1、05 二次函数的三种表示方式高中必备知识点 1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：yax 2bxc( a0)；典型考题【典型例题】已知抛物线 yax 2+bx+c 的对称轴为 x1，且过点（ 3，0） ， （0 ，3） （1 ）求抛物线的表达式（2 ）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中 mn，请判断关于 t 的方程t2+mt+n0 是否有实数根，并说明理由【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式 ) 【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 先向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，1=122得到抛物线 .2（1 ）求抛物线 的解析式
2、（化为一般式） ；（2 ）直接写出抛物线 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积 .2高中必备知识点 2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：ya(x-h) 2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)典型考题【典型例题】已知二次函数 213yx用配方法将此二次函数化为顶点式；求出它的顶点坐标和对称轴方程【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（1 ，2） ，且经过（1 ，6） ，求这个二次函数的解析式【能力提升】二次函数的图象经过点 (03)A， ， ()B， ， (0)C， （1 ）求此二次函数的关系式；（2 ）求此二次函数图象的顶点坐标；（3 ）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少
3、平移 个单位，使得该图象的顶点在原点高中必备知识点 3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：ya(x x 1) (xx 2) (a0)，其中 x1，x 2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k2 的图象与 x 轴有两个交点（1 ）求 k 的取值范围；（2 ）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，8)，对称轴是直线 x2，此时抛物线与 x 轴的两交点间距离为 6.(1)求抛物线与 x 轴两交点坐标；(
4、2)求抛物线的解析式【能力提升】已知二次函数 yx 24x+3（1 ）求该二次函数与 x 轴的交点坐标和顶点；（2 ）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当 y0 时，x 的取值范围专题验收测试题1将抛物线 y 2（x+1） 22 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位后的新抛物线解析式为（ ）Ay2（x1） 2+1 By 2（ x+3） 25C y2 （x 1） 25 Dy2 （ x+3） 2+12二次函数 y 2（x 1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ）A （1 ，3 ） B （1，3） C （1，3 ） D （1 ，3）3若二次函数 y（k+1 ）x 22 x+k 的最高
5、点在 x 轴上，则 k 的值为（ ）2A1 B2 C1 D24已知二次函数 为常数，且 ） ， （ ）A若 ，则 的增大而增大；0B若 ，则 的增大而减小；0C若 ，则 的增大而增大；110将抛物线 y 3x2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By 3（ x2） 22C y3 （x +2） 2+4 Dy3 （ x+2） 2211已知抛物线 经过点 ，则该抛物线的解析式为=382+ (2,0),(0,3)_12二次函数 y=（a-1 ）x 2-x+a2-1 的图象经过原点，则 a 的值为_13将二次函数 y=x2 的图象先向
6、上平移 1 个单位，然后向右平移 2 个单位，得到新的二次函数的顶点式为_14将抛物线 y2x 2 平移，使顶点移动到点 P（ 3，1 ）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_15在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y x2 的图象经过点 M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若 4 x1 2， 0 x2 2 ，则 y1 _ y2 . （用“ ”， “=”或“”号连接）16小颖从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下列信息：； ； ； ； 你认为其中正确信息的个数有_17已知二次函数 y x2+bxc 的图象与 x 轴的交点坐标为（ m2，0）和（2 m+1，0）
7、 （1 ）若 x0 时，y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围；（2 ）若 y1 时，自变量 x 有唯一的值，求二次函数的解析式18设二次函数 y1ax 2+bx+a5（a，b 为常数，a0） ，且 2a+b3 （1 ）若该二次函数的图象过点（ 1，4 ） ，求该二次函数的表达式；（2 ） y1 的图象始终经过一个定点，若一次函数 y2kx+b（k 为常数，k 0）的图象也经过这个定点，探究实数 k，a 满足的关系式；（3 ）已知点 P（x 0，m）和 Q（1 ，n）都在函数 y1 的图象上，若 x01，且 mn ，求 x0 的取值范围（用含 a 的代数式表示） 19已知二次函数 yx
