1、广东省 14 市 2019 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（珠海市 2019 届高三上学期期末）已知双曲线 的左、右焦点21(0,)xyab分别为 F1、F 2，过 F1 作圆 的切线，交双曲线右支于点 M，若F 1MF245，22xya则双曲线的渐近线方程为（ ）A、 B、 C、 D、y3xyx2x2、 （广州市 2019 届高三 12 月调研考试）已知抛物线 与双曲线20ypx有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 轴，则21(0,)xyabFAAFx双曲线的离心率为A B C D315123、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）已知 是抛物线
2、 的焦点， ， 是F24xyMN该抛物线上两点， ，则 的中点到准线的距离为（ ）6MFNA B2 C3 D44、（江门市 2019 届普通高中高三调研）若抛物线 的焦点是双曲线2(0)ypx的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）2813xypA B C2 D 55、（揭阳市 2019 届高三上学期期末）若点 在抛物线 上，记抛物(2,)A2:Cypx线 的焦点为 ，直线 与抛物线的另一交点为 B，则FFAA B C D10233926、（雷州市 2019 届高三上学期期末）已知双曲线 C： 的离心=1xyab0()b ， 率为 ，则 C 的渐近线方程为52A B C Dxy41xy31xy21
3、y=x7、 （茂名市 2019 届高三上期末）已知双曲线 的左，右焦点2(0,)abF1，F 2，右顶点为 A，P 为其 右支上一点，PF 1 与渐近线 交于点 Q，与渐近线yx交于点 R，RQ 的中点为 M，若 RF2PF 1，且 AMPF 1，则双曲线的离心率为（ byxa）A、 1 B、2 C、 D、 3238、（汕尾市 2019 届高三上学期期末）已知双曲线 的一条渐2:1(0,)xyCab近线方程为 ，则曲线 C 的离心率为52yxA B C D2 39、（汕尾市 2019 届高三上学期期末）已知抛物线 的焦点为 F，2:0ypx是抛物线上一点，过点 P 向抛物线 C 的准线 引垂线
4、，垂足为 D，若01,Py l为等边三角形，则 。DFp10、（韶关市 2019 届高三上学期期末）设点 M 为双曲线 E：和圆 C： 的一个交点，若21(0)xyabb ， 22xyabMF 1F22MF 2F1，其中 F1， F2 为双曲线 E 的两焦点，则双曲线 E 的离心率为A、 2 B、 1 C、 D、3311、（韶关市 2019 届高三上学期期末）设抛物线 的焦点为 F，其准线与 x 轴的交28yx点为 Q，过点 Q 作斜率为 k（k0）的直线交抛物线于 A、B 两点，若AF2BF，则 k 的值为A、 B、 C、 D、 373635312、 （肇庆市 2019 届高三上学期期末）已
5、知双曲线 的中心为坐标原点，一条渐近线方程C为 ，点 在 上，则 的方程为2yx2,PA B C D142174xy214xy2147yx13、（肇庆市 2019 届高三上学期期末）已知椭圆 的左右顶点分2:(0)ab别为 ， 是椭圆上异于 的一点，若直线 的斜率 与直线 的斜率 乘,ABP,ABPAPAkBPBk积 ，则椭圆 的离心率为14kCA. B. C. D. 2343214、（佛山市 2019 届高三上学期期末）参考答案一、填空题1、A 2、A 3、C 4、A 5、D6、C 7、B 8、C 9、 10、B2311、A 12、B 13、D 14、A二、解答题1、（珠海市 2019 届高
6、三上学期期末）已知椭圆 E： 经过点 P（21(0)xyab， ），且右焦点 F2（ ，0）。323（I）求椭圆 E 的方程；（II）若直线 l： 与椭圆 E 交于 A，B 两点，当AB最大时，求直线 l 的方ykx程。2、（广州市 2019 届高三 12 月调研考试）已知椭圆 的离心率2:1(0)xyCab为 ，点 在 上123,2PC（1）求椭圆 的方程；（2）设 分别是椭圆 的左, 右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，12,F2FlC,AB求 的内切圆的半径的最大值1AB3、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）已知椭圆 过点 ，210xyab312P，且左焦点与抛物线 的
