1、09 三角形高中必备知识点 1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图 3.2-1 ，在三角形 ABCV中，有三条边 ,ABC，三个角 ,ABC，三个顶点 ,AB，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内
2、部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点 A、 B、 C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在O 中， AB 是的直径，PA 与O 相切于点 A，点 C 在O 上，且 PCPA， （1 ）求证 PC 是 O 的切线；（2 ）过点 C 作 CDAB 于点 E，交O 于点 D，若 CDPA2 ， 求图中阴影部分面积；连接 AC，若 PAC 的内切圆圆心为 I，则线段 IE 的长为 【变式训练】已知菱形 ABCD 的边长为 2 ADC=60
3、，等边AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。（1 ）特殊发现：如图，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点求证：菱形 ABCD 对角线AC、BD 交点 O 即为等边AEF 的外心；（2 ）若点 E、 F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点 P猜想验证：如图猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图，当AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交边 DC 的延长线于点 N，试判断 是否为定值若是请求出该定值；若不是请1+1说明理由。【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，
4、 PDAC，PEAB，垂足分别为点 D、E，若 PDPE ，则点 P 为ABC 的准内心（1 ）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准内心 P 在高 CD 上，且 PD AB，求12APB 的度数（2 ）探究：如图 3，已知ABC 为直角三角形，斜边 BC5 ，AB3，准内心 P 在 AC 边上（不与点 A、C 重合） ，求 PA 的长高中必备知识点 2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、
5、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典型考题【典型例题】问题发现：如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 是边 AD 上的一点，过点 D 作 DEBC 交AC 于 E，则线段 BD 与 CE 有何数量关系？拓展探究：如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转角 （0360 ） ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明问题解决：如果ABC 的边长等于 2 3，AD2 ，直接写出当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时 BD 的长【变式训练】如图，两条射线 BA/CD，PB 和 PC 分别平分ABC 和DCB ，AD 过点 P，分别交 AB，CD与点 A，D（1 ）求
6、BPC 的度数；（2 ）若 ,60,2ADBCBP，求 AB+CD 的值；（3 ）若 PS为 a， DP为 b， CS为 c，求证：a+b=c【能力提升】如图，ABC 、 DCE、FEG 是三个全等的等腰三角形，底边 BC、CE、EG 在同一直线上，且 AB= 3，BC=1，连结 BF，分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、R (1)求证：BFGFEG (2)求 sinFBG 的值专题验收测试题1如图，等边三角形的顶点 A（1 ，1） ，B（3，1 ） ，规定把等边ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位” 为一次变换，C 点的对应点记为 C1如果这样连续经过 2019 次变换后，则
7、 C2019 的坐标为（ ）A （2017，1 3） B （2017，1+ 3）C （ 2018，1 ） D （2018 ，1+ ）2如图，在正方形纸片 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上，落点为 N，折痕交 CD 边于点 M，BM 与 EF 交于点 P，再展开则下列结论中：CM DM；ABN30；AB 23CM 2；PMN 是等边三角形正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图，DE 是线段 AC 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）ADE BD BBCD AC B2A D2BAC 1802 ADE4如图，将
