1、02 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法高中必备知识点 1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式 2xbc，若存在 pqcb ，则 2xcxpq.要点诠释：（1）在对 2x分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 0c，则 pq、 同号(若 0c，则 pq、 异号)，然后依据一次项系数 b的正负再确定 pq、 的符号； （2）若 2xb中的 、 为整数时，要先将 c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 b，直到
2、凑对为止.要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法在二次三项式 2axbc(a0)中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 21a，常数项 可以分解成两个因数之积，即 21c，把 2121c， 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 121ac，若它正好等于二次三项式 2axbc的一次项系数 b，即 121acb，那么二次三项式就可以分解为两个因式 1axc与2x之积，即 12xcaxc.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子
3、分解因式 26+8法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由 ， ；分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ，6=(2)+(4)所以 .解： .26+8=(2)(4)法二：配方的思想. 26+8=26+99+8.请仿照上面的方法，解答下列问题：（1 ）用两种方法分解因式： ；210+21（2 ）任选一种方法分解因式： .(26)22(26)3【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x2+（m+n）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x2+（m+n）x+mn（x+m） （x+n） 例如：x 2+5x+6x 2+（2+3）
4、x+23（x+2） （x+3 ） 运用上述方法分解因式：（1 ） x2+6x+8；（2 ） x2x6；（3 ） x25xy+6y2；（4 ）请你结合上述的方法，对多项式 x32x23x 进行分解因式【能力提升】由多项式的乘法：(xa)(xb) x 2(ab)xab，将该式从右到左使用，即可得到用“ 十字相乘法”进行因式分解的公式：x2(a b)xab(xa)(xb)实例 分解因式：x 25x 6x 2(2 3)x23(x2)(x 3)(1)尝试 分解因式： x26x 8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 23x4 0.高中必备知识点 2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的
5、各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符号语言： )(cbamcba3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公 因 式原 多 项 式另 一 个 因 式 4.注意事项：因式分解一定要彻底典型考题【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+
6、 x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+ x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n 为正整数).【变式训练】因式分解：（1 ） 16a24b2（2 ） x32x2+x（3 ） （a 22b） 2（1 2b） 2【能力提升】分解因式：（1 ） 482+10（2 ） 2()2()（3 ）（4 ） 6()312()2（5 ） ，求 的值2+3+1=0 22010+62009+22008高中必备知识点 3：关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 20()abxca的两个实数根是 1x、 2，则二次三项式2(0)ab
7、c就可分解为 12x.典型考题【典型例题】因式分解： (2+2)27(2+2)8【变式训练】分解因式： (2)2+(2)6【能力提升】阅读材料：对于多项式 x22axa 2 可以直接用公式法分解为( xa) 2 的形式但对于多项式x22 ax3 a2 就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在 x22ax3a 2 中先加上一项 a2，再减去 a2 这项，使整个式子的值不变解题过程如下：x22 ax3 a2x 22ax3 a2a 2a 2(第一步)x 22axa 2 a23a 2(第二步)(xa) 2(2a) 2(第三步)(x3a )(xa) (第四步)参照上述材料，回答下列问题：(1)
