1、圆锥曲线的综合问题1已知椭圆 1(a b0)的离心率 e ,左、右焦点分别为 F1,F 2,且 F2 与抛物线x2a2 y2b2 33y24x 的焦点重合(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 ACBD,求|AC|BD|的最小值2已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,离心率为 ,点 P 在椭圆x2a2 y2b2 13C 上,且PF 1F2 的面积的最大值为 2 .来源:2(1)求椭圆 C 的方程;源:Z,xx,k.Com(2)已知直线 l:ykx2( k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,若
2、在 x 轴上存在点 G,使得|GM|GN|,求点 G 的横坐标的取值范 围3.已知椭圆 C1: 1(a0)与抛物线 C2:y 22 ax 相交于 A,B 两点 ,且两曲线的焦点x2a2 y23F 重合(1)求 C1,C 2 的方程;(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M,Q 两点,与抛物线分别交于 P,N 两点,是否存在斜率为 k(k0)的直线 l,使得 2 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由|PN|MQ|4已知 M 是椭圆 C: 1(ab0)上的一点,F 1,F 2 是该椭圆的左、右焦点,(3, 12) x2a2 y2b2且|F 1F2|2 .3(1)求椭圆 C 的方
3、程;来源:ZXXK(2)设点 A,B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB,AB 的斜率分别为k1,k 2,k ,且 k1k2k 2.试探究| OA|2| OB|2 是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由5已知椭圆 C: 1(ab0)的上顶点为点 D,右焦点为 F2(1,0),延长 DF2 交椭圆 Cx2a2 y2b2于点 E,且满足|DF 2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过点 F2 作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A,B 两点,设椭圆 C 的左顶点为点 H,且直线 HA,HB 分别与直线 x3 交于 M,N 两点,记直线
4、F2M,F 2N 的斜率分别为 k1,k 2,则 k1 与 k2 之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由6已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ,记动点 P 的( 3, 0)433 32轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程;(2)设 M(m,n)是曲线 E 上的动点,直线 l 的方程为 mxny1.设直线 l 与圆 x2y 21 交于不同两点 C,D,求| CD|的取值范围;求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程,并探究:若 M(m,n)是曲线:Ax 2By 21(A B0)上的动点,是否存在与直线 l:mxny1 恒相切的定曲线 ?若存在,直接写
5、 出曲线 的方程;若不存在,说明理由7. 已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A 2,右焦点为 F2(1,0),点 Bx2a2 y2b2在椭圆 C 上(1, 32)(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l:yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依 次交于 M,N 两点,已知直线 A1M 与A2N 相交于点 G,证明:点 G 在定直线上,并求出定直线的方程1已知椭圆 1(a b0)的离心率 e ,左、右焦点分别为 F1,F 2,且 F2 与抛物线x2a2 y2b2 33y24x 的焦点重合(1)求椭圆的标准方程;(2)若过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2
6、的直线交椭圆于 A,C 两点,且 ACBD,求|AC|BD|的最小值解 (1)抛物线 y24x 的焦点坐标为 (1,0),所以 c1 ,又因为 e ,所以 a ,ca 1a 33 3所以 b22 ,所以椭圆的标准方程为 1.x23 y22由题意知 AC 的斜率为 ,1k所以|AC| .43(1k2 1)31k2 2 43(k2 1)2k2 3|AC|BD|4 3(k2 1)(13k2 2 12k2 3) 203(k2 1)2(3k2 2)(2k2 3)203(k2 1)2(3k2 2) (2k2 3)2 2 .203(k2 1)225k2 124 1635当且仅当 3k2 22 k23,即 k