8、矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 C处，BC交 AC 于点 E，若AEB75，则BAC 的度数为（ ）A.60 B.65 C.70 D755如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若CD=AD， B=20，则下列结论中错误的是（ ）ACAD=40 BACD=70 C点 D 为ABC 的外心 DACB=906如图，锐角ABC 中，BCABAC，求作一点 P，使得 BPC 与A 互补，甲、乙两人作法分别如下：甲：以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AC
9、 于 P 点，则 P 即为所求 .乙：作 BC 的垂直平分线和BAC 的平分线，两线交于 P 点，则 P 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )A两人皆正确 B甲正确，乙错误 C甲错误，乙正确 D两人皆错误7如图，把边长为 4 的正方形 ABCD 绕 A 点顺时针旋转 30得到正方形 ABCD，边 BC与DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是( ).A12 B8+43C8+83D8+ 438如图，已知BED 55 ，则 B+C（ ）A30 B35 C45 D559钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤 AB 的坡度为1： 2.4， AB 长为 3.9
10、米，钓竿 AC 与水平线的夹角是 60，其长为 4.5 米，若钓竿 AC 与钓鱼线 CD 的夹角也是 60，则浮漂 D 与河堤下端 B 之间的距离约为( ) 米(参考数据：31.732)A1.732 B1.754 C1.766 D1.82310已知：如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 AB 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 G,过 G 作GEAD 于点 E,若 AB=2,且1= 2, 则下列结论：DF AB;CG=3GA;CG=DF+GE;S 四边形 BFGC= 31 中, 说法正确的是( )A B C D11如图，在一张长为 8cm，宽为 6cm 的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为 5
11、cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上） 则剪下的等腰三角形的底边长可以是_12如图，在 ABC中， D平分 BAC， D，点 E是 BC的中点，连结 DE,且6， 10，则 E_ .13如图，已知等边三角形 OA1B1，顶点 A1 在双曲线43yx（x0 ）上，点 B1 的坐标为（4 ， 0） 过 B1 作 B1A2OA 1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2A 1B1 交 x 轴于点 B2，得到第二个等边B 1A2B2；过 B2 作 B2A3B 1A2 交双曲线于点 A3，过点 A3 作 A3B3A 2B2 交 x 轴于点
12、B3，得到第三个等边B 2A3B3；以此类推，则点 B5 的坐标为_14如图，PA 切O 于点 A，点 B 是线段 PO 的中点，若O 的半径为 3，则图中阴影部分的面积为_15如图，在矩形 OABC 中，点 A 和点 C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B(9，6) 点 D(5，0)，P从 A 点出发，沿 ABC 运动，在运动过程中，点 P 坐标为 _时，ODP 是等腰三角形16如图，ABC 中，ABAC，A30 ，点 D 在 AB 上，ACD15，则（BCAD） 2 的值是_17如图，在 RtABC 中， C90，A28 （1 ）作 AC 边上的垂直平分线 DE，交 AC 于点 D，交 A
13、B 于点 E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） ；（2 ）连接 CE，求BCE 的度数18如图，点 F、B、E、C 在同一直线上，并且 BF=CE，ABC=DEF能否由上面的已知条件证明ABCDEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使ABCDEF ，并给出证明提供的三个条件是：AB=DE；AC=DF；ACDF19如图，AD、BC 相交于点 O，ADBC，CD90（1 ）求证：ACBBDA；（2 ）若ABC36，求CAO 度数20如图 1，平面内有一点 P 到ABC 的三个顶点的距离分别为 PA、PB 、PC ，若有PA2PB
14、 2+PC2 则称点 P 为ABC 关于点 A 的勾股点（1 ）如图 2，在 45 的网格中，每个小正方形的长均为 1，点 A、B、C、D、E、F、G 均在小正方形的顶点上，则点 D 是 ABC 关于点 的勾股点；在点 E、F、G 三点中只有点 是ABC 关于点 A 的勾股点（2 ）如图 3，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点，求证：CE CD；若 DADE ，AEC120 ，求ADE 的度数（3 ）矩形 ABCD 中，AB5，BC6，E 是矩形 ABCD 内一点，且点 C 是ABE 关于点 A 的勾股点，若ADE 是等腰三角形，求 AE 的长；直接写出 A
