1、06 二次函数的简单应用高中必备知识点 1：平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可典型考题【典型例题】如图，抛物线 经过 两点，顶点为 D=2+3求 a 和 b 的值；(1)将抛物线沿 y 轴方向上下平移，使顶点 D 落在 x 轴上(2)求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿 x 轴方向左右平移得到新抛物线，若 时，新抛物线对应的函
2、数有最小值 2，求平移的方向和单位长度【变式训练】已知抛物线 ，把它向上平移，得到的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C=132点，若 是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【能力提升】已知抛物线 yx （x2 ）+2 （1 ）用配方法把这个抛物线的表达式化成 ya（x +m） 2+k 的形式，并写出它的项点坐标；（2 ）将抛物线 yx （x 2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式高中必备知识点 2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函
3、数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题典型考题【典型例题】如图，抛物线 y=ax-2x+c(a0)与 x 轴，y 轴分别交于点 A， B，C 三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点 D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，第四象限的抛物线上有一点 P，将EB 直线 EP折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标；【变式训练】已知二次函数
4、的图象的顶点坐标为(3,-2),且与 y 轴交于（0, ）.52(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n) 都在该抛物线上 ,若 pq5,判断 m 和 n 的大小.【能力提升】已知抛物线 经过点（1，-2） =(3)2+2（1 ）求 的值；（2 ）若点 A（m，y 1） 、B（n ，y 2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小高中必备知识点 3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数典型考题【典型例题】函数1()0xf)(，则 )1(f的值是_【变式训练】已知函数 ，若 ，则 _()=+1, 0)，=(1
5、+)2时，新抛物线对应的函数有最小值 2，新抛物线必过点 ，(1,2)，鈭 ?=(11+)2解得： 舍去 ；)若将抛物线 向右平移 个单位长度，则新抛物线的解析式为=(1)2 (0)，=(1)2时，新抛物线对应的函数有最小值 2，新抛物线必过点 (2,2)，鈭 ?=(21)2解得： 舍去 )将抛物线 向左平移 个单位长度或向右平移 个单位长度=(1)2 2 1+2【变式训练】已知抛物线 ，把它向上平移，得到的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C=132点，若 是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移 3 个单位【解析】由题意知， 必为等腰直角三角形，设平
6、移后的抛物线为 ，=132+则 ，代 入抛物线方程得： ，(,0)0=132+舍去 所以向上平移 3 个单位【能力提升】已知抛物线 yx （x2 ）+2 （1 ）用配方法把这个抛物线的表达式化成 ya（x +m） 2+k 的形式，并写出它的项点坐标；（2 ）将抛物线 yx （x 2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式【答案】 （1）y（x 1） 2+1，它的顶点坐标为：（ 1，1） ；（2）图象向下平移 1 个单位得到：y（x1） 2【解析】（1 ） y=x（x2）+2=x 22x+2=（x 1） 2+1，它的顶点坐标为：（ 1，1） ；（2 ） 将抛物线 y=x（x 2
7、）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，图象向下平移 1 个单位得到：y=（x 1） 2高中必备知识点 2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题典型考题【典型例题】如图，抛物线 y=ax-2x+c(a0)与 x 轴，y 轴分别交于点 A， B，C 三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)
