1、圆锥曲线跟踪知识梳理考纲解读：1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质(B 级要求).3.双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)；4.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质.5. 直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.考点梳理：1.椭圆的概念平面内到两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F 2 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P M|MF1MF 22a，F 1F2
2、2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围axa 来源 :Zxxk.Combybbx baya 来源来源 :对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点性质顶点 A1(a，0)，A 2(a，0) A1(0，a)，A 2(0，a)B1(0，b)，B 2(0，b ) B1(b，0)，B 2(b，0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距 F1F22c离心率 e (0 ，1)caa，b，c的关系a2b 2c 23.双曲线定义平面
3、内到两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F1，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P M|MF1MF 2|2a，F 1F22c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.(1)当 2aF1F2 时，P 点不存在.4.双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1( a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa，yR xR， ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1(a，0)，A 2(a，0) A1(0，a) ，A 2(0，a)渐近线 y x
4、bay xab离心率 e ，e(1，) ，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、 c 的关系 c2a 2b 2 (ca0，cb0)5.抛物线的概念平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.6.抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准
5、线 l 的距离图 形O(0，0)对称轴y0 x0焦点 F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向向右 向左 向上 向下核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北重点中学 4 月联考 ,7)已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2,过 F2 且24x3y垂直于长轴的直线交椭圆于 A,B 两点,则 ABF1 内切圆的半径为 ( ) A. B.1 C. D. 43532 (2018 安徽宣城二模,7)已知椭圆 + =1(ab0)的左顶点为 M,上顶点2xy为 N,右
6、焦点为 F,若 =0,则椭圆的离心率为 ( ) MNA. B. C. D. 32213125123 (2018 河南洛阳尖子生 4 月联考 ,8)设 F1、F 2 分别为双曲线 - =1 的左、右焦点, 过 F129x6y引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交双曲线的右支于点 P,T 为切点, M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4 (2018 安徽淮南三校 1 月联考 ,11)已知双曲线 - =1 右焦点为 F,P 为双曲线左支上一24xy点,点 A (0, ),则APF 周长的最小值为 ( ) 2A.4+ B.4(
7、1+ ) C.2( + ) D. +3 2625 (2018 湖北四地七校 3 月联考 ,9)已知抛物线 y2=2px(p0),点 C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线 ,与抛物线交于 A,B 两点,若CAB 的面积为 24,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 6 (2018 广东珠海 3 月模拟,7) 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限,PAl ,垂足为 A,|PF|=4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( ) A. B. C. D. 71245
8、67已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线左支上有一点 到右焦点 距离为 ， 为 中点， 为坐标原点，则 等于（ ）A. B. C. D. 8已知直线 与双曲线 相切于点 ， 与双曲线两条渐进线交于 ， 两点，则的值为（ ）A. B. C. D. 与 的位置有关9已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，若双曲线 C 的一条渐近线与直线平行，则双曲线 C 的离心率为（ ）A. B. C. D. 10已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交 于 两点.若的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）A. B. C. D. 11抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足设 线段 的中点 在
9、 上的投影为 ，则 的最小值是( )A. B. C. D. 12已知点 是抛物线 上不同的两点， 为抛物线的焦点，且满足 ，弦 的中点 到直线 的距离为 ，若 ，则 的最小值为 （ ）A. 3 B. C. D. 413设双曲线 C： 的左，右焦点分别为 ，若在曲线 C 的右支上存在点 ，使得 的内切圆半径为 ，圆心记为 , 又 的重心为 ，且满足，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 14已知双曲线 的离心率为 ，且点 到其渐近线的距离为 ，则 的实轴长为（ ）A. B. C. D. 15双曲线 的左，右焦点分别为 ，直线 经过点 及虚轴的一个端点，且 点 到直线 的距离等于实
10、半轴的长，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 16若直线 交抛物线 于 ， 两点，且线段 中点到 轴的距离为 3，则（ ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 617 如图，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ，交其准线于20ypxFl,AB点 ，若 ，且 ，则此抛物线的方程为（ ）CBF3AA. B. C. D.23yx23yx29yx29yx18设 ， ，则抛物线 的焦点坐标为（ ）0aR4aA B C D随 符号而定,1(0,)6a19已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以1Pxy:3lyxC为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）,PA B C.