7、1 时,上式取等号,故|AC| |BD|的最小值为 .1635当直线 BD 的斜率不存在或等于零时,可得|AC| BD| .1033 1635综上,|AC|BD|的最小值为 .16352已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,离心率为 , 点 P 在椭圆x2a2 y2b2 13C 上,且PF 1F2 的面积的最大值为 2 .2(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:ykx2( k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,若在 x 轴上存在点 G,使得|GM|GN|,求点 G 的横坐标的取值范围解 (1)由已知得 Error!解得 a29 ,b 28,c 21,椭圆
8、C 的方程为 1.x29 y28(2)设 M(x1,y 1),N(x 2,y 2),MN 的中点为 E(x0,y 0),点 G(m,0) ,使得| GM|GN|,则 GEMN.由Error! 得 x236 kx36 0 ,(8 9k2)由 0,得 kR 且 k0.x 1x 2 ,36k9k2 8 x0 ,y 0kx 02 . 18k9k2 8 169k2 8GEMN,k GE ,1k即 ,169k2 8 0 18k9k2 8 m 1km . 2k9k2 8 29k 8k当 k0 时, 9k 2 128k 98 2,(当 且 仅 当 9k 8k, 即 k 223时 , 取 等 号 ) m0)与抛
9、物线 C2:y 22 ax 相交于 A,B 两点,且两曲线的焦点x2a2 y23F 重合(1)求 C1,C 2 的方程;(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M,Q 两点,与抛物线分别交于 P,N 两点,是否存在斜率为 k(k0)的直线 l,使得 2 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由|PN|MQ|解 (1)因为 C1,C 2 的焦点重合,所以 ,a2 3a2所以 a24.又 a0,所以 a2.于是椭圆 C1 的方程为 1,x24 y23抛物线 C2 的方程为 y24x .(2)假设存在直线 l 使得 2 ,|PN|MQ|当 lx 轴时,|MQ| 3,|PN| 4,不符合
10、题意,直线 l 的斜率存在,可设直线 l 的方程为 yk (x1)( k0),P(x 1,y 1),Q (x2,y 2),M( x3,y 3),N(x 4,y 4)由Error!可得 k2x2(2 k24)x k 20 ,则 x1x 4 ,x 1x41,且 16 k2160 ,2k2 4k2所以|PN| 1 k2 x1 x42 4x1x4 .41 k2k2由Error! 可得(34k 2)x28k 2x4k 2120,则 x2x 3 ,x 2x3 ,8k23 4k2 4k2 123 4k2且 144k 21440 ,所以|MQ| .1 k2 x2 x32 4x2x3121 k23 4k2若 2
11、 ,|PN|MQ|则 2 ,41 k2k2 121 k23 4k2解得 k .62故存在斜率为 k 的直线 l,使得 2.62 |PN|MQ|4已知 M 是椭圆 C: 1(ab0)上的一点,F 1,F 2 是该椭圆的左、右焦点,(3, 12) x2a2 y2b2且|F 1F2|2 .3(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 A,B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点,直线 OA,OB,AB 的斜率分别为k1,k 2,k ,且 k1k2k 2.试探究| OA|2| OB|2 是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由解 (1)由题意知, F1( ,0) ,F 2( ,0),3 3根据椭圆
12、定义可知|MF 1| MF2|2a,所以 2a 3 32 (12 0)24, 3 32 (12 0)2所以 a24 ,b 2a 2c 21,所以椭圆 C: y 21.x24(2)设直线 AB:ykxm (km0),A(x1,y 1),B(x 2,y 2),由Error! 来源:ZXXK消去 y,得(1 4k2)x28kmx4m 240,(8 km)216(m 21)(4 k21)0,x1x 2 ,x 1x2 ,8km1 4k2 4m2 41 4k2因为 k1k2k 2,所以 k 2,kx1 mx1 kx2 mx2即 km(x1x 2)m 20( m0),解得 k2 .14|OA|2|OB| 2
13、 x x y y21 2 21 2 (x1x 2)22x 1x25,54所以|OA| 2|OB| 25.5已知椭圆 C: 1(ab0)的上顶点为点 D,右焦点为 F2(1,0),延长 DF2 交椭圆 Cx2a2 y2b2于点 E,且满足|DF 2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过点 F2 作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A,B 两点,设椭圆 C 的左顶点为点 H,且直线 HA,HB 分别 与直线 x3 交于 M,N 两点,记直线 F2M,F 2N 的斜率分别为 k1,k 2,则 k1 与 k2 之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由解 (1)