7、焦点重合。24yx（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，线段 的中点记为:0lkmMN，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。AMN18G， k4、（江门市 2019 届普通高中高三调研）在平面直角坐标系 中，Oxy为不在 轴上的动点，直线 的斜率满足 (2,0)(,ABPxPAB、 14PABk（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）若 是轨迹 上的两点， ，求 面积的最大值(3,)TMN、 1MNkT5、（揭阳市 2019 届高三上学期期末）已知椭圆 : 的上顶点为 A,C2(0)xyab以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与 y 轴的交点分别为 、 .,
8、13(,)（1）求椭圆 的方程；C（2）设不经过点 A 的直线 与椭圆 交于 P、Q 两点，且 ,试探究直线 是lC0APQl否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.6、（雷州市 2019 届高三上学期期末）设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦1F2E142byx点，若 是该椭圆上的一个动点， 的最大值为 P P（I）求椭圆 的方程；E（II）设直线 与椭圆 交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 （ 与1kyxEABxA不重合)，试判定：直线 与 轴是否交于定点？若是，请写出定点坐标，并证明你Bx的结论；否则，请说明理由7、 （茂名市 2019 届高三上期末）已知抛物线
9、C： ，点 G 与抛物线 C 的焦2(0)ypx点 F 关于原点对称，动点 Q 到点 G 的距离与到点 F 的距离之和为 4（I）求动点 Q 的轨迹；(II ).若 ，设过点 D（0，2）的直线 l 与 Q 的轨迹相交于 A，B 两点，当23pOAB 的面积最大时，求直线 l 的方程8、（清远市 2019 届高三上期末）如图，已知椭圆 （ ）的左、右焦12byax0a点分别为 ，短轴的两端点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且四12,F12,A,OF12,B边形 是面积为 8 的矩形AB（I）求椭圆 C 的方程；（II）过 作直线 交椭圆于 P，Q 两点，若 ，求直线 的方程1l 28BPQl9
10、、（汕头市 2019 届高三上学期期末）已知椭圆 E： 的离心率为 21(0)xyab， 且过点 ( ， ).1232(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 y kx m ( m 0)与椭圆 E 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴、 y 轴分别交于 C 、 D 两点（ 且 C 、 D 在 A 、 B 之间或同时在 A 、 B 之外） . 问： 是否存在定值 k ， 使得OAC 的面积与OBD 的面积总相等， 若存在， 求 k 的值， 并求出实数 m 取值范围； 若不存在， 说明理由.10、（汕尾市 2019 届高三上学期期末）已知椭圆 经过点2:1(0)xyCab，离心率为 。6,123（）
11、求椭圆 C 的方程；（）过点 的直线 交椭圆于 A，B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，若2,0Ml，求直线 的方程。1FAB11、（韶关市 2019 届高三上学期期末） 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆的一个顶点为(0， ），右焦点 F 到直线 的距离为 2 230xy(1)求椭圆 E 的标准方程(2) 若过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，且 l1 交椭圆 E 于 A，C 两点，l 2 交椭圆 E 于B、D 两点，求四边形 ABCD 的面积的取值范围。12、（肇庆市 2019 届高三上学期期末）已知椭圆 经过点2:10xyab， ，直线 与椭圆 交于 两点， 是坐
12、标原点.13,2M3,N3:2lykxC,ABO（1）求椭圆 的标准方程；C（2）求 面积的最大值.OAB13、（佛山市 2019 届高三上学期期末）参考答案二、解答题1.解： 设椭圆 的左焦点 ，则 .2 分()E1(3,0)F1224aPFa又 ，所以椭圆 的方程为 4 分223cbacExy由 ，设 6 分() 22(14)8404ykxkxk 12(,)(,)ABxy由 ，且 72221186()0k212284,kxk分.8 分22 211 284.()4().1kABkxxk设 ，则 ， .1024t(0,)t2 5666()ABtt分当 ，即 时， 有最大值 ，此时 .12 分1