8、上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法( )A提公因式法 B平方差公式法C完全平方公式法 D没有因式分解(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：_；(3)请你参照上述方法把 m26mn8n 2 因式分解专题验收测试题1下列分解因式正确的是（ ）Am 48m2+64=（m 28） 2Bx 4y4=（x 2+y2） （x 2y2）C 4a24a+1=（ 2a1） 2Da（ xy） b（yx ）=（x y） （ab）2将 b34b 分解因式，所得结果正确的是（ ）Ab （b 24） Bb （b 4） 2C b（ b2） 2 Db（b+2） （b2）3下列各式因式分解
9、正确的是( )Aa 2+4ab+4b2=(a+4b)2 B2a 2-4ab+9b2=(2a-3b)2C 3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) Da(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)4下列运算结果正确的是（）A B C D(2)3=5 ()2=22 3222=25多项式 3x2y6y 在实数范围内分解因式正确的是（ ）A B3y（x 22）3(+2)( 2)C y（3x 26） D 3(+2)( 2)6下列变形属于因式分解的是（ ）A4 x+x5x B （x+2 ） 2x 2+4x+4C x2+x+1x（x +1）+1 Dx 23xx （x 3）7在实数范围内把二次三项
10、式 x2+x1 分解因式正确的是（ ）A （x ） （x ） B （x ） （x+ ）1 52 1+52 1+52C （ x+ ） （x ） D （x+ ） （x+ ）1 52 1 52 1+528下列分解因式正确的是 ( )A B2+2=(+)() 22+1=(+1)2C D216=(+4)(4) 3=(21)9下列各式中，不是多项式 2x24x+2 的因式的是（ ）A2 B2（ x1） C （x1 ） 2 D2（x2 ）10已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 a3ab 2bc 2b 3a 2bac 2，则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D
11、等腰直角三角形11因式分解： _.2()4()12分解因式： _424+1=13在实数范围内分解因式：xy 23x_ 14分解因式：2a 3b8ab_15把多项式 269x分解因式的结果是_ 16分解因式：ab 22a2b+a2_17阅读下列材料，解决问题：12345678987654321 这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由 1 到9，是连续的自然数） ，到数 9 时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由 9 到 1） ，它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数记第一个橄榄数为 a11 ，第二个橄榄数为 a2121，第三个橄榄数为 a312321有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1
12、12，12111 2，12321111 2，1234321 1111 2而且，橄榄数可以变形成如下对称式：12311根据以上材料，回答下列问题（1 ） 11111112 ；将 123454321 变形为对称式：123454321 （2 ）一个两位数（十位大于个位） ，交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数 121，求这个两位数（3 ）证明任意两个橄榄数 am，a n 的各数位之和的差能被 mn 整除（m1，29 ， n1，29 ， mn）18如果 x2+Ax+B（x 3） （x+5） ，求 3AB 的值19阅读例题，回答问题：例题：已知二次三项式：x 2
13、4x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为 x+n，得 x24x+m(x+3)(x+n)，则 x24x+mx 2+(n+3)x+3n +3=4=3 =7=21 另一个因式为 x7，m21仿照以上方法解答下面的问题：已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x5，求另一个因式以及 k 的值20仔细阅读下面例题，解答问题：例题，已知二次三项式 x24xm 有一个因式是(x3)，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为(xn)，得 x24xm(x3)(xn)，则 x24xmx 2(n 3)x3n. ，+3=4=3 解得 n7 ， m21 ，另一个因式为(
14、x7)，m 的值为21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 3x25xm 有一个因式是(3x 1)，求另一个因式以及 m 的值21阅读下列材料，解答下列问题：材料 1把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（ a+b） 2 的形式，我们称 a2+2ab+b2 为完全平方式但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全