15、E+56BE 的最小值21已知：如图，将D60的菱形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，将ADC 沿射线 DC 方向平移，得到BCE，点 M 为边 BC 上一点(点 M 不与点 B、点 C 重合) ，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 60，与 EB 的延长线交于点 N，连接 MN(1)求证： ANBAMC；探究AMN 的形状；(2)如图，若菱形 ABCD 变为正方形 ABCD，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 45，原题其他条件不变，(1)中的、两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明22如图，在 RtABC 中， A90，ABAC 4 2一动点 P
16、从点 B 出发，沿 BC 方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，到达点 C 即停止，在整个运动过程中，过点 P 作PD BC 与 Rt ABC 的直角边相交于点 D，延长 PD 至点 Q，使得 PDQD ，以 PQ 为斜边在PQ 左侧作等腰直角三角形 PQE设运动时间为 t 秒（t 0）（1 ）在整个运动过程中，判断 PE 与 AB 的位置关系是（2 ）如图 2，当点 D 在线段 AB 上时，连接 AQ、AP，是否存在这样的 b，使得 APPQ ？若存在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）当 t4 时，点 D 经过点 A：当 t163时，点 E 在边 AB 上设ABC 与
17、PQE 重叠部分的面积为 S，请求出在整个运动过程中 S 与 t 之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t 的取值范围，并求出当 4 t163时 S 的最大值专题 09 三角形高中必备知识点 1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图 3.2-1 ，在三角形 ABCV中，有三条边 ,ABC，三个角 ,ABC，三个顶点 ,AB，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点
18、，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点 A、 B、 C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在O 中， AB 是的直径，PA 与O 相切于点 A，点 C 在O 上，且 PCPA， （1 ）求证 PC 是 O 的切线；（2 ）过点 C 作 CDAB 于点 E，交O 于点 D，若
19、 CDPA2 ， 求图中阴影部分面积；连接 AC，若 PAC 的内切圆圆心为 I，则线段 IE 的长为 【答案】 （1）详见解析；（2）S 阴影 43 7【解析】（1 ）证明：连接 OCOP，点 C 在O 上，OC 为半径 PA 与O 相切于点 A，OAPAPAO 90OC OA，OP OP，PCPA，PCOPAO PCOPAO90 PCOC PC 是O 的切线（2 ） 作 CMAP 于点 M，CDAB ，CE DE 3 ，CEA90四边形 CMAE 是矩形AM PMAMPCACPCPA，PCA 是等边三角形PAC60CAB 30COE60COD120 在 RtCOE 中，sin603OC，O
20、C 2S 阴影 43 AP=2 ,AH=CE=CH= AH=3又I 为正PAC 的内心CI=13CH=2IE= 2CEI = 34 = 7【变式训练】已知菱形 ABCD 的边长为 2 ADC=60 ，等边AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。（1 ）特殊发现：如图，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点求证：菱形 ABCD 对角线AC、BD 交点 O 即为等边AEF 的外心；（2 ）若点 E、 F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点 P猜想验证：如图猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图，当AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线
21、分别交边 DA 于点 M，交边 DC 的延长线于点 N，试判断 是否为定值若是请求出该定值；若不是请1+1说明理由。【答案】 （1）见解析；（2）外心 P 一定落在直线 DB 上，见解析； 为定值，1+1.1+1=1【解析】（1 ）证明：如图 I，分别连接 OE、0F四边形 ABCD 是菱形ACBD，BD 平分ADCAD=DC=BC，COD= COB=AOD=90ADO= ADC= 60=30，又E 、F 分别为 DC、CB 中点OE= CD，OF= BC，AO= AD，120E=OF=OA ， 点 O 即为AEF 的外心，（2 ） 猜想：外心 P 一定落在直线 DB 上，证明：如图 2，分别
22、连接 PE、PA，过点 P 分别作 PICD 于 I，P JAD 于 JPIE= PJD=90，ADC=60IPJ=360- PIE-PJD-JDI=120点 P 是等边AEF 的外心， EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE= JPAPIEPJA， PI=PJ，点 P 在ADC 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上， 为定值 1.1+1当 AEDC 时AEF 面积最小，此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点连接 BD、AC 交于点 P，由（1）可得点 P 即为AEF 的外心，解法：如图 3设 MN 交 BC 于点 G设 DM=x，DN=y(x0 yO) ，则 CN=2由 B