8、2+bx+c 的图象经过点 A 和点 B（1 ）求该二次函数的解析式；（2 ）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标20如图，对称轴为直线 x=-1 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（-3，0 ） ，C 为抛物线与 y 轴的交点（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 P 在抛物线上，且 SPOC =2SBOC ，求点 P 的坐标21已知抛物线 yax 23ax4a（a0 ） （1 ）直接写出该抛物线的对称轴（2 ）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标22如图，已知点 A(-1，0)，B(3，0) ，C(0 ， )在抛
9、物线 y=ax2+bx+c 上.32(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点 P，使PBC 的面积为 .32专题 05 二次函数的三种表示方式高中必备知识点 1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：yax 2bxc( a0)；典型考题【典型例题】已知抛物线 yax 2+bx+c 的对称轴为 x1，且过点（ 3，0） ， （0 ，3） （1 ）求抛物线的表达式（2 ）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中 mn，请判断关于 t 的方程t2+mt+n0 是否有实数根，并说明理由【答案】 （1）yx 2+2x3；（2）方程有两个不相等的实数根【解析】（1 ）抛物线 ya
10、x 2+bx+c 的对称轴为 x1 ，且过点（3 ，0 ） ， （0，3）9a3b+c0 12cba解得 a 1，b 2，c 3抛物线 yx 2+2x3；（2 ） 点（m，k） ， （n，k ）在此抛物线上，（m，k） ， （ n，k）是关于直线 x1 的对称点，+2mn1 即 mn2b24acm 24n（n2） 24nn 2+40此方程有两个不相等的实数根【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式 ) 【答案】 【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4 ） ，设此二次函数的解析式为 y=a（x-1） 2+4把点（3，0 ）代入解析式，得：4a+4，即 a=-1所
11、以此函数的解析式为 y=-（ x-1） 2+4故答案是 y=-x2+2x+3【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 先向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，1=122得到抛物线 .（1 ）求抛物线 的解析式（化为一般式） ；2（2 ）直接写出抛物线 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积 .2【答案】(1) ;(2)4.【解析】（1 ） 抛物线 的顶点坐标为 ，把点 先向右平移 2 个单位，再向下平移 21=122 (0,0)个单位后得到的点的坐标为 ，(2,2)抛物线 的解析式为 ；2=12(2)22（2 ） 顶点坐标为 ，且抛物线 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面
12、积(2,2) 2，抛物线 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积 .2 =4高中必备知识点 2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：ya(x-h) 2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)典型考题【典型例题】已知二次函数 213yx用配方法将此二次函数化为顶点式；求出它的顶点坐标和对称轴方程【答案】 （1） 21yx；（2） （1，2 ） ，直线 1x【解析】（1 ） 23 yx2134yx21yx（2 ） 21顶点坐标为（1，2） ，对称轴方程为直线 1x.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（1 ，2） ，且经过（1 ，6） ，求这个二次函数的解析式【答案】二次函数的解析式为
13、y=2（x+1） 2+2【解析】二次函数的图象的顶点是（1 ，2） ，设抛物线顶点式解析式 y=a（x+1） 2+2，将（1 ，6 ）代入得，a（1+1 ） 2+2=6，解得 a=2，所以，这个二次函数的解析式为 y=2（x+1） 2+2【能力提升】二次函数的图象经过点 (03)A， ， (2)B， ， (10)C， （1 ）求此二次函数的关系式；（2 ）求此二次函数图象的顶点坐标；（3 ）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点【答案】 （1） 32xy；（2 ） （1，-4） ；（3）5【解析】（1 ）设 cba2，把点 (0)A， ， (2)B， ， (
14、10)C， 代入得034c，解得 321c 2xy； （2 ） 4)1(2x 函数的顶点坐标为（1，-4） ；（3 ） |1-0|+|-4-0|=5二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 5 个单位，使得该图象的顶点在原点高中必备知识点 3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：ya(x x 1) (xx 2) (a0)，其中 x1，x 2是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k2 的图象与 x 轴有两个交点（1 ）求 k 的取值范围；（2 ）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k2 的表达式，并求出此二