8、，点 D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，第四象限的抛物线上有一点 P，将EB 直线 EP折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，求点 P 的坐标；【答案】(1)y=x 22x8；D(1 ，9)；(2)P( )【解析】(1)将点 A、点 C 的坐标代入抛物线的解析式得： ，4+4+=0=8 解得：a=1，c=8 抛物线的解析式为 y=x22x8y=(x1) 29，D(1，9)(2)将 y=0 代入抛物线的解析式得：x 22x8=0，解得 x=4 或 x=2，B(4，0)y=(x1) 29，抛物线的对称轴为 x=
9、1，E(1，0)将EBP 沿直线 EP 折叠，使点 B 的对应点 B落在抛物线的对称轴上，EP 为 BEF 的角平分线BEP=45设直线 EP 的解析式为 y=x+b，将点 E 的坐标代入得：1+b=0，解得 b=1，直线 EP 的解析式为 y=x+1将 y=x+1 代入抛物线的解析式得：x+1=x 22x8，解得：x= 或 x= 1 372 1+372点 P 在第四象限，x= 1+372y= 1 372P( )【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与 y 轴交于（0, ）.52(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n) 都在该抛物线上 ,若 pq5,判断 m
10、 和 n 的大小.【答案】 （1） y= (x-3)2-2.（2）mn.12【解析】(1)由题意设函数的解析式为 y=a(x-3)2-2,根据题意得 9a-2= 52解得 a= ，12所以函数解析式是 y= (x-3)2-2.12(2)因为 a= 0,所以抛物线开口向上,12又因为二次函数的对称轴是直线 x=3.所以当 x3 时,y 随 x 增大而增大 ,因为 pq53,所以 mn.【能力提升】已知抛物线 经过点（1，-2） =(3)2+2（1 ）求 的值；（2 ）若点 A（m，y 1） 、B（n ，y 2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小【答案】 （1）a=-1；（
11、2 ）y 1 y2【解析】(1)、抛物线 经过点（1，-2） ， ，解得 a=-1；=(3)2+2 2=(13)2+2(2)、函数 的对称轴为 x=3，=(3)2+2 A（m ，y 1） 、B（n，y 2） （ mn 3 ）在对称轴左侧，又抛物线开口向下， 对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大， mn3 ， y1y 2高中必备知识点 3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数典型考题【典型例题】函数1()0xf)(，则 )1(f的值是_【答案】0【解析】函数 f（x）10x， ， ， ，f（1 ）110，f（f（1） ）f（0）0 故答案为
12、：0【变式训练】已知函数 ，若 ，则 _()=+1, 12,鈮 ? (0)=2 =【答案】 1【解析】，故 ，填 =1 1【能力提升】函数 _【答案】1.【解析】由题意得 (9)=(94)=(5)=(54)=(1)=2脳 11=1故答案为：1专题验收测试题1如图，在四边形 ABCD中， /， DCB， 4cm， 6cBC，3cmAD，动点 P， Q同时从点 出发，点 P以 2c/s的速度沿折线B运动到点 ，点 以 1cm/s的速度沿 运动到点 ，设 P， Q同时出发 st时， 的面积为2 y，则 与 t的函数图象大致是( )A BC D【答案】B【解析】解：作 AEBC 于 E，根据已知可得，
13、AB2=42+（6-3 ） 2，解得，AB=5cm下面分三种情况讨论:当 0t2.5 时： P 点由 B 到 A，21425yttA,y 是 t 的二次函数.最大面积= 5 cm2;当 2.5t4 时，即 P 点在 AD 上时，t, y 是 t 的一次函数且最大值=2148cm2;当 4t6 时，即 P 点从 D 到 C 时，21 6,2yttty 是 t 的二次函数故符合 y 与 t 的函数图象是 B故选：B2 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，DCBC ，DC 4 cm，BC6cm，AD3cm，动点P，Q 同时从点 B 出发，点 P 以 2cm/s 的速度沿折线 BAADDC 运动到
14、点 C，点 Q 以 1cm/s的速度沿 BC 运动到点 C，设 P，Q 同时出发 xs 时，BPQ 的面积为 ycm2则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A B C D【答案】B【解析】作 AEBC 于 E，根据已知可得，AB24 2+（6 3） 2，解得，AB5 cm当 0x2.5 时：P 点由 B 到 A，BPQ 的面积从小到大，且达到最大此时面积122.545cm 2当 2.5x4 时，即 P 点在 AD 上时，142yx，且增大值为：2148cm2；当 4x6 时，即 P 点从 D 到 C 时，y()x 2+6x故符合 y 与 x 的函数图象大致是 B故选 B3 如图，矩形 ABCD