23、C DA 易证GBPMDPBG=DM=x ，=2BC DA，NCGNDM ， = 2 =2 .+= ，即 .1+1=1 1+1=1【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1， PDAC，PEAB，垂足分别为点 D、E，若 PDPE ，则点 P 为ABC 的准内心（1 ）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准内心 P 在高 CD 上，且 PD AB，求12APB 的度数（2 ）探究：如图 3，已知ABC 为直角三角形，斜边 BC5 ，AB3，准内心 P 在 AC 边上（不与点 A、C 重合） ，求 PA 的长【答案】 （1）APB90；（2）
24、.=32【解析】（1 ） 准内心 P 在高 CD 上，点 P 为CAD 的角平分线与 CD 的交点，ABC 是等边三角形，PADPAC30 ，CD 为等边三角形 ABC 的高，AD DP，AD BD，3与已知 PD AB 矛盾，12点 P 不可能为 CAD 的角平分线与 CD 的交点，同理可知点 P 不可能为CBD 的角平分线与 CD 的交点，CDAB ，点 P 为BCA 的平分线，此时，点 P 到 AC 和 BC 的距离相等，PD AB，12PD ADBD，APDBPD45 ，APB90；（2 ） BC5， AB3 ，AC 4，22准内心在 AC 边上， （不与点 A，B 重合） ，点 P
25、为CBA 的平分线与 AC 的交点，作 PD BC 与点 D，PAPD，BDBA3，设 PAx，则 x2+22（4 x） 2，x ，即 PA 32 32高中必备知识点 2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.典型考题【典型例题】问题发现：如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 是边 AD 上的一点，过点 D 作 DEBC 交AC 于 E，则线段 BD 与 CE 有何数量
26、关系？拓展探究：如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转角 （0360 ） ，上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明问题解决：如果ABC 的边长等于 2 3，AD2 ，直接写出当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时 BD 的长【答案】问题发现：BDCE ；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD 的长为2 和 2 7【解析】问题发现：如图 1,BD=CE,理由是ABC 是等边三角形 ,AB=AC,DE BC,BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图 2,由图 1 得, ADE 是等边三角形,AD=AE,由旋转得BAD=CAE, BADCAE,(旋转的性质
27、)BD=CE,问题解决：当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时, 设垂足为点 F,此时有两种情况: 如图 3,ADE 是等边三角形,AF DE,DAF=EAF=30,BAD=30,过 D 作 DGAB,垂足为 G,AD=2,DG=1,AG= 3,AB=2 ,BG=AB-AG= ,BD=2（勾股定理）,如图 4,同理得BADCAE,BD=CE,ADE 是等边三角形,ADE=60,AD=AE,DE AC,DAF=EAF=30,EF=FD=12AD=1,AF= 3,CF=AC+CF=2 + =3 3,在 RtEFC 中,EC=2221(3)87EFC,BD=EC=2 7.综上所述,BD
28、的长为 2 和 2 7.【变式训练】如图，两条射线 BA/CD，PB 和 PC 分别平分ABC 和DCB ，AD 过点 P，分别交 AB，CD与点 A，D（1 ）求BPC 的度数；（2 ）若 ,60,2ADBCBP，求 AB+CD 的值；（3 ）若 PS为 a， DP为 b， CS为 c，求证：a+b=c【答案】 （1）90；（2）4；（3）证明见解析【解析】（1 ） BA CD，ABC+ BCD=180 PB 和 PC 分别平分 ABC 和DCB， PBC12ABC，PCB12BCD，PBC+PCB12（ABC+BCD ）=90，BPC=90；（2 ）若BCD=60 ，BP =2，ABC=1
29、8060=120，PCD12BCD =30，ABP1 ABC=60在 RtABP 中，BP=2 ，AB=1在 RtBCP 中，CP =2 3在 RtPCD 中，PD 3=，CD=3，AB +CD=4（3 ）如图，作 PQBCABP=QBP，BAP =BQP，BP=BPABPBQP（AAS） 同理PQCPCD （AAS） ， S BCP=SBPQ+SPQC=SABP+SPCD，a+b =c【能力提升】如图，ABC 、 DCE、FEG 是三个全等的等腰三角形，底边 BC、CE、EG 在同一直线上，且 AB= 3，BC=1，连结 BF，分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、R (1)求证：BFGF
30、EG (2)求 sinFBG 的值【答案】(1)证明见解析； (2)16【解析】解：(1)依题可得：BC=CE=EG=1，FG=AB= 3， BG=3，在BFG 和FEG 中，FGB3E，G= G，BFGFEG. (2)过点 F 作 FHBG 于点 H，如图， 则FHG=90，FEG 是等腰三角形，EG=1，1EHG2， FH=21FGH， BFGFEG，BFG=FEG=G，BF=BG=3BC=3，在 RtFBH 中，sinFBG=FH12B63.专题验收测试题1如图，等边三角形的顶点 A（1 ，1） ，B（3，1 ） ，规定把等边ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位” 为一次变换
