方程有实数根三、解答题13.【答案与解析】(1)部分移项得:x2经检验:x2是原分式方程的根.(2)原方程可化为:14.【答案与解析】 设这列火车的速度为x千米/时 根据

12、题意,得 方程两边都乘以12x,得 解得 经检验,是原方程的根 答:这列火车原来的速度为75千米/时.15.【答案与解析】 (1)由题意得:解得: (2)由得,说明:1可利用代入原求值式中求解;16.【答案与解析】 设AD=BC=xm,则AB=(802x)m (1)由题意得:x(802x)=750 解得:x1=15, x2=25 , 当x=15时,AD=BC=15m,AB=50m当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m 答:当平行于墙面的边长为50m,斜边长为15m时,矩形场地面积为750m2;或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为750m2. (2)由题意得:x(802x)=810 =404405=16001620=200 方程无解,即不能围成面积为810m2的矩形场地.