15、平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax3a2x 2+2ax+a2a23a2（x+a ） 2（2a ） 2（x+3a） （x a）材料 2因式分解：（x +y） 2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令 x+yA ，则原式A 2+2A+1（A+1） 2再将“ A”还原，得：原式（x +y+1） 2上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1 ）根据材料 1，把 c26c+8 分解因式；（2 ）结合材料 1 和材料 2 完成下面小题：分解因式：（ab） 2+2（ab）+1；分解因式：（m+n ） （m+ n4）+32
16、2已知 x4+y4+2x2y22x22y215=0，求 x2+y2 的值专题 02 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法高中必备知识点 1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式 2xbc，若存在 pqcb ，则 2xcxpq.要点诠释：（1）在对 2x分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 0c，则 pq、 同号(若 0c，则 pq、 异号)，然后依据一次项系数 b的正负再确定 pq、 的符号； （2）若 2xb中的 、 为整数时，要先将 c分解成
17、两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 b，直到凑对为止.要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法在二次三项式 2axbc(a0)中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 21a，常数项 可以分解成两个因数之积，即 21c，把 2121c， 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 121ac，若它正好等于二次三项式 2axbc的一次项系数 b，即 121acb，那么二次三项式就可以分解为两个因式 1与2x之积，即 12cxc.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数 a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后
18、结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子 分解因式 法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由 ， ；分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ，6=(2)+(4)所以 .解： .26+8=(2)(4)法二：配方的思想. 26+8=26+99+8.请仿照上面的方法，解答下列问题：（1 ）用两种方法分解因式： ；210+21（2 ）任选一种方法分解因式： .(26)22(26)3【答案】 （1） ；（2）【解析】（1 ）法一：, 法二： 210+21, （2 ） (26)22(26)3. 或(26)22(26)3=(26)22(26)+113=(261)24=(27)2
19、4=(27+2)(272)=(25)(29).【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x2+（m+n）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x2+（m+n）x+mn（x+m） （x+n） 例如：x 2+5x+6x 2+（2+3）x+23（x+2） （x+3 ） 运用上述方法分解因式：（1 ） x2+6x+8；（2 ） x2x6；（3 ） x25xy+6y2；（4 ）请你结合上述的方法，对多项式 x32x23x 进行分解因式【答案】 （1） （2 ） ；（3） （4 ）(+2)(3).(3)(+1)【解析】解： ；(1)2
20、+6+8=(+2)(+4)；(2)26=(+2)(3)；(3)25+62=(2)(3)故答案为：(1) (2) ；(3) (4) .(+2)(3) (3)(+1)【能力提升】由多项式的乘法：(xa)(xb) x 2(ab)xab，将该式从右到左使用，即可得到用“ 十字相乘法”进行因式分解的公式：x2(a b)xab(xa)(xb)实例 分解因式：x 25x 6x 2(2 3)x23(x2)(x 3)(1)尝试 分解因式： x26x 8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 23x4 0.【答案】(1) (x+2)(x4)；(2) x4 或 x1.【解析】(1)原式=(x+2)(x4) ； (2)
21、x23x4 (x4)(x1)0，所以 x4 0 或 x10，即 x4 或 x1.高中必备知识点 2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符号语言： )(cbamcba3.提公因式的步骤：（2）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公 因 式原 多 项 式另 一 个 因 式 4.注意事项：因式分解一定要彻底典型考题【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)
