1、圆锥曲线的综合问题1已知椭圆 1(a b0)的离心率 e ，左、右焦点分别为 F1，F 2，且 F2 与抛物线x2a2 y2b2 33y24x 的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，过 F2 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 ACBD，求|AC|BD|的最小值2已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，点 P 在椭圆x2a2 y2b2 13C 上，且PF 1F2 的面积的最大值为 2 .来源:2(1)求椭圆 C 的方程；源:Z,xx,k.Com(2)已知直线 l：ykx2( k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若
2、在 x 轴上存在点 G，使得|GM|GN|，求点 G 的横坐标的取值范 围3.已知椭圆 C1： 1(a0)与抛物线 C2：y 22 ax 相交于 A，B 两点 ，且两曲线的焦点x2a2 y23F 重合(1)求 C1，C 2 的方程；(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M，Q 两点，与抛物线分别交于 P，N 两点，是否存在斜率为 k(k0)的直线 l，使得 2 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由|PN|MQ|4已知 M 是椭圆 C： 1(ab0)上的一点，F 1，F 2 是该椭圆的左、右焦点，(3， 12) x2a2 y2b2且|F 1F2|2 .3(1)求椭圆 C 的方
3、程；来源:ZXXK(2)设点 A，B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点，直线 OA，OB，AB 的斜率分别为k1，k 2，k ，且 k1k2k 2.试探究| OA|2| OB|2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由5已知椭圆 C： 1(ab0)的上顶点为点 D，右焦点为 F2(1,0)，延长 DF2 交椭圆 Cx2a2 y2b2于点 E，且满足|DF 2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F2 作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，设椭圆 C 的左顶点为点 H，且直线 HA，HB 分别与直线 x3 交于 M，N 两点，记直线
4、F2M，F 2N 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1 与 k2 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由6已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的( 3， 0)433 32轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)设 M(m，n)是曲线 E 上的动点，直线 l 的方程为 mxny1.设直线 l 与圆 x2y 21 交于不同两点 C，D，求| CD|的取值范围；求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程，并探究：若 M(m，n)是曲线：Ax 2By 21(A B0)上的动点，是否存在与直线 l：mxny1 恒相切的定曲线 ？若存在，直接写
5、 出曲线 的方程；若不存在，说明理由7. 已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A 2，右焦点为 F2(1,0)，点 Bx2a2 y2b2在椭圆 C 上(1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依 次交于 M，N 两点，已知直线 A1M 与A2N 相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定直线的方程1已知椭圆 1(a b0)的离心率 e ，左、右焦点分别为 F1，F 2，且 F2 与抛物线x2a2 y2b2 33y24x 的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，过 F2
6、的直线交椭圆于 A，C 两点，且 ACBD，求|AC|BD|的最小值解 (1)抛物线 y24x 的焦点坐标为 (1,0)，所以 c1 ，又因为 e ，所以 a ，ca 1a 33 3所以 b22 ，所以椭圆的标准方程为 1.x23 y22由题意知 AC 的斜率为 ，1k所以|AC| .43(1k2 1)31k2 2 43(k2 1)2k2 3|AC|BD|4 3(k2 1)(13k2 2 12k2 3) 203(k2 1)2(3k2 2)(2k2 3)203(k2 1)2(3k2 2) (2k2 3)2 2 .203(k2 1)225k2 124 1635当且仅当 3k2 22 k23，即 k