13、2t12k561:2lyx2、解：（1）依题意有 解得 3 分22,31,4cab,3.abc故椭圆 的方程为 4 分C2xy（2）设 ，设 的内切圆半径为 ，12(,),AB1FABr的周长为 ，1F1248a所以 5 分142FABSar解法一：根据题意知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，6 分l l1xmy由 ，得 7 分2143xym2(4)690ym， ，22(6)0R由韦达定理得 ，8 分121269,3434yy，10 分1221212112134FAB mS y 令 ，则 ， tmt123FABtSt令 ，则当 时， ， 单调递增，1()3fttt2()0ftt()f
14、， ， 11 分4()ft13FABS即当 时， 的最大值为 3，此时 1,0tm1FABmax34r故当直线 的方程为 时， 内切圆半径的最大值为 12 分lx1解法二：当直线 轴时， . .6 分lx31,2AB1123FABS当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，l l()ykx由 ，得 . 7 分2143()xyk22(43)8410kxk， 222281由韦达定理得 ，8 分2212184,433kkxx11221212()FABSyyx. 10 分269443kkxx令 ，则 ， ,243tt103t12269914FABttS.23t173t2713综上，当直线 的方程为
15、时， 的最大值为 3， 内切圆半径的最大值lx1FABS1FAB为 3412 分3、（1）解法 1 抛物线 的焦点为 F（-1,0 ），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ， 1 分又椭圆过点 ，由椭圆的定义知， ， 2 分312P， 2=|1|+|2|=4 ，又 ， 3 分=2 =1椭圆的方程为 4 分243xy（1）解法 2 抛物线 的焦点为 F（-1,0），2=4依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ， 1 分又椭圆过点 ， 2 分 312P，22194ab解得 ， 3 分椭圆的方程为 4 分2143xy（1）解法 3 抛物线 的焦点为 F（-1,0），2=4依题意知，椭圆的左右焦点坐标分
16、别为 ， 1 分又椭圆过点 ， 2 分12P，23ba ， 可解得 ， 3 分230a0 =2椭圆的方程为 4 分214xy（2）解法 1由 消去 整理得2143ykxmy， 5 分223480kx直线与椭圆交于不同的两点，整理得 6 分226341mkm243mk设 ，线段 的中点 A ，12,MxyNMN0,xy则 ， 7 分2121284,33kxk ，024,mxk20 234myk点 A 的坐标为 ， 8 分223,4k直线 AG 的斜率为 ，22413348AGmkmkk又直线 AG 和直线 MN 垂直， ， ， 10 分2413mk2348km将上式代入式，可得 ，2348整理得
17、 ，解得 11 分210k510k或实数 的取值范围为 12 分,（2）解法 2设 ),(,(),(21yxANyxM则 两式相减得 5 分,341yx,2即 2121212143yxxy点 满足方程 6 分Aky43又 直线 且过点MNG)0,81(点 也满足方程 7 分A)(xky联立解得 ，即 .8 分x83,21)83,21(kA点 在椭圆内部 9 分A342y.10 分1632k.11 分02105k或的取值范围为 .12 分k,4、 （1）设 为轨迹 上任意一点，依题意， 2 分(,)Pxy124yx整理化简得 4 分21(0)4y（注：“ ”1 分，写在本小问解答区任何地方均可给
18、分；“ ”或与之等价形式0y214y均给 1 分）（2）设 5 分:MNxb由 ，得 7 分24xy2225(1)0,504b设 ，则 ， 12(,)(,)x 212184,()xx8 分1245MNb到直线 的距离 9 分T3d的面积 10 分 2225(3)52bSMNb设 ，则 ()3(5)fxx()3)1fxx解 得 或 或 11 分01因为 ，即 有且仅有一个解 ，2b()0f 面积的最大值为 12 分TMN 2163(5)5、解：（1）依题意知点 A 的坐标为 ，则以点 A 圆心，以 为半径的圆的方程为:,ba，-1 分22()xyba令 得 ，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、
19、0(0,13)(,)可得 ，解得 ，-3 分13ba1,3ba故所求椭圆 的方程为 .-4 分C23xy（2）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，0APQA设直线 - 则 -6 分:1PAlykx1:QAlyxk将代入椭圆方程并整理得 ，2(3)60kx可得 ，则 ，-8 分2613Pxk21Py类似地可得 ，-9 分,3QQk由直线方程的两点式可得：直线 的方程为 ，-11 分l214kyx即直线 过定点，该定点的坐标为 .-12 分l 1(0,)【解法 2：若直线 l 垂直于 x 轴，则 AP 不垂直于 AQ，不合题意，可知 l 的斜率存在，又 l 不过点(0,1)，设