15、次函数图象与 x 轴的两个交点坐标【答案】 （1） k ；（2） （2，0 ）和（0,0）.32【解析】（1 ） 图象与 x 轴有两个交点，方程 有两个不相等的实数根， 解得 （2 ） k 为正整数，k=1 =2+2令 y=0，得 解得 2+2=0,交点为（2， 0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，8)，对称轴是直线 x2，此时抛物线与 x 轴的两交点间距离为 6.(1)求抛物线与 x 轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式【答案】(1)(5，0)，(1 ，0)；（2）y x22x .12 52【解析】(1) 因为抛物线对称轴为直线 x=-2，且图象与 x 轴的两个交点的
16、距离为 6，点 A、B 到直线 x=-2 的距离为 3，A 为（-5，0） ，B 为（1 ，0 ） ；(2)设 ya(x 5)(x1)点(3，8)在抛物线上，8a(35)(31) ，a ，y x22x .12 12 52【能力提升】已知二次函数 yx 24x+3（1 ）求该二次函数与 x 轴的交点坐标和顶点；（2 ）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当 y0 时，x 的取值范围【答案】 （1）二次函数与 x 轴的交点坐标为（1，0） （3 ，0） ，抛物线的顶点坐标为（2 ， 1） ；（2 ）图见详解；当 y0 时，1 x3【解析】（1 ）当 y0 时，x 24x+30，解得 x1
17、1 ，x 23 ，所以该二次函数与 x 轴的交点坐标为（1 ，0） （3，0 ） ；因为 yx 24x+3x 24x+41（ x2） 21，所以抛物线的顶点坐标为（2， 1） ；（2 ）函数图象如图：由图象可知，当 y0 时，1 x3 专题验收测试题1将抛物线 y 2（x+1） 22 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位后的新抛物线解析式为（ ）Ay2（x1） 2+1 By 2（ x+3） 25C y2 （x 1） 25 Dy2 （ x+3） 2+1【答案】B【解析】解：将抛物线 y2 （x+1） 22 向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位后的新抛物线解析式为：y2（x+3） 25
18、故选：B2 二次函数 y 2（x 1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ）A （1 ，3 ） B （1，3） C （1，3 ） D （1 ，3）【答案】A【解析】解：二次函数 y 2（x 1） 2+3 的图象的顶点坐标为（1，3） 故选：A3 若二次函数 y（k+1 ）x 22 x+k 的最高点在 x 轴上，则 k 的值为（ ）2A1 B2 C1 D2【答案】D【解析】二次函数 y（k+1 ）x 22 x+k 的最高点在 x 轴上，2b 24ac0，即 84k（k+1）0，解得：k 11 ， k2 2，当 k1 时，k+10，此时图象有最低点，不合题意舍去，则 k 的值为： 2故选：D4 已知二
19、次函数 为常数，且 ） ， （ ）A若 ，则 的增大而增大；0B若 ，则 的增大而减小；0C若 ，则 的增大而增大；1【答案】B【解析】解：A、 ，抛物线开口向上，所以 A 选项的说法正确；B、当 时，即 ，此方程没有实数解，所以抛物线与 x 轴没有交点，所以 B 选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线 ，所以 C 选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，则当 时，y 随 x 的增大而增大，所以 D 选项的说法正确故选：B10 将抛物线 y 3x2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By 3（ x2）
20、22C y3 （x +2） 2+4 Dy3 （ x+2） 22【答案】D【解析】将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为：y3 （x +2） 2+1；再向下平移 3 个单位为：y 3（x+2） 2+13，即 y3（x+2） 22故选 D11 已知抛物线 经过点 ，则该抛物线的解析式为=382+ (2,0),(0,3)_【答案】=382343【解析】解：将 A、O 两点坐标代入解析式得：，解得： ，b=-34=3 该抛物线的解析式为：y= .38234312 二次函数 y=（a-1 ）x 2-x+a2-1 的图象经过原点，则 a 的值为_【答案】-1【解析】解：二次函数
21、 y=（a-1 ）x 2-x+a2-1 的图象经过原点， a 2-1=0， a=1， a-10， a1 ， a 的值为-1 故答案为：-113 将二次函数 y=x2 的图象先向上平移 1 个单位，然后向右平移 2 个单位，得到新的二次函数的顶点式为_【答案】y= （x-2 ） 2+1【解析】解：将抛物线 y=x2 的图象先向上平移 1 个单位，然后向右平移 2 个单位后，得到的抛物线的表达式为 y=（x-2） 2+1， 故答案为：y= （ x-2） 2+114 将抛物线 y2x 2 平移，使顶点移动到点 P（ 3，1 ）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_【答案】y2 （x+3 ） 2+