31、，C 点的对应点记为 C1如果这样连续经过 2019 次变换后，则 C2019 的坐标为（ ）A （2017，1 3） B （2017，1+ 3）C （ 2018，1 ） D （2018 ，1+ ）【答案】A【解析】解：ABC 是等边三角形，BC 3 12，点 C 到 x 轴的距离为 1+2 +1，其横坐标为 2，C （2 ， 3 +1） ，一次变换后顶点 C 的坐标为（1， 1 3） ，第 2019 次变换后的三角形在 x 轴下方，点 C 的纵坐标为1 3，其横坐标为 2201912017，经过 2019 次变换后，点 C 的坐标是（2017 ，1 3） ，故选：A2 如图，在正方形纸片 A
32、BCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上，落点为 N，折痕交 CD 边于点 M，BM 与 EF 交于点 P，再展开则下列结论中：CM DM；ABN30；AB 23CM 2；PMN 是等边三角形正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】BMN 是由 BMC 翻折得到的，BN=BC，又点 F 为 BC 的中点，在 RtBNF 中， sinBNF=B1N2，BNF=30， FBN=60 ，ABN=90-FBN=30，故正确；在 RtBCM 中，CBM=12FBN=30，tanCBM=tan30=CM3B，BC= 3C
33、M，AB 2=3CM2 故正确；NPM=BPF=90-MBC=60 ，NMP=90- MBN=60，PMN 是等边三角形，故正确；由题给条件，证不出 CM=DM，故错误故正确的有，共 3 个故选 C3 如图，DE 是线段 AC 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）ADE BD BBCD AC B2A D2BAC 1802 ADE【答案】D【解析】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DA=DC ，BAC DCA，2 BAC180 2ADE，D 正确，故选：D4 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 C处，BC交 AC 于点 E，若AEB75，则BAC 的度数为（ ）A
34、.60 B.65 C.70 D75【答案】B【解析】解：设 AC 交 BD 于 O四边形 ABCD 是矩形，OAOCOBOD，ABC90 ，OCBOBC，由翻折可知：EBOOBC，EBOOBCOCB，AEBEBC+OCB3 OCB75，OCB25，BAC 90 2565，故选：B5 如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若CD=AD， B=20，则下列结论中错误的是（ ）ACAD=40 BACD=70 C点 D 为ABC 的外心 DACB=90【答案】A【解析】试题
35、分析：根据题意可知：MN 是线段 BC 的中垂线，则 CD=BD，DCB=B=20，根据外角的性质可得：CDA=40，根据 CD=AD 可得：CAD=ACD=70 ，则ACB=90 ，点 D 为ABC 的外心，故选 A6 如图，锐角ABC 中，BCABAC，求作一点 P，使得 BPC 与A 互补，甲、乙两人作法分别如下：甲：以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AC 于 P 点，则 P 即为所求 .乙：作 BC 的垂直平分线和BAC 的平分线，两线交于 P 点，则 P 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )A两人皆正确 B甲正确，乙错误 C甲错误，乙正确 D两人皆错误【答案】A
36、【解析】解：甲：如图 1，ABBP，BAPAPB，BPC+APB180BPC+BAP180 ，甲正确；乙：如图 2，过 P 作 PGAB 于 G，作 PHAC 于 H，AP 平分BAC，PGPH，PD 是 BC 的垂直平分线，PBPC，RtBPGRtCPH（HL） ，BPG CPH，BPCGPH ，AGPAHP90，BAC+ GPH180 ，BAC+ BPC180，乙正确；故选：A7 如图，把边长为 4 的正方形 ABCD 绕 A 点顺时针旋转 30得到正方形 ABCD，边 BC与DC 交于点 O，则四边形 ABOD 的周长是( ).A12 B8+43C8+83D8+ 43【答案】C【解析】解
37、：如图，四边形 ABCD 是正方形AB AD4 ，DAB90旋转AB ABAD 4，BAB30DABDAB BAB 60，ADAB，AOAORtAOBRt AOD(HL)DAOBAO30，DOBO，AD 3DO4DO BO四边形 ABOD的周长AD+AB+DO+BO8+83.故选：C8 如图，已知BED 55 ，则 B+C（ ）A30 B35 C45 D55【答案】D【解析】解：BED 是 BCE 的外角，BEDB+C55 ，故选：D9 钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤 AB 的坡度为1： 2.4， AB 长为 3.9 米，钓竿 AC 与水平线的夹角是 60，其长为 4.5 米，若钓竿 AC 与钓鱼线 CD 的夹角也是 60，则浮漂 D 与河堤下端 B 之间的距离约为( ) 米(参考数据：31.732)