22、1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+ x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n 为正整数).【答案】 （1）提公因式，两次；（ 2）2004 次， （x1 ） 205；(3) (x1) 1+n【解析】（1 ）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了 2 次故答案为：提公因式法，2 次；（2 ） 1+x+x（x+1 ）+x（x+1） 2+ x(x+1)2004，=（1+x）1+x+x （1
23、+x）+ x(x+1)2003=2203(1)(1)xx 个=（1+x） 2005，故分解 1+x+x（x+1）+x（x+1） 2+ x(x+1)2004， ，则需应用上述方法 2004 次，结果是：（x+1 ） 2005（3 ）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2+x（x+1） n（n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1故答案为：（x+1） n+1【变式训练】因式分解：（1 ） 16a24b2（2 ） x32x2+x（3 ） （a 22b） 2（1 2b） 2【答案】 （1）4（2 a+b） （2 ab） ；（2）x（x 1） 2；（3） （a 24b+1） （a +1） （a
24、 1） 【解析】解：（1）原式4（4a 2b2）4 （ 2a+b） （2a b） ；（2 ） x32x2+xx（x 22x+1）x（x1） 2；（3 ） （a 22b） 2（1 2b） 2（a 22b+12b） （a 22b1+2b）（a 24b+1） （a+1） （a1 ） 【能力提升】分解因式：（1 ） 482+10（2 ） 2()2()（3 ） 15()23()（4 ） 6()312()2（5 ） ，求 的值2+3+1=0 22010+62009+22008【答案】 （1）-2b（2a+4b-5） ；（2） （n-m） （2n-m） ；（3）3y（a-b）5a-5b+1 ；（4）6（n-
25、m） 2（m-n-2 ） ；（5）0【解析】（1 ） = -2b（2a+4b-5） ； 482+10（2 ） =（n-m） （2n-m ） ；2()2()=2()2+()（3 ）（4 ） 6()312()2=6()312()2=6()2(2)（5 ） 22010+62009+22008=22008(2+3+1)=0高中必备知识点 3：关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 20()abxca的两个实数根是 1x、 2，则二次三项式2(0)abc就可分解为 12x.典型考题【典型例题】因式分解： (2+2)27(2+2)8【答案】 (2)(+4)(+1)2【
26、解析】解：原式【变式训练】分解因式： (2)2+(2)6【答案】 （x 2-x+3） （x+1 ） （x-2 ） 【解析】原式=（x 2-x+3） （x 2-x-2）=（x 2-x+3） （x+1） （x-2） 【能力提升】阅读材料：对于多项式 x22axa 2 可以直接用公式法分解为( xa) 2 的形式但对于多项式x22 ax3 a2 就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在 x22ax3a 2 中先加上一项 a2，再减去 a2 这项，使整个式子的值不变解题过程如下：x22 ax3 a2x 22ax3 a2a 2a 2(第一步)x 22axa 2 a23a 2(第二步)(xa)
27、2(2a) 2(第三步)(x3a )(xa) (第四步)参照上述材料，回答下列问题：(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法( )A提公因式法 B平方差公式法C完全平方公式法 D没有因式分解(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：_；(3)请你参照上述方法把 m26mn8n 2 因式分解【答案】(1)C；(2) 平方差公式法；(3)(m2n)(m4n)【解析】(1)C；(2)平方差公式法；(3)m26mn 8n 2m 26mn 8n 2n 2n 2m 26mn 9n 2n 2(m 3n) 2n 2(m 2n)(m4n)专题验收测试题1下列分解因式正确的是（
28、 ）Am 48m2+64=（m 28） 2Bx 4y4=（x 2+y2） （x 2y2）C 4a24a+1=（ 2a1） 2Da（ xy） b（yx ）=（x y） （ab）【答案】C【解析】A. 原式不能合并，错误；B. 原式=(x 2+y2)(x2y2)=(x2+y2)(x+y)(xy)，错误；C. 原式=(2a1) 2，正确；D. 原式=(xy)(a+b)，错误.故答案选 C.2 将 b34b 分解因式，所得结果正确的是（ ）Ab （b 24） Bb （b 4） 2C b（ b2） 2 Db（b+2） （b2）【答案】D【解析】解：b 34bb （b 24）b（b+2 ） （b 2） 故