20、l 的方程为 ，ykxm(1)又设点 ，则 ,12(,)(,)PxyQ、 12(,),APxAQ由 得 ，0A12)0y由 ，消去 y 得 ，-623ykxm 2(363kxm分，当 即 时，21(1)k0210k- -7 分12263mx123mx又 ， ，-8 分12112()ykx1212()ykxm于是有 ，-9 分2() 0kx将代入得2 22361()131mk整理得： ,-11 分满足 ，这时直线 的方程为 ，直线 过定点 .-12 分】0l2ykxl(0,)26、解：（I）由题得 ， ，1 分2a4bc ， ， ，242b)0,(21bF)0,4(2bF分设 ，),(yxP22
21、221 4),)(,( byxyx 3 分44142 bbb ，故当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 ，4,x2xP 21PF1分即： ，解得 4)41(2b12b故所求的椭圆方程为 5 分2yx（II）设 ， ，则 ，),(1A),(B),(1yxA由 得： ，故 ，42yxk 032)4(2kyk 421ky321k6 分经过点 ， 的直线方程为 ，7 分),(1yxA ),(2yxB1212xy令 ，则 8 分0y 21212121 )()( yx又 ， ， 91kxkyx分当 时，0y，212221 )()(ykkx114464)(22 kkyy分这说明，直线 与 轴交于定点 1
22、2BAx)0,4(分7、解：（）当 p时， Q的轨迹不存在1 分当 4时， 的轨迹为一线段，方程为 )2(0xy2分当 0p时， 的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆，方程为16422pyx)40(3 分() 若 32p，则 Q的轨迹方程为 424 分当 xl轴时不合题意， 12:=,(),().故 设 ykxAyBx214将 代 入 得yk2(4)60.k5 分由 0得 0)(81622k32解得 23k或6 分由韦达定理得 22121 4,4kxx7 分)()()( 21212121 xyAB43486 222 kkk8 分21又 点 到 直 线 的 距 离OABd9 分2143=.2ABkS23
23、k或10 分令 tk342，则0,2tSOAB1442ttSOAB，11 分当且仅当 t即 2，7k时等号成立， 7722所 以 ， 当 的 面 积 最 大 时 ， 的 方 程 为 或OAByxyx12 分方法二：若 32p，则 Q的轨迹方程为142yx4分当 xl轴时不合题意， 12:=2,(),().故 设 ykxAyBx 且 21x214将 代 入 得yk2(4)60.k5 分由 0得 0)(81622k32解得3k或6 分由韦达定理得 22121 4,46kxkx7 分212121()OABDOASSxODxx 8 分=2112226483()4kkxx，3k或10 分令 tk342，
24、则0,42tSOAB1442ttSOAB，11 分当且仅当 t即 2，7k时等立， 7722所 以 ， 当 的 面 积 最 大 时 ， 的 方 程 为 或OAByxyx12 分8、 （ 1）在矩形 中，121212,cOBAb所以四边形 是正方形22 分12()8ABcSb又 22abc，.3 分0,4,16椭圆 C 的方程为 .4 分2xy（2 ）由（1 ）可知 ，12(,0)(,B1）当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=-2,由 5 分24(,)(,)504xPQy22(,)(,)5B2168PQAl：x=-2 不满足题意.6 分2）当 l 的斜率为 k 时，设 l 的方程为 ，
25、(2)ykx12(,)(,)PyQx由 7 分22()(51)0004yx则 .8 分2212100,55kkxx.9 分2121226(4)1yk12,(,)BPxyBQxy.10 分2212A222046515kkk11 分2628BPQA1k综上所述，直线 l 的方程为 或 12 分yx2x9、解：（ 1） 由题可得10、11、12、解：（1） 依题意可得 解得221341ab24a椭圆 的标准方程为 . 3 分C24xy（2）设 ，由 得12,AxyB2314ykx24150kx222145160kk由 得 ， 6 分026121225,44kxxkA2222111264041kABkxxA到 的距离OAB231dk9 分2136524AOBSkA设 则2165,kt20,16t223195124AOBttSt A当且仅当 ，即 时，得 ，9t2t14k面积取得最大值 . 12 分OAB113、