15、 中，AB3，BC5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 不与点 B、C重合） ，现将PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 C处；作 BPC的角平分线交 AB 于点E，设 BPx， BEy，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：如图，连接 DE，PCD 是PCD 沿 PD 折叠得到，CPDCPD ，PE 平分 BPC，BPECPE ，EPC+DPC 1218090，DPE 是直角三角形，BPx ，BEy，AB 3 ，BC5，AEABBE3y ，CP BC BP5 x，在 RtBEP 中， PE2BP 2+BE2x
16、2+y2，在 RtADE 中，DE 2AE 2+AD2（3y ） 2+52，在 RtPCD 中， PD2PC 2+CD2（5 x） 2+32，在 RtPDE 中， DE2PE 2+PD2，则（3y） 2+52 x2+y2+（5x ） 2+32，整理得，6y 2x210x，所以 y13x（0x5） ，纵观各选项，只有 D 选项符合故选：D4 某种圆形合金板材的成本 y（元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为 xcm，当 x3时，y18，那么当半径为 6cm 时，成本为（ ）A18 元 B36 元 C54 元 D72 元【答案】D【解析】解：根据题意设 ykx 2，当 x3 时， y18，18
17、 k9，则 k2，yk x2 x22x 2，当 x6 时，y 23672，故选：D5 把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 （米）与所经过的时间（秒）之间的关系为 . 若存在两个不同的 的值，使足球离地面的 高度均为 （米） ，则 的取值范围（ ） A B C D0鈮 鈮 ?2 0鈮 50 42鈮 鈮 ?0【答案】C【解析】a0 ，由题意得方程10t- t2=a 有两个不相等的实根12=b 2-4ac=102+4 a0 得 0a5012又0t14当 t=14 时，a=h=1014- 142=4212所以 a 的取值范围为：42a50故选：C6 汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米
18、）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b 为常数） 已知 t= 时，s=6 ，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）12A 米 B8 米 C 米 D10 米152 758【答案】C【解析】解：把 t= ，s=6 代入 s=-6t2+bt 得，126=-6 +b ，14 12解得，b=15函数解析式为 s=-6t2+15t=-6（t- ） 2+ ，54 758当 t= 时，s 取得最大值，此时 s= ，54 758故选：C7 已知直线 yn 与二次函数 y （x2 ） 21 的图象交于点 B，点 C，二次函数图象的顶点12为 A，当ABC 是等腰直角三角形时，则 n 的值
19、为（ ）A1 B C2 D2+2 2 2【答案】A【解析】设 B（x 1，n ） 、 C（x 2，n ） ，作 ADBC，垂足为 D 连接 AB，AC，y （x 2） 21，12顶点 A（2，1） ，ADn（1）n+1直线 yn 与二次函数 y （x 2） 21 的图象交于点 B、C，12 （x2） 21 n，12化简，得 x24x+22n0，x1+x24，x 1x22 2n，BC |x1x2| ，点 B、C 关于对称轴直线 AD 对称，D 为线段 BC 的中点，ABC 是等腰直角三角形，AD BC，12即 BC 2AD2 （n+1） ，22+2（2+2n）（n+1） 2，化简，得 n21，n
20、1 或1，n1 时直线 yn 经过点 A，不符合题意舍去，所以 n1 故选：A8 如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 yax 2+bx+c（a0 ） 如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）A10m B20m C15m D22.5m【答案】C【解析】根据题意知，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（0，54.0 ） 、 （40，46.2） 、 （20，57.9） ，则
21、 ，解得： ，所以 x=- =15（m） 故选 C9 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；92足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】解：由题意，抛物线的解析式为 y=at(t-9)，把
22、(1，8) 代入可得 a=-1，y=-t 2+9t=-(t-4.5)2+20.25，足球距离地面的最大高度为 20.25m，故错误，抛物线的对称轴 t=4.5，故正确，t=9 时，y=0，足球被踢出 9s 时落地，故 正确，t=1.5 时，y=11.25，故错误，正确的有.故选 B.10 某一型号飞机着陆后滑行的距离 S（单位：米）关于滑行的时间 t（单位：秒）之间的函数解析式是 S1.5t 2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（ ）秒才能停下来A600 B300 C40 D20【答案】D【解析】解：由题意，s1.5t 2+60t，1.5（t 240t+400400）1.5（t20） 2+600