29、选：D3 下列各式因式分解正确的是( )Aa 2+4ab+4b2=(a+4b)2 B2a 2-4ab+9b2=(2a-3b)2C 3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) Da(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)【答案】D【解析】a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项 A 不正确；2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2 不是因式分解，B 不正确；3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项 C 不正确；a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解， D 正确，故选 D4 下列运算结果正确的是（）A B C D(2)3=5 3222=2【答
30、案】D【解析】A 选项：（a 2） 3=（a 2）（a 2）（a 2）=a 6，A 选项的答案不对；B 选项：先默写完全平方公式；（a-b） 2=a2-2ab+b2，B 选项的答案不对；C 选项：提取公因数 a2b；-3a 2b-2a2b=（-2-3 ）a 2b=-5a2b，C 选项的答案正确；D 选项：提取公因数 a2；-a 2b+a2=（-b+1）a 2 ，D 选项的答案不对；故选：C5 多项式 3x2y6y 在实数范围内分解因式正确的是（ ）A B3y（x 22）3(+2)( 2)C y（3x 26） D 3(+2)( 2)【答案】A【解析】解：3x 2y6y3 y（x 22）3 y（x
31、 + ） （ x ）2 2故选：A6 下列变形属于因式分解的是（ ）A4 x+x5x B （x+2 ） 2x 2+4x+4C x2+x+1x（x +1）+1 Dx 23xx （x 3）【答案】D【解析】解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确故选：D7 在实数范围内把二次三项式 x2+x1 分解因式正确的是（ ）A （x ） （x ） B （x ） （x+ ）1 52 1+52 1 52 1+52C （ x+ ） （x ） D （x+ ） （
32、x+ ）1 52 1+52 1 52 1+52【答案】D【解析】解：令 x2+x-1=0，解得：x 1= ，x 2= ，-1+ 52 -1- 52则 x2+x-1=（x+ ） （x+ ）1- 52 1+ 52故选：D8 下列分解因式正确的是 ( )A B2+2=(+)() 22+1=(+1)2C D 3=(21)【答案】C【解析】解：A、原式不能分解，错误；B、原式 ，错误；=(1)2C、原式 ，正确；= (+4)(4)D、原式 ，错误=(21)=(+1)(1)故选：C9 下列各式中，不是多项式 2x24x+2 的因式的是（ ）A2 B2（ x1） C （x1 ） 2 D2（x2 ）【答案】D
33、【解析】原式2（x 22x+1）2（x 1） 2。故选：D10 已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 a3ab 2bc 2b 3a 2bac 2，则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形【答案】C【解析】解：a 3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，a 3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，（a 3-a2b）+（ab 2-b3）- （ac 2-bc2）=0，a 2（a-b ）+b 2（a-b ）-c 2（a-b）=0，（a-b） （a 2+b2-c2）=0，a-b=0 或 a2+b2-c2=0a=b 或 a2+b2=c2故
34、ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C11 因式分解： _.2()4()【答案】 ()(+2)(2)【解析】a2（a-b ）-4（a-b）=（a-b） （a 2-4）=（a-b） （a-2） （a+2） ，故答案为：（a-b） （a-2） （a+2） 12 分解因式： _424+1=【答案】 (21)2【解析】解： 424+1=(21)2故答案为： (21)213 在实数范围内分解因式：xy 23x_ 【答案】x（y+ 3） （y ）【解析】解：xy 23xx（y 23）xy 2 )3(x（y+ ） （y ） ，故填：x（y+ ） （y 3） ，14 分解因式：2a 3b8ab_【答
35、案】2ab(a+2)(a 2)【解析】解：原式2ab(a 24)2ab(a+2)(a2)，故答案为：2ab(a+2)(a 2)15 把多项式 3269x分解因式的结果是_ 【答案】 【解析】 3269x=239x= 23x故答案为： 16 分解因式：ab 22a2b+a2_【答案】a （b 22ab+a） 【解析】原式a （b 22ab+a） 故答案为：a （b 22ab+a） 17 阅读下列材料，解决问题：12345678987654321 这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由 1 到9，是连续的自然数） ，到数 9 时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由 9 到 1） ，它活
36、像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数记第一个橄榄数为 a11 ，第二个橄榄数为 a2121，第三个橄榄数为 a312321有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1 12，12111 2，12321111 2，1234321 1111 2而且，橄榄数可以变形成如下对称式：12131根据以上材料，回答下列问题（1 ） 11111112 ；将 123454321 变形为对称式：123454321 （2 ）一个两位数（十位大于个位） ，交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数 121，求这个两位数（3 ）证明任意两个橄榄数 am，a n 的各数位之和的差能被 mn 整除（m