7、1 时，上式取等号，故|AC| |BD|的最小值为 .1635当直线 BD 的斜率不存在或等于零时，可得|AC| BD| .1033 1635综上，|AC|BD|的最小值为 .16352已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ， 点 P 在椭圆x2a2 y2b2 13C 上，且PF 1F2 的面积的最大值为 2 .2(1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线 l：ykx2( k0)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若在 x 轴上存在点 G，使得|GM|GN|，求点 G 的横坐标的取值范围解 (1)由已知得 Error!解得 a29 ，b 28，c 21，椭圆
8、C 的方程为 1.x29 y28(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，MN 的中点为 E(x0，y 0)，点 G(m，0) ，使得| GM|GN|，则 GEMN.由Error! 得 x236 kx36 0 ，(8 9k2)由 0，得 kR 且 k0.x 1x 2 ，36k9k2 8 x0 ，y 0kx 02 . 18k9k2 8 169k2 8GEMN，k GE ，1k即 ，169k2 8 0 18k9k2 8 m 1km . 2k9k2 8 29k 8k当 k0 时， 9k 2 128k 98 2，(当 且 仅 当 9k 8k， 即 k 223时 ， 取 等 号 ) m0)与抛
9、物线 C2：y 22 ax 相交于 A，B 两点，且两曲线的焦点x2a2 y23F 重合(1)求 C1，C 2 的方程；(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M，Q 两点，与抛物线分别交于 P，N 两点，是否存在斜率为 k(k0)的直线 l，使得 2 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由|PN|MQ|解 (1)因为 C1，C 2 的焦点重合，所以 ，a2 3a2所以 a24.又 a0，所以 a2.于是椭圆 C1 的方程为 1，x24 y23抛物线 C2 的方程为 y24x .(2)假设存在直线 l 使得 2 ，|PN|MQ|当 lx 轴时，|MQ| 3，|PN| 4，不符合
10、题意，直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 yk (x1)( k0)，P(x 1，y 1)，Q (x2，y 2)，M( x3，y 3)，N(x 4，y 4)由Error!可得 k2x2(2 k24)x k 20 ，则 x1x 4 ，x 1x41，且 16 k2160 ，2k2 4k2所以|PN| 1 k2 x1 x42 4x1x4 .41 k2k2由Error! 可得(34k 2)x28k 2x4k 2120，则 x2x 3 ，x 2x3 ，8k23 4k2 4k2 123 4k2且 144k 21440 ，所以|MQ| .1 k2 x2 x32 4x2x3121 k23 4k2若 2
11、 ，|PN|MQ|则 2 ，41 k2k2 121 k23 4k2解得 k .62故存在斜率为 k 的直线 l，使得 2.62 |PN|MQ|4已知 M 是椭圆 C： 1(ab0)上的一点，F 1，F 2 是该椭圆的左、右焦点，(3， 12) x2a2 y2b2且|F 1F2|2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 A，B 是椭圆 C 上与坐标原点 O 不共线的两点，直线 OA，OB，AB 的斜率分别为k1，k 2，k ，且 k1k2k 2.试探究| OA|2| OB|2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解 (1)由题意知， F1( ，0) ，F 2( ，0)，3 3根据椭圆
12、定义可知|MF 1| MF2|2a，所以 2a 3 32 (12 0)24， 3 32 (12 0)2所以 a24 ，b 2a 2c 21，所以椭圆 C： y 21.x24(2)设直线 AB：ykxm (km0)，A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error! 来源:ZXXK消去 y，得(1 4k2)x28kmx4m 240，(8 km)216(m 21)(4 k21)0，x1x 2 ，x 1x2 ，8km1 4k2 4m2 41 4k2因为 k1k2k 2，所以 k 2，kx1 mx1 kx2 mx2即 km(x1x 2)m 20( m0)，解得 k2 .14|OA|2|OB| 2