22、1【解析】抛物线 y2x 2 平移，使顶点移到点 P（3，1 ）的位置，所得新抛物线的表达式为y2（x+3） 2+1故答案为：y2（x+3 ） 2+115 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y x2 的图象经过点 M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若 4 x1 2， 0 x2 2 ，则 y1 _ y2 . （用“ ”， “=”或“”号连接）【答案】【解析】解：抛物线 y=x2 的对称轴为 y 轴，而 M（ x1，y 1）到 y 轴的距离比 N（x 2，y 2）点到 y 轴的距离要远，所以 y1 y2故答案为：16 小颖从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下列信
23、息：； ； ； ； 你认为其中正确信息的个数有_【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于 y 轴左侧，则 a、b 同号，即 ，0抛物线与 y 轴交于正半轴，则 ，0所以 ，0故 错误；如图所示，当 时， ，所以 ，=1 0，故 正确；如图所示，当 时， ，=1 =+0故 错误；综上所述，正确的结论是： 故答案是： 17 已知二次函数 y x2+bxc 的图象与 x 轴的交点坐标为（ m2，0）和（2 m+1，0） （1 ）若 x0 时，y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围；（2 ）若 y1 时，自变量 x 有唯一的值，求二次函数的解析式【答案】 （1） 3m（2）yx 24x3 和 y
24、x216x63【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为 x2132m，a1 0， 二次函数的图象开口向下，x0 时，y 随 x 的增大而增大，32m0，解得 m13，（2 ）由题意可知，二次函数的解析式为 y （x312m） 2+1，二次函数的图象经过点（m2 ，0） ，0 （m231） 2+1，解得 m1 和 m5，二次函数的解析式为 yx 24x3 和 yx 216x6318 设二次函数 y1ax 2+bx+a5（a，b 为常数，a0） ，且 2a+b3 （1 ）若该二次函数的图象过点（ 1，4 ） ，求该二次函数的表达式；（2 ） y1 的图象始终经过一个定点，若一次函数 y
25、2kx+b（k 为常数，k 0）的图象也经过这个定点，探究实数 k，a 满足的关系式；（3 ）已知点 P（x 0，m）和 Q（1 ，n）都在函数 y1 的图象上，若 x01，且 mn ，求 x0 的取值范围（用含 a 的代数式表示） 【答案】 （1）y3x 23x2；（2）k2 a5；（3 ）x 013故 x0 的取值范围为：01319 已知二次函数 yx 2+bx+c 的图象经过点 A 和点 B（1 ）求该二次函数的解析式；（2 ）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标【答案】(1) yx 24x6；（2）对称轴为 x2 ；顶点坐标是（2 ，10 ） 【解析】（1 ）根据题意，得，解得 ，=4=6
26、所求的二次函数的解析式为 yx 24x6（2 ）又y x 24x6（x 2） 210，函数图象的对称轴为 x2 ；顶点坐标是（2， 10） 20 如图，对称轴为直线 x=-1 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（-3，0 ） ，C 为抛物线与 y 轴的交点（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 P 在抛物线上，且 SPOC =2SBOC ，求点 P 的坐标【答案】 （1）yx 2+2x3；（2）点 P 的坐标为（2，5 ）或（ 2， 3）【解析】（1 ） 抛物线的对称轴为 x1，A 点的坐标为（ 3，0） ，点 B 的坐标为（1 ，0） 将点 A
27、 和点 B 的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b 2 ，c 3，抛物线的解析式为 yx 2+2x3（2 ） 将 x 0 代 yx 2+2x3 入，得 y 3，点 C 的坐标为（0， 3） OC 3点 B 的坐标为（1，0 ） ，OB1设点 P 的坐标为（ a，a 2+2a3） ，则点 P 到 OC 的距离为|a| S POC2S BOC，1OC|a| OCOB，即123|a|21231，解得 a2当 a2 时，点 P 的坐标为（ 2，5） ；当 a2 时，点 P 的坐标为（ 2， 3） 点 P 的坐标为（ 2，5）或（2， 3） 21 已知抛物线 yax 23ax4a（a0 ） （1 ）直接写
28、出该抛物线的对称轴（2 ）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标【答案】 （1） ；（2）抛物线一定经过点 .【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为 x=- ;-3a2a =32（2 ） 可化为 ，=234 =(+1)(4)当 ，(+1)(4)=0即 时， ，=0抛物线一定经过点 .22 如图，已知点 A(-1，0)，B(3，0) ，C(0 ， )在抛物线 y=ax2+bx+c 上.32(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点 P，使PBC 的面积为 .32【答案】(1) ；(2)点 P 的坐标为(1，2)或(2， ).=122+32 32【解析】(1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0， )代入，得-3a= ，32 32解得=12抛物线的解析式为=122+32(2)过点 P 作 PDx 轴于 D.设点 ， (,122+32)S 四边形 ACOB=S 梯形 PDOC+SPBD=( = 154342+94S PBC=S 四边形 PCOB- SBOC=整理得， 23+2=0解得 x=1 或 x=2.点 P 的坐标为 (1，2)或(2 ， )32