11、D510525210520若抛物线 上一点 到它的焦点 的距离为 ， 为坐标原点，则 的2yxMF32OMFO面积为（ ）A B C D24114二、填空题21如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且 依次交抛物线及圆于 四点，则 的最小值为_ 22已知 为原点，双曲线 上有一点 ，过 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 ，平行四边形 的面积为 1，则双曲线的离心率为_23抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为_24已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点，为双曲
12、线 渐近线上一点， 均位于第一象限，且 ，则双 曲线的离心率为_25 过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线 于 ，若 ，则直线 的斜率是_26在平面直角坐标系 中，若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于xOy21(0)yxb抛物线 上的点 到其焦点的距离，则实数 .2yp(1,2)M27已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 与过原点的直线相交于 、C21(0)xyabFCA两点，连接 ， ，若 ， ， ，则 的离心率 BAFB6A4cos5Be28 如图，正方形 和正方形 的边长分别为 ，原点 为 的中CDEFG,abOAD点，抛物线 经过 两点，则 _20yax,29已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线准
13、线上一点， 是直线 与抛物线的xy82FPQPF一个交点，若 ，则直线 的方程为 QP三、解答题30过椭圆 的右焦点 作 轴的垂线，与椭圆 在第一象限内交于点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ， （1 ）求椭圆 的方程；（2 ）设 为圆 上任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 ，设 分别交圆 于点 ，证明： 为圆 的直径31如图，椭圆 ，点 在短轴 上，且 .（1 ）求椭圆 的方程及离心率；（2 ）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ， 两点，是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.32已知抛物线 ，圆 ，点 为抛物线 上的动点， 为坐标原点，线段 的中点 的轨迹
14、为曲线 .（1 ）求抛物线 的方程；（2 ）点 是曲线 上的点，过点 作圆 的两条切线， 分别与 轴交于 两点.求 面积的最小值.33已知抛物线 的焦点为 ，过抛物线上一点 作抛物线 的切线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，当 时， （1 ）判断 的形状，并求抛物线 的方程；（2 ）若 两点在抛物线 上，且满足 ，其中点 ，若抛物线 上存在异于 的点 ，使得经过 三点的圆和抛物线在点 处有相同的切线，求点 的坐标34已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）已知动直线 与椭圆 相交于 两点.若线段 中点的横坐标为 ，求斜率 的值；已
15、知点 ，求证： 为定值.圆锥曲线跟踪知识梳理考纲解读：1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质(B 级要求).3.双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)；4.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质.5. 直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.考点梳理：1.椭圆的概念平面内到两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F 2 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P M|MF1
16、MF 22a，F 1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围axabyb 来源 :Zxxbx bay a来对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a，0)，A 2(a，0)B1(0，b)，B 2(0，b )A1(0，a)，A 2(0，a)B1(b，0)，B 2 (b，0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距 F1F22c性质离心率 e (0 ，1)caa，b，c的关系a2b 2c 23.双曲线定义平面
17、内到两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F1，F 2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P M|MF1MF 2|2a ，F 1F22c ，其中 a，c 为常数且 a0，c 0.(1)当 2aF1F2 时，P 点不存在.4.双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1( a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 xa，yR xR， ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1(a，0)，A 2(a，0) A1(0，a) ，A 2(0，a)渐近线
18、y xbay xab离心率 e ，e(1，) ，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、 c 的关系 c2a 2b 2 (ca0，cb0)5.抛物线的概念平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.6.抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F
19、 到准线 l 的距离图形O(0，0)对称轴y0 x0焦点 F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向向右 向左 向上 向下核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北重点中学 4 月联考 ,7)已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2,过 F2 且24x3y垂直于长轴的直线交椭圆于 A,B 两点,则 ABF1 内切圆的半径为 ( ) A. B.1 C. D. 4353【答案】D【解析】不妨设 A 点在 B 点上方 ,由题意知:F 2(1,0),将 F2 的横坐标
20、代入椭圆方程 + =1 中, 可得 A 点纵坐标为 ,故| AB|=3,所以内切圆半径 r= =24x3y32SC68= (其中 S 为ABF 1 的面积,C 为ABF 1 的周长).故选 D. 2 (2018 安徽宣城二模,7)已知椭圆 + =1(ab0)的左顶点为 M,上顶点2xy为 N,右焦点为 F,若 =0,则椭圆的离心率为 ( ) MNA. B. C. D. 3221312512【答案】D3 (2018 河南洛阳尖子生 4 月联考 ,8)设 F1、F 2 分别为双曲线 - =1 的左、右焦点, 过 F129x16y引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交双曲线的右支于点 P,T 为切