14、椭圆 C 的上顶点为 D(0,b ),右焦点 F2(1,0),点 E 的坐标为( x,y )|DF 2|3| F2E|,可得 3 ,DF2 F2E 又 (1,b), (x1,y) ,DF2 F2E Error! 代入 1 ,x2a2 y2b2可得 1 ,(43)2a2( b3)2b2又 a2b 21,解得 a22,b 21 ,即椭圆 C 的标准方程为 y 21.x22Error!根据 H,A,M 三点共线,可得 ,yM3 2 y1x1 2y M .y1(3 2)x1 2同理可得 yN ,y2(3 2)x2 2M ,N 的坐标分别为 , ,(3, y1(3 2)x1 2)(3, y2(3 2)x
15、2 2)k 1k2 yMyNyM 03 1yN 03 1 14 14y1(3 2)x1 2 y2(3 2)x2 2y1y23 224(my1 1 2)(my2 1 2)y1y23 224m2y1y2 (1 2)m(y1 y2) (1 2)2 . 11 62m2 24 m2m2 2 2(1 2)m2m2 2 3 22 11 62m2 246 42m2 2 42 98k 1 与 k2 之积为定值,且该定值是 .42 986已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ,记动点 P 的( 3, 0)433 32轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程;(2)设 M(m,n)是曲线
16、E 上的动点,直线 l 的方程为 mxny1.设直线 l 与圆 x2y 21 交于不同两点 C,D,求| CD|的取值范围;求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程,并探究:若 M(m,n)是 曲线:Ax 2By 21(AB0)上的动点,是否存在与直线 l:mxny1 恒相切的定曲线 ?若存在,直接写出曲线 的方程;若不存在,说明理由解 (1)设 P(x,y),由题意,得 .(x 3)2 y2|x 433| 32整理,得 y 21,x24曲线 E 的方程为 y 21.x24(2)圆心到直线 l 的距离 d ,1m2 n2直线与 圆有两个不同交点 C,D ,|CD| 24 .(1 1m2 n2)
17、又 n 21(m0), 来源:ZXXKm24|CD| 24 .(1 43m2 4)|m |2,0m 24,01 .43m2 434|CD| 2(0 ,3,|CD| ,(0, 3即|CD|的取值范围为 .(0, 3当 m0 ,n1 时,直线 l 的方程为 y1;当 m2,n0 时,直线 l 的方程为 x .来源:Z.xx.k.Com12根据椭圆对称性,猜想 E的方程为 4x2y 21.下面证明:直线 mxny1(n0)与 4x2y 21 相切,其中 n 2 1,即 m24n 24.m24由Error! 消去 y 得(m24n 2)x22 mx1n 20,即 4x22 mx1n 20,4m 216
18、 4 0 恒成立,从而直线 mxny1 与椭圆(1 n2) (m2 4n2 4)E:4x 2y 21 恒相切若点 M 是曲线 :Ax 2By 21 上的动点,则直线 l:mxny1 与定曲线(m, n) (AB0): 1 恒相切x2A y2B(AB0)7. 已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A 2,右焦点为 F2(1,0),点 Bx2a2 y2b2在椭圆 C 上(1, 32)(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l:yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M,N 两点,已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G,证明:点 G 在定直线上,并求出定直线的方程解析
19、:(1)由 F2(1,0),知 c1,由题意得Error!所以 a2,b ,所以椭圆 C 的方程为 3x241.y23(2)因为 yk (x4) ,所以直线 l 过定点(4,0),由椭圆的对称性知点 G 在直线 xx 0 上当直线 l 过椭圆 C 的上顶点时,M(0, ),3所以直线 l 的斜率 k ,由Error!得Error!或Error!所以 N ,34 (85, 335)由(1)知 A1(2,0),A 2(2,0),所以直线 lA1M 的方程为 y (x2),直线 lA2N 的方程为 y (x2),所以32 332G ,所以 G 在直线 x1 上(1, 332)当直线 l 不过椭圆 C 的上顶点时,设 M(x1,y 1),N (x2,y 2),由Error!得 (34 k2)x232k 2x64k 2120,