1、专题 27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一 【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。一 【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点 12,F的距离的和等于常数(大于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 12,F叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中3椭圆的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：长轴端点： ，短轴端点：
2、；长轴长 12|Aa，短轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 越大，椭圆越扁， e越小，椭圆越圆(5) ,abc的关系： 22ab.4双曲线的定义： 平面内与两个定点 12,F的距离的差的绝对值等于常数(小于 12,F之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 12,叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ，焦点 ，其中 (2) ，焦点 ，其中6双曲线的几何性质以 为例(1)范围： (2)对称性：对称轴： x轴， y轴；对称中心： (0,)O(3)顶点：实轴端点： ，虚轴端点： ；实轴长 12|Aa，虚轴长12|Bb，焦距 12|Fc.(4)离心率 ,cea(5)
3、 渐近线方程 yx. （）由题意可知直线 的斜率存在.设 ， ， ，由 得：由 得： ， ， 即 ，结合 得： ，从而 ， ，点 在椭圆上， ，整理得：即 ， ，或 .练习 1已知椭圆 直线 ，若椭圆 上存在两个不同的点， 关于 对称，设 的中点为 .（1）证明：点 在某定直线上；（2）求实数 的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 或 .练习 2已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （）求椭圆方程；（）设不过原点 的直线 ，与该椭圆交于 两点，直线 的斜率分别为 ，满足 （i）当 变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求 面积的取值范围【答案】 （）
4、 y21；（） （i）见解析；（ii） （0，1）.【解析】 （ ）由题设条件，设 c k，a2k ，则 bk ，椭圆方程为 1，把点（ ， ）代入，得 k21，椭圆方程为 y21（） （i）当 k 变化时，m 2是定值 证明如下：由 ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 21）0，设 ， 直线 OP，OQ 的斜率依次为 k1，k 2，4kk 1+k2 ，2kx 1x2m（ x1+x2） ，由此解得 ，验证0 成立当 k 变化时， 是定值 SOPQ |x1x 2|m| ，令 t1，得 SOPQ 1，OPQ 面积的取值范围 SOPQ（0，1） 练习 3已知椭圆 C： 的左右顶点为 A、B
5、，右焦点为 F，一条准线方程是 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点 P、Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点，点 R 为 PQ 的中点求椭圆 C 的标准方程；直线 PB 交直线 于点 M，记直线 PA 的斜率为 ，直线 FM 的斜率为 ，求证： 为定值；若 ，求直线 AR 的斜率的取值范围【答案】 （1） （2）见解析（3）【解析】 椭圆的一条准线方程是 ，可得 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得 ，解得 ， ， ，即有椭圆方程为 ；学!科网证明：由 ， ，设直线 PB 的方程为 ，联立椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ， ，则 ，即 为定值 ；由 ，可得 ，即 ，设 AP 的方程为 ，代入椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ，将 t 换为 可得 ，则 R 的坐标为 ，即有直线 AR 的斜率，可令 ，则 ，则 ，当 时， ，当且仅当 时上式取得等号，同样当 时， ， 时， ， ，则 AR 的斜率范围为