21、点, M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D【解析】连接 PF2,OT,则有|MO|= |PF2|= (|PF1|-2a)= (|PF1|-6)= |PF1|-1223,|MT|= |PF1|-|F1T|= |PF1|- = |PF1|-4,于是有|MO|-|MT|= -3c1|3PF=1,故选 D. 1|42P4 (2018 安徽淮南三校 1 月联考 ,11)已知双曲线 - =1 右焦点为 F,P 为双曲线左支上一24xy点,点 A (0, ),则APF 周长的最小值为 ( ) 2A.4+ B.4(1+ ) C
22、.2( + ) D. +3 262【答案】B5 (2018 湖北四地七校 3 月联考 ,9)已知抛物线 y2=2px(p0),点 C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线 ,与抛物线交于 A,B 两点,若CAB 的面积为 24,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 【答案】D【解析】因为 ABx 轴,且 AB 过点 F,所以 AB 是焦点弦,且 |AB|=2p,所以SCAB= 2p =24,解得 p=4 或-12(舍),所以抛物线方程为 y2=8x,所以直线 AB 的方程124为 x=2,所以以直线
23、AB 为准线的抛物线的标准方程为 y2=-8x,故选 D. 6 (2018 广东珠海 3 月模拟,7) 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,点 P 为抛物线上一点,且在第一象限,PAl ,垂足为 A,|PF|=4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( ) A. B. C. D. 712456【答案】B【解析】由抛物线 y2=4x 知焦点 F 的坐标为(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4,所以点 P 的坐标为(3,2 ),因此点 A 的坐标为(-1,2 ),所以 kAF= =-332301,所以直线 AF 的倾斜角等于 ,故选 B. 327已知
24、双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线左支上有一点 到右焦点 距离为 ， 为 中点， 为坐标原点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据抛物线的定义，有 ，由于 是三角形的中位线，故 .8已知直线 与双曲线 相切于点 ， 与双曲线两条渐进线交于 ， 两点，则的值为（ ）A. B. C. D. 与 的位置有关【答案】A9已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，若双曲线 C 的一条渐近线与直线平行，则双曲线 C 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设双曲线的方程为 ，由题意 ，则 ，故选 A.10已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交 于 两点.若的中
25、点坐标为 ，则 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C11抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足设 线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，故 ，由基本不等式可得 ，即 ，故选 C.12已知点 是抛物线 上不同的两点， 为抛物线的焦点，且满足 ，弦 的中点 到直线 的距离为 ，若 ，则 的最小值为 （ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】A【解析】设 ，由抛物线的定义及余弦定理得，所以 ，因为，即 ，所以 ，故选 A.13设双曲线 C： 的左，右焦点分别为 ，若在曲线 C 的右支上存在点 ，使得
26、的内切圆半径为 ，圆心记为 , 又 的重心为 ，且满足，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】由 得 ，所以，由，因此 ，故选 C.14已知双曲线 的离心率为 ，且点 到其渐近线的距离为 ，则 的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D15双曲线 的左，右焦点分别为 ，直线 经过点 及虚轴的一个端点，且点 到直线 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设虚轴的一个端点为 B，则 ，即， ， 解得，故选 D.16若直线 交抛物线 于 ， 两点，且线段 中点到 轴的距离为 3，则（ ）A. 12 B. 10
27、 C. 8 D. 6【答案】C【解析】直线 恒过（1，0 ） ，恰是抛物线 的焦点，设 ，抛物线的准线为 ，线段 中点到 轴的距离为 3， ，故选 C.17 如图，过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于点 ，交其准线于20ypxFl,AB点 ，若 ，且 ，则此抛物线的方程为（ ）CBF3AA. B. C. D.23yx23yx29yx29yx【答案】B18设 ， ，则抛物线 的焦点坐标为（ ）0aR24aA B C D随 符号而定,1(0,)6a【答案】C【解析】由 得 ，所以抛物线 的焦点坐标为 ，故选 C.24yax1y24yx1(0,)6a19已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆
28、以,0A,B,P:3lyC为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）,BPCA B C. D5105252105【答案】A【解析】 关于直线 的对称点为 ，连结 交直线 于点 ，1,0:3lyx3,2AABlP则椭圆 的长轴长的最小值为 ，所以椭圆 的离心率的最大值为C25AB C，故选 A.5ca20若抛物线 上一点 到它的焦点 的距离为 ， 为坐标原点，则 的2yxMF32OMFO面积为（ ）A B C D24114【答案】B二、填空题21如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交抛物线及圆于 四点，则 的最小值为_ 【答案】 【解析】抛物线的焦点为 ，当直线 的斜率不存在时
29、，直线 的方程为 ，此时1x，所以 ；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为32ABCD39942ABCD，与抛物线的两个交点分别为 ，将 代入 整理可得 ，则 .又 ，所以.22已知 为原点，双曲线 上有一点 ，过 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 ，平行四边形 的面积为 1，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】渐近线方程为 ，设 ，过 平行于 的方程是，与 的交点是 ， 点到 的距离是 ，所以，结合 ，解得 ，故 .23抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，点 关于轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为_【答案】24已
30、知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点，为双曲线 渐近线 上一点， 均位于第一象限，且 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】设 ，则 ， ，由题设可得 ，解得 ，所以 ，由 可得 ，代入双曲线方程可得 ，即 .25过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线 于 ，若 ，则直线 的斜率是_【答案】【解析】由抛物线 方程为 ，可得它的焦点为 ，由题意可知直线 的斜率存在，可设直线 方程为 ，由 ,消去 x 得 .设，可得 ， ， ，可得，代入得 ，且 ，得 ，解得 .26在平面直角坐标系 中，若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于xOy21(0)yxb抛物线 上的点 到其焦点的距离，则实数 .