23、，即当 t20 秒时，飞机才能停下来故选：D11 如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4m，从 O、A 两处双测 P 处，仰角分别为 、，且 tan12，tan 3，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 P 点坐标为 _；若水面上升 1m，水面宽为_m【答案】3,2； 【解析】解：（1）过点 P 作 PHOA 于 H，如图设 PH3x，在 RtOHP 中，tanPH1O2，OH 6x在 RtAHP 中，tan32PHA，AH2x，OAOH +AH8x4 ，x12，OH 3，PH ，点 P 的坐标为（ 3， 2） ；故答案是：（3， ） ；（2 ）若水面上升
24、1m 后到达 BC 位置，如图，过点 O（ 0，0） ，A（4 ，0）的抛物线的解析式可设为 y ax（x4） ，P（3， 2）在抛物线 yax（x 4）上，3 a（34） ，解得 a 12，抛物线的解析式为 y12x（x4 ） 当 y1 时， x（x 4）1，解得 x12+ 2，x 22 ，BC （2+ ）（2 ）2 故答案是：2 12 某一房间内 A、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从 AB 之间经过时，将触发报警现将 A、B 两点放置于平面直角坐标系 xOy 中（如图）已知点 A，B 的坐标分别为（0，4 ） ， （5，4） ，小车沿抛物线 y=ax2-
25、2ax-3a 运动若小车在运动过程中只触发一次报警，则 a 的取值范围是_【答案】a -43或 a1【解析】解：抛物线 y=ax2-2ax-3a=a（x+1） （x-3） ，其对称轴为：x=1，且图象与 x 轴交于（-1，0） ， （3 ，0） 当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得 4=-3a，a= 3，由对称轴为 x=1 及图象与 x 轴交于（-1，0） ， （3，0）可知，当 a43时，抛物线与线段 AB 只有一个交点；当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得 25a-10a-3a=4，a=13，同理可知当 a13时，抛物线与线段 AB 只有一个交点故答案为：a4或 a 13 为了节省材料
26、，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 80m 的篱笆围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域 ABCD 的面积最大值是_m 2【答案】300【解析】如图，三块矩形区域的面积相等，矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍，AE2BE，设 BCx，BEFCa，则 AEHGDF2a ，DF+FC+ HG+AE+EB+EF+BC 80，即 8a+2x80，a x+10，3a x+30，14 34矩形区域 ABCD 的面积 S（ x+30）x x2+30x，34 34a x+100，14x40，则 S x2+30x（0x 40） ；34S x
27、2+30x （x 20） 2+300（0 x40） ，且二次项系数为 0，34 34 34当 x20 时，S 有最大值，最大值为 300m2故答案为：30014 某民房发生火灾两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E发现乙楼 F 处出现火灾，此时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E，F 若点 B 和点 E、点 C 和点 F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移 5m，再向左后退_m，恰好把水喷到 F 处进行灭火【答案】5【解析】由图可知：A(0，21.2)，B (0，
28、 9.2)，C (0，6.2) ，D (0，1.2) ，点 B 和点 E、点 C 和点 F 的离地高度分别相同，E(20 ， 9.2)，设 AE 的直线解析式为 ykx+b，9.2=20+=21.2 ，k=35b=21.2 y x+21.2，35A，E，F 在同一直线上F (25，6.2)，设过 D，E ，F 三点的抛物线为 yax 2+bx+c， ，=1.29.2=400+20+6.2=625+25+ ，水流抛物线向上平移 5m，设向左退了 m 米，D(0，6.2)，设平移后的抛物线为 ，经过点 F，m5 或 m 25(舍)，向后退了 5 米故答案为 515 某网店销售某种商品，成本为 30 元/ 件，当销售价格为 60 元件/时，每天可售出 100件，经市场调查发现，销售单价每降 1 元，每天销量增加 10 件.当销售单价为_元时，每天获取的利润最大.【答案】50【解析】解：设当销售单价为 x 元时，每天获取的利润为 y 元，则 y=（ x-30）100+10（60-x） =-10x2+1000x-21000=-10（x-50） 2+4000，当 x=50 时， y 有最大值，且为 4000，故答案为：5016 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离