37、1，29 ， n1，29 ， mn）【答案】 （1）5234567,1234321；（2 ）65， 74， 83，92；（3 ）任意两个橄榄数 am，a n 的各数位之和的差能被 mn 整除【解析】（1 ）根据题中给出的定义，直接可得：111111121234567654321，1234543215123421；（2 ）设十位数字是 x，个位数字是 y，xy，10x+y+10y+x11 （x+y）121，x+y11，这个两位数是 65，74 ，83，92；（3 ） am 的各数位之和 1+2 +3+m+（m1 ）+2+1(1)()2mm 2，an 的各数位之和 1+2+3+m+（m1 ）+2+
38、1()()nn 2，a m，a n 的各数位之和的差为 m2n2（m+ n） （mn） ，mn，m 2n2（m+n ） （m n）能被 mn 整除，任意两个橄榄数 am，a n 的各数位之和的差能被 mn 整除18 如果 x2+Ax+B（x 3） （x+5） ，求 3AB 的值【答案】21.【解析】解：x 2+Ax+B（x 3） （x+5）x 2+2x15，得A2 ，B 153AB32+1521故答案为：2119 阅读例题，回答问题：例题：已知二次三项式：x 24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为 x+n，得 x24x+m(x+3)(x+n)，则 x24
39、x+mx 2+(n+3)x+3n +3=4=3 =7=21 另一个因式为 x7，m21仿照以上方法解答下面的问题：已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x5，求另一个因式以及 k 的值【答案】另一个因式为(x+4) ， k 的值为 20【解析】解：设另一个因式为(x+n) ，得 2x2+3xk(2x5)(x+n)2x 2+(2n5)x5n，则 25=3=5 解得：n4 ，k20，故另一个因式为(x+4) ，k 的值为 2020 仔细阅读下面例题，解答问题：例题，已知二次三项式 x24xm 有一个因式是(x3)，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为(xn)，得 x24xm(x
40、3)(xn)，则 x24xmx 2(n 3)x3n. ，+3=4=3 解得 n7 ， m21 ，另一个因式为(x7)，m 的值为21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 3x25xm 有一个因式是(3x 1)，求另一个因式以及 m 的值【答案】另一个因式为(x2)，m 的值为 2.【解析】解：设另一个因式为(xn)，则 3x25xm (3x 1)(xn)，则 3x25xm 3x 2(3n 1)xn， ，31=5= 解得 n2 ，m 2，另一个因式为(x2)，m 的值为 2.21 阅读下列材料，解答下列问题：材料 1把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因
41、式如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（ a+b） 2 的形式，我们称 a2+2ab+b2 为完全平方式但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax3a2x 2+2ax+a2a23a2（x+a ） 2（2a ） 2（x+3a） （x a）材料 2因式分解：（x +y） 2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令 x+yA
42、，则原式A 2+2A+1（A+1） 2再将“ A”还原，得：原式（x +y+1） 2上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1 ）根据材料 1，把 c26c+8 分解因式；（2 ）结合材料 1 和材料 2 完成下面小题：分解因式：（ab） 2+2（ab）+1；分解因式：（m+n ） （m+ n4）+3【答案】 （1）(c-4)(c-2) ；（2）（a-b+1） 2；（m+n-1） （m+n-3）.【解析】（1 ） c2-6c+8 =c2-6c+32-32+8 =（c-3） 2-1 =（c-3+1） （c-3+1）=(c-4)(c-2)；（2 ）
43、 （a-b） 2+2（a-b）+1 设 a-b=t，则原式=t 2+2t+1=（t+1） 2，则（a-b） 2+2（a-b）+1=（a-b+1） 2；（m+n ） （m+n-4）+3 设 m+n=t，则 t（t-4）+3 =t2-4t+3 =t2-4t+22-22+3 =（t-2 ） 2-1 =（t-2+1） （t-2-1 ）=（t-1 ） （t-3 ） ，则（m+n ） （m+n-4）+3=（m+n-1） （m+n-3） 22 已知 x4+y4+2x2y22x22y215=0，求 x2+y2 的值【答案】x 2+y2=5【解析】x 4+y4+2x2y22x22y215=0，（x 2+y2）2（x 2+y2）15=0（x 2+y25） （x 2+y2+3）=0x 2+y25=0，x 2+y2+3=0，x 2+y2=5，x 2+y2=3（不