13、 x x y y21 2 21 2 (x1x 2)22x 1x25，54所以|OA| 2|OB| 25.5已知椭圆 C： 1(ab0)的上顶点为点 D，右焦点为 F2(1,0)，延长 DF2 交椭圆 Cx2a2 y2b2于点 E，且满足|DF 2|3| F2E|.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F2 作与 x 轴不重合的直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，设椭圆 C 的左顶点为点 H，且直线 HA，HB 分别 与直线 x3 交于 M，N 两点，记直线 F2M，F 2N 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1 与 k2 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)
14、椭圆 C 的上顶点为 D(0，b )，右焦点 F2(1,0)，点 E 的坐标为( x，y )|DF 2|3| F2E|，可得 3 ，DF2 F2E 又 (1，b)， (x1，y) ，DF2 F2E Error! 代入 1 ，x2a2 y2b2可得 1 ，(43)2a2( b3)2b2又 a2b 21，解得 a22，b 21 ，即椭圆 C 的标准方程为 y 21.x22Error!根据 H，A，M 三点共线，可得 ，yM3 2 y1x1 2y M .y1(3 2)x1 2同理可得 yN ，y2(3 2)x2 2M ，N 的坐标分别为 ， ，(3， y1(3 2)x1 2)(3， y2(3 2)x
15、2 2)k 1k2 yMyNyM 03 1yN 03 1 14 14y1(3 2)x1 2 y2(3 2)x2 2y1y23 224(my1 1 2)(my2 1 2)y1y23 224m2y1y2 (1 2)m(y1 y2) (1 2)2 . 11 62m2 24 m2m2 2 2(1 2)m2m2 2 3 22 11 62m2 246 42m2 2 42 98k 1 与 k2 之积为定值，且该定值是 .42 986已知平面上动点 P 到点 F 的距离与到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的( 3， 0)433 32轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)设 M(m，n)是曲线
16、E 上的动点，直线 l 的方程为 mxny1.设直线 l 与圆 x2y 21 交于不同两点 C，D，求| CD|的取值范围；求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E的方程，并探究：若 M(m，n)是 曲线：Ax 2By 21(AB0)上的动点，是否存在与直线 l：mxny1 恒相切的定曲线 ？若存在，直接写出曲线 的方程；若不存在，说明理由解 (1)设 P(x，y)，由题意，得 .(x 3)2 y2|x 433| 32整理，得 y 21，x24曲线 E 的方程为 y 21.x24(2)圆心到直线 l 的距离 d ，1m2 n2直线与 圆有两个不同交点 C，D ，|CD| 24 .(1 1m2 n2)
17、又 n 21(m0)， 来源:ZXXKm24|CD| 24 .(1 43m2 4)|m |2，0m 24，01 .43m2 434|CD| 2(0 ，3，|CD| ，(0， 3即|CD|的取值范围为 .(0， 3当 m0 ，n1 时，直线 l 的方程为 y1；当 m2，n0 时，直线 l 的方程为 x .来源:Z.xx.k.Com12根据椭圆对称性，猜想 E的方程为 4x2y 21.下面证明：直线 mxny1(n0)与 4x2y 21 相切，其中 n 2 1，即 m24n 24.m24由Error! 消去 y 得(m24n 2)x22 mx1n 20，即 4x22 mx1n 20，4m 216
18、 4 0 恒成立，从而直线 mxny1 与椭圆(1 n2) (m2 4n2 4)E：4x 2y 21 恒相切若点 M 是曲线 ：Ax 2By 21 上的动点，则直线 l：mxny1 与定曲线(m， n) (AB0)： 1 恒相切x2A y2B(AB0)7. 已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A 2，右焦点为 F2(1,0)，点 Bx2a2 y2b2在椭圆 C 上(1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l：yk(x 4)( k0)与椭圆 C 由左至右依次交于 M，N 两点，已知直线 A1M 与 A2N相交于点 G，证明：点 G 在定直线上，并求出定直线的方程解析
19、：(1)由 F2(1,0)，知 c1，由题意得Error!所以 a2，b ，所以椭圆 C 的方程为 3x241.y23(2)因为 yk (x4) ，所以直线 l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点 G 在直线 xx 0 上当直线 l 过椭圆 C 的上顶点时，M(0， )，3所以直线 l 的斜率 k ，由Error!得Error!或Error!所以 N ，34 (85， 335)由(1)知 A1(2,0)，A 2(2,0)，所以直线 lA1M 的方程为 y (x2)，直线 lA2N 的方程为 y (x2)，所以32 332G ，所以 G 在直线 x1 上(1， 332)当直线 l 不过椭圆 C 的上顶点时，设 M(x1，y 1)，N (x2，y 2)，由Error!得 (34 k2)x232k 2x64k 2120，