31、2yp(1,2)M【答案】227已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 与过原点的直线相交于 、C21(0)xyabFCA两点，连接 ， ，若 ， ， ，则 的离心率 BAFB6A4cos5Be【答案】 57【解析】由余弦定理可得 2 241036164085BFBFBF225,7cOAcAeaa28 如图 ，正方形 和正方形 的边长分别为 ，原点 为 的中BCDEFG,bOAD点，抛物线 经过 两点，则 _20yax,a【答案】 12【解析】易得 ， 因为正方形 的边长为 ，所以 ，因为 在抛(,0)aDDEFGb(,)2aFbF物线上，所以 ，即 ，所以 ，解得2()b220ba()10a或 ，因为
32、 ，所以 1a0129已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线准线上一点， 是直线 与抛物线xy82FPQPF的一个交点，若 ，则直线 的方程为 QP【答案】 或02yx02yx三、解答题30过椭圆 的右焦点 作 轴的垂线，与椭圆 在第一象限内交于点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ， （1 ）求椭圆 的方程；（2 ）设 为圆 上任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 ，设 分别交圆 于点 ，证明： 为圆 的直径【答案】 （1） （2 ）见解析【解析】 （1）由题意知 ， ，椭圆 的方程为.31如图，椭圆 ，点 在短轴 上，且 .（1 ）求椭圆 的方程及离心率；（2 ）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆
33、交于 ， 两点，是否存在常数 ，使得为定值？若存在 ，求 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）由已知，得点 的坐标分别为 ， ，又点 的坐标为 ，且 ，所以 ， ，所以椭圆 的 方程为.因为 ，所以离心率 .（2 ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 的坐标分别为，联立 ，得 ，其判别式 ，所以 ， ，从而，所以当 时， ，即 ，为定值；当直线 斜率不存在时，直线 即为直线 ，此时 ，故存在常数 ，使得 为定值 .32已知抛物线 ，圆 ，点 为抛物线 上的动点， 为坐标原点，线段 的中点 的轨 迹为曲线 .（1 ）求抛物线 的方程；（2 ）点 是曲线 上
34、的点，过点 作圆 的两条切线，分别与 轴交于 两点.求 面积的最小值.【答案】 （1） （2）（2 ）由题意知切线的斜率存在且不为 0，则可设切线方程为 ，令 y=0，解得 ，所以切线与 x 轴的交点为 ，圆心(2，0)到切线的距离为 ， ，整理得 ，设两条切线的斜率分别为 ，则 ，记 ， ， ， 在 上单增， ， ， 面积的最小值为 33已知抛物线 的焦点为 ，过抛物线上一点 作抛物线 的切线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，当 时， （1 ）判断 的形状，并求抛物线 的方程；（2 ）若 两点在抛物线 上，且满足 ，其中点 ，若抛物线 上存在异于 的点 ，使得经过 三点的圆和抛物线在点 处有相同
35、的切线，求点 的坐标【答案】 （1） （2）【解析】(1)设 ，则切线 的方程为 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 为等腰三角形，且 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，得 ，所以抛物线方程为 . 34已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）已知动直线 与椭圆 相交于 两点.若线段 中点的横坐标为 ，求斜率 的值；已知点 ，求证： 为定值.【答案】 （1） 1 （2） 见解析【解析】(1)由题意得 a2 b2c 2， ， b2c ，解得 a25，b 2 ，则椭圆方程为 1 (2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)将 yk (x1)代入 1，得(13k 2)x26 k2x3k 250，48k 2200，则 x1x 2 ，AB 中点的横坐标为 ， 1，解得 